2018考研数学三【解析版】【无水印】

平均成本函数 C(Q) = C(Q) ，其取最小值时，则导数为零，即 Q
= C′(Q) C= ′(Q)Q − C(Q) C= ′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) 0 ，
Q0
Q2
Q0
Q02
即 C′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) = 0 ，选 D.
（5）【答案】A
A 的特征值为 λ=1 λ=2 λ=3 1，而 r(λE − A) = r(E − A) = 2 .
所以 f (1) = 2e
13. 【答案】2.
1 0 0 【解析】 A(α1,α2 ,α3 ) = (α1,α2 ,α3 )1 1 −1 ,
1 1 1
10 0 10 0 则 A = 1 1 −1 = 0 1 −1 = 2 .
11 1 01 1
1
14.【答案】 .
3
【解答】 P( AC A ∪ B) = P[ AC( A ∪ B)] = P[ AC ∪ ABC] = P( AC)
不独立，C 和 D 不成立.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
9.【答案】=y 4x − 3
【解析】由题知：
f ′(x) =2x + 2 x
(x > 0) ，
f
′′( x)
=2
−
2 x2
=2(1 −
1 x2
)
令 f ′′(x) = 0 则 x = 1, x = −1（舍去）
x1 − x2 + x3 =0,
x2 + x3 = 0,
x1
+ ax3 = 0,
1 −1 1 1 0 2
= 系数矩阵 A 1
0
1
r→
0
1
1
，
1 0 a
0 0 a − 2
a ≠ 2 时， r( A) = 3 ，方程组有唯一解： x=1 x=2 x=3 0 ；
−2
a
=
2
时，
r
(
A)
2
2
选 D.
（3）【答案】C
∫ ∫ = M
π 2 −π 2
1
+ x2 1+
x+22= x dx
π
= −2π dx π ; 2
∫ ∫ = N
π 2 −π 21+ ex源自x= dxπ2 −π
(1 +
x)e- x dx
;
2
π
∫ = K
2 −π
(1+
cos x )dx > π ,∴ K > M .
2
（4）【答案】D
1
−2
−1
−1
−1
2 7 −2 −1 1 1
0 0 0 0 0 0
−6k1 + 3 得 P = 2k1 −1
k1
−6k2 + 4 2k2 −1
k2
−6k3 + 4
2k3
−1
;
k3
又 P 可逆,所以 P ≠ 0 ,即 k2 ≠ k3 .
−6k1 + 3 最终 P = 2k1 −1
k1
又 xn+1 = − xn
ln exn −1 − ln= exn xn
exn −1 ln xnexn ;
设 g(x) = ex −1− xex ,
x > 0 时, g′(x) =ex − ex − xex =−xex < 0 ,
所以 g(x) 单调递减, g(x) < g(0) = 0 ,即有 ex −1 < xex ,
（6）【答案】C 由秩的定义，可知 C 正确
（7）【答案】A
2
∫ 已 知 f (1+ x) = f (1− x) 可 得 f (x) 图 像 关 于 x = 1 对 称 ， f (x)dx = 0.6 从 而 0
P(x ≤ 0) = 0.2
（8）【答案】B
根据单个正态总体的分布的性质可知 B 成立，A 自然就不成立；X 与 S 2 独立，因此 X 与 S*
ex1 −1 x1 > 1, x2 > 0 ;
猜想 xn > 0 ,现用数学归纳法证明:
n = 1 时, x1 > 0 ,成立;
假设=n k= (k 1, 2,) 时,有 xk > 0 ,则 n= k +1 时有
= e xk +1
exk −1 xk > 1, 所以 xk+1 > 0 ;
因此 xn > 0 ,有下界.
2
(2)【答案】选 D
【解答】对于选项 A:取 f (x) =−x + 1 , f '(x) < 0, 但是f (1) =0,
2
2
对于选项 B：取 f (x) =−(x − 1)2 +1, f ''(x) < 0, 但是f (1) > 0,
2
2
对于选项 C：取 f (x) =−x − 1 , f '(x) < 0, 但是f (1) =0,
则拐点为 (1,1) ，且 f ′(1) = 4 ，故切线方程为： y −1= 4(x −1) ，
化简得：=y 4x − 3 .
10.【答案】 ex arcsin 1− e2x − 1− e2x + C
【解析】
∫ ∫ 原式 = arcsin 1− e2x dex = ex arcsin 1− e2x −
−
ln
2
−
ln
σ
−
xi σ
，
n
∑ ∑ 求导：
d ln L(σ dσ
)
n
=
i =1
−
1 σ
+
xi σ2
=− n σ
+
xi
i =1
σ2
=0 ，
n
∑ Xi
解得σ 得极大似然估计σ = i=1 . n
n
∑ Xi
∧
(2)由第一问可知σ = i=1 ，所以= E(σ ) E= ( X )
lim
t →0+
(
= at + b)et − 1t
(a + bt)et −1
lim =
t →0+
t
2
则：
lim
t →0+
(a
+
bt )et
−1
=
0
⇒
a
=1
原式= lim (a + bt)= et −1
t →0+
t
lim
t →0+
et
(
a
+
bt
)
+= bet
lim
t →0+
et
(a
+
bt
= + b)
2018 考研数学三答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
（1）【答案】D
cos 【解答】由定义得 lim
x
−1 =
−1 lim 2
x
=
−1；
x→0+
x
x x→0+
2
cos x −1 lim =
−1 x l= im 2
1
.
x→0−
x
x x→0−
−6k2 + 4 2k2 −1
k2
−6k3 + 4
2k3
−1
,其中
k1
,
k2
,
k3
为任意常数,且
k2
≠
k3 .
