黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期中考试数学理试题含答案

哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期中考试
高二理科数学试题
一.选择题（每题5分，共60分） 1.已知双曲线的渐近线为2
2
y x =±
，实轴长为4，则该双曲线的方程为（ ） A ．22
142x y -=
B ．22142x y -=或22
148y x -=
C ． 22
1168
x y -=
D ．221168x y -=或22
11632
y x -=
2.给出以下几个结论：
(1)垂直于同一直线的两条直线互相垂直； (2)垂直于同一平面的两个平面互相平行；
(3)若α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，且m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则αβ∥； (4)若 α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，,,m m n αβαβ⊥⋂=⊥，则n β⊥ (5)若α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，,,//,n m m n αβαβα⊥⋂=⊥，则m β⊥ 其中错误结论的个数为（ ）
A.2
B.3
C.4
D. 5
3.已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放
置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（ ） A. 22 B.
2 C.
1
3
D. 62 4.长方体1,3,ABCD A B C D BC BB '''''-==，平面AB C D ''与长方体的各个面所形成的二面角的大小中不正确的有( ) A ．
3
π B ．
4
π C ．6π
D ．
2
π
5.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π
6.过椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若
1230F F P ∠=o ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．2
2
B ．13
C ．12
D ．
3
7.正三棱锥A BCD -，侧棱23AB =，棱2CD =，,E F 分别是,AB CD 的中点，则EF 与BC 成角为（ ）
A.60o
B.90o
C. 30o
D.45o
8.如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ︒∠=，则二面角A PB C --的平面角的余弦值为（ ）
A.17
B.1
7- C.12 D.12
-
9.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知
PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑
P ADE -的体积为1，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（ ）
A ．17π
B ．18π
C ．19π
D ．20π
10.在四面体-A BCD 中，AD ⊥底面ABC ,5,8,6AB AC BC AD ====,
G 为ABC ∆的重心, F 为线段AD 的一点，且//FG 平面BCD ，则线段FG 的长度是（ ） A. 32 B. 25 C. 23 D.4
11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ） A ．对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B ．对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．． D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．
12.已知椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1)，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若
222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）
A ．22
143
x y +=
B ．22
154
x y +=
C ．2
212x y +=
D ．22
132
x y +=
二.填空题（共20分）
13.双曲线224640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为___________________
14. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为___________
15.已知圆锥的底面半径为1，高为22，点P 是底面圆周上一点，若一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离为_________________
16. 对于四面体A BCD -，给出下列四个命题：
①若AB AC =，BD CD =，则BC AD ⊥；
②若,,AB AC AB AD AC AD ⊥⊥⊥，则点A 在平面BCD 内的射影为BCD ∆的重心； ③若AB AC ⊥，BD CD ⊥，则BC AD ⊥； ④若AB CD ⊥，BD AC ⊥，则BC AD ⊥．
⑤若AB AC AD ==，则点A 在平面BCD 内的射影为BCD ∆的外心 其中真命题的序号是________． 三.解答题（共70分）
17.（共10分）如图，在正方体1111ABCD-A B C D 中，O 为AC 的中点． （1）求证：1OC //平面11AB D ； （2）求证：平面11A D C ⊥平面11AB D
18.（共12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，
60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面
ABCD ．
（1）求证：AD PB ⊥．
（2）若E 为BC 中点，试在PC 上找一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ．
19. （共12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是1,,AB CC AD 的中点。

（1）求异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值；
（2）棱CD 上是否存在点T ，使得//AT 平面1B EF ？请证明你的结论。