k3
22.解：（1）由已知 P{X= 1}= 1 ， P{X =−1} =1 ，Y 服从 λ 的泊松分布，
2
2
所以 cov( X , Z ) = cov( X= , XY ) E( X 2Y ) − E( X )E( XY )
2 7 −a
390
1 a2
1a2
所以 B = 0 1 1 r3 + r1 0 1 1 = 2 − a = 0 ,
−1 1 1
0 a +1 3
a =2. (II) AP = B ,即解矩阵方程 AX = B :
1 2 2 1 2 2 1 0 6 3 4 4
= ( A, B)
1
3
0
0
1
1
r→
0
P(A∪ B)
P(A∪ B) P(A∪ B)
=
P( A) +
P( A)P(C) P(B) − P( A)P(B)
=
1
+
1
2 1
×1 2
−1×
1
=
1 3
.
2 222
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答 案写在答．题．纸．指定位置上．
15.【解析】令 x = 1 则： t
z2
，
4π 36 16
故拉格朗日函数为
L(x, y, z;λ)=
x2 +
3
y2 +
z
2
+ λ(x + y + z − 2) .
4π 36 16
则
Lx′ =
x +λ= 2π
0，
= L′y
2 3y +=λ 36
0，
Lz′ =
2z + λ = 16
0，
Lλ′ = x + y + z − 2 = 0 .
解得 x = 2π
exn −1 因此 xn+1= − xn ln xnexn <= ln1 0 , xn 单调递减.
由单调有界准则可知
lim
n→∞
xn
存在.
设 lim n→∞
xn
=
A ,则有
Ae=A
eA −1;
因为 g(x) = ex −1− xex 只有唯一的零点 x = 0 ,所以 A = 0 .
(20)解:(I)由 f (x1, x2 , x3 ) = 0 得
∑ ∑ ∑ −
(1
1 + x)2
== 1+1 x ′ = n∞0= (−x)n ′ =n∞1
∞
(−1)n nxn−1 =
=n 0
(−1)n+1
(n
+
1)
xn
∑ ∑ 则： cos 2= x − (1+1x)2 = n∞0= ((−21n))n! 4n x2n +n∞0 (−1)n+1(n +1)xn
因此： an
， y = 6 3π ， z =
8
，λ =
−1
.
π +3 3+4
π +3 3+4
π +3 3+4
π +3 3+4
此时面积和有最小值 S =
1
.
π +3 3+4
∑ ∑ 18.【解析】由= 题知： cos 2x ∞= (−1)n (2x)2n ∞ (−1)n 4n x2n ，
=n 0= (2n)! n 0 (2n)!
=
−(2k
+ 1)
+ (−1)k
1 4k , (2k )!
n =2k (k = 0,1, 2)
2k + 2,
n = 2k +1
19.证明:设 f (x) = ex −1− x, x > 0 ,则有
f ′(x) = ex −1 > 0 ,因此 f (x) > 0, ex −1 > 1, x
从而 ex2 =
=
2
，方程组有无穷解：
x
=k
−1
,
k
∈
R
.
1
y1 = x1 − x2 + x3,
(II)
a
≠
2
时,令
y=2
x2 + x3,
这是一个可逆变换,
y=3 x1 + ax3,
因此其规范形为 y12 + y22 + y32 ;
a = 2 时, f (x1, x2 , x3 ) =(x1 − x2 + x3 )2 + (x2 + x3 )2 + (x1 + 2x3 )2
2
2
同理， P{Z =k} =1 λ k e−λ , k =±1, ±2 ，
2 k!
P{Z= 0=} e−λ .
23.解：（1）由条件可知，似然函数为
∏ = L(σ )
n i =1
1 2σ
− xi
e σ = , xi ∈ R, i
1, 2, n ，
∑ ∑ n
取对数： ln L(σ ) =
=i 1
= − ln 2σ − σxi = in1
11.【答案= 】 yx
C(1)x −5 2
【解析】二阶差分 ∆2 yx =( yx − yx−1) − ( yx−1 − yx−2 ) =yx − 2 yx−1 + yx−2
因此差分方程化简为： −2 yx−1
+
yx−2
= 5 ⇒
yx−1
−
1 2
yx−2
= − 5 2
齐次方程
yx−1
−
1 2
yx−2
2
则： a + b = 2 ⇒ b = 1.
16.【解析】原式
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =
2
2 dx
3(1−x2 ) x2dy =
2
3 2 x2 ( 1− x2 − x)dx =
2
2
3 2 x2 1− x2 dx − 3 2 x3dx
0
3x
0
0
0
=
3π −
3=
3(π − 2)
.
32 16
32
∫ ∫ （其中：
2
2 x2
令x=sin t
1− x2 dx =
π
4 sin2 t ⋅ cos2 tdt =
π
）
0
0
32
17.解：设圆的周长为 x ，正三角周长为 y ，正方形的周长 z ，由题设 x + y + z =2 .
则目标函数： S =
π
x 2π
2
+
1 2
⋅
3 2
y 3
2
+
z 4
2
=
x2 +
3 y2 +
ex
⋅ 1 (−2e2x )dx
1− (1− e2x ) 2 1− e2x
∫ ∫ = ex arcsin 1− e2x +
e2x dx = ex arcsin 1− e2x − 1
1− e2x
2
1 d (1− e2x ) 1− e2x
= ex arcsin 1− e2x − 1− e2x + C .
= 2x12 + 2x22 + 6x32 − 2x2 x3 + 6x1x3
= 2(x1 −
x2
− 3x3 )2 2
+
3( x2