20.（共12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，点O 为
AD 的中点，90APD ︒∠=且AD PB =.
（1）求证： OB ⊥平面PAD ；
（2）若AD PB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值;
（3）在第（2）问的前提下，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.
21.（共12分）设抛物线2:4Q y x =的焦点为F
（1）过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线Q 交于A ，B 两点， ||8AB =．求l 的方程； （2）若斜率为
32
的直线m 与抛物线2
:4Q y x =的交点为,C D ，与x 轴的交点为P ．若3CP PD =u u u r u u u r
，求线段CD 的长度．
22. （共12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率之积为1
2
-
，记点P 的轨迹为曲线C （1）求曲线C 的方程；
（2）若过点(1,0)-的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，曲线C 上是否存在点E 使得四边形
OMEN 为平行四边形？若存在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由；
（3）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . 证明：PQG V 是直角三角形.
高二理科数学答案 一.选择题
二.填空题
13. 17 14.3 15. 16. ①④⑤ 17. (Ⅰ) 令11111B D A C O ⋂=,连接1O A ,
11111111//,,//,,A A B B A A B B C C B B C C B B ==Q
1111//,,A A C C A A C C ∴=则四边形11A ACC 是平行四边形， ∴ 1111//,AC AC AC AC =;又1O O 点，分别是11A C AC ，的中点
1111//,AO O C AO O C ∴=,则四边形11O AOC 是平行四边形，
11//AO OC ∴，111111,AO AB D OC AB D ⊂⊄Q 平面平面
所以 1OC //平面11AB D ；
(2)证明1A C ⊥平面11AB D ,1A C ⊂平面11A D C ，平面11A D C ⊥平面11AB D 18.（1）证明：取AD 的中点O ，连接,,PO BO
PA PD =Q ，PO AD ∴⊥．在底面菱形ABCD 中，
60BAD ∠=︒Q ，BO AD ∴⊥，则AD ⊥平面PBO ，AD PB ∴⊥
（2）F 为PC 的中点，连接CO 交DE 于点G ．
//OD CE Q ，OD CE =，G ∴为OC 的中点，
则//FG PO ．Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，PO AD ⊥，PO ∴⊥平面ABCD ， 则FG ⊥平面ABCD ，∴平面DEF ⊥平面ABCD .设正方体棱长为2a
则()2,2,0B a a ，()12,2,2B a a a ，()2,,0E a a ，(),0,0G a ，()0,2,0C a ，()0,0,0D ，
()0,2,F a a ，()2,0,0A a
19.（1）设异面直线1B E 与BG 所成角为θ()10,,2B E a a =--u u u v Q ，(),2,0BG a a =--u u u v
2112cos 555B E BG a a B E BG
θ⋅∴==
=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，即异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为：2
5 （2）假设在棱CD 上存在点()0,,0T t ，[]0,2t a ∈，使得//AT 平面1B EF
则()10,,2B E a a =--u u u v ，()2,,EF a a a =-u u u v ，()2,,0AT a t =-u u u v
设平面1B EF 的法向量(),,n x y z =v
12020
B E n ay az EF n ax ay az ⎧⋅=--=∴⎨⋅=-++=⎩u u u v v
u u u v v ，令1z =，则2y =-，12x =- 1,2,12n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭v
20
AT n a t ∴⋅=-=u u u v v ，解得：2a
t = 14DT DC ∴= ∴棱CD 上存在点T ，满足1
4
DT DC =，使得//AT 平面1B EF
20.（1）证明：连结OP ，BD ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=， 故AD AB BD ==，又O 为AD 的中点，故OB AD ⊥． 在APD △中，90APD ︒∠=，O 为AD 的中点，所以1
2
PO AD AO ==． 设2AD PB a ==，则3OB a =
，PO OA a ==，
因为22222234PO OB a a a PB +=+==，
所以OB OP ⊥．（也可通过POB AOB ∆≅∆来证明OB OP ⊥）， 又因为OP AD O =I ，OP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以OB ⊥平面P AD ；
（2）因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，
OB PB B =I ，PB ⊂平面POB ，PB ⊂平面POB ，
所以AD ⊥平面POB ，又PO ⊂平面POB ，所以PO AD ⊥． 由（1）得OB ⊥平面P AD ，又OP ⊂平面P AD ，故有OP OB ⊥，又由AD OB ⊥，
所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直．
故以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴如图建系． 设2AD =，则()1,0,0A ，()1,0,0D -，()
0,
3,0B
，()0,0,1P ．
所以()0,3,1PB =-u u u v ，()2,0,0BC AD ==-u u u v u u u v
，()
0,3,0OB =u u u v ，
由（1）知OB ⊥平面P AD ，
故可以取与OB uuu v 平行的向量()0,1,0n =r
作为平面P AD 的法向量．
设平面PBC 的法向量为(),,m x y z r =
，则200
m BC x m PB z ⎧⋅=-=⎪
⎨⋅=-=⎪⎩u u u
v r u u u v
r ， 令1y =
，所以(m =r
．
设平面PBC 与平面P AD 所成二面角为θ，则1cos cos<,||||2
m n m n m n θ⋅=>==r r r r
r r ，
（3）所以直线AP 平面PBC
． 21.（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由()214y k x y x
⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+>，故2122
24k x x k ++=． 所以()()2122
44
11k AB AF BF x x k
+=+=+++=． 由题设知22
44
8k k
+=，解得0k >Q ，k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）232
4y x b y x ⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
，得2
3880y y b -+=，则64960b ∆=-> 32b ∴< 128
3y y ∴+=
，12
83
b y y =3AP PB =u u u r u u u r
Q
12
3y y ∴=-
24
3
y ∴=-
，14y =
12163
y y ∴=-
则
AB ===
22. 解：（Ⅰ）设P （x ,y ）,有PA k ·
PB k =-1
2
得2y x +·2y x -=-12整理得22
42
x y +=1（x ≠±2） ∴曲线C 的方程为22
42
x y +
=1（x ≠±2）
（II ）假设存在符合条件的点E （00x y ，）由题意知直线l 的斜率不为零
设直线l 的方程为x =my
点M 坐标为（11x y ，）、点N 坐标为（22x y ，）
由22124
x my x y =-⎧⎨+=⎩得：（2m +2）2y -2my -3=0,△>0 ∴1y +2222m y m =
+则121(x x m y +=+2)2y -=-242m + 由四边形OMEN 为平行四边形，得到OE OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ∴E （-224222
m m m -++，）把点E 坐标代入曲线C 的方程得：4220m m +==0，解得20m = ∴此时直线l 的方程为1x =-，但2x ≠±，所以不存在.
（3）(3) 设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程
2224x y +=联立,
即22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩
或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
,点P 在第一象限，
所以P Q ，因此点E
的坐标为
直线QE 的斜率为2QE k k =，可得直线QE
方程：2k y x =
，与椭圆方程联立，2222 4.k y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩
，消去y
得，22222128(2)021k k x k ++=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q
和1x 是方程（*）的解
所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得
31y =G
的坐标为23，
直线PG 的斜率为
; 3
322222(2)1642(2)PG k k k k k k k -+===-+-+, 因为1()1,PQ PG k k k k =⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG V 是直角三角形；。