2019届高考数学一轮复习第九章统计统计案例课堂达标53古典概型文新人教版201807234107

课堂达标(五十三) 古典概型
[A基础巩固练]
1．(2018·兰州模拟)将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)．则向量p与q共线的概率为( )
A.1
3
B.
1
4
C.1
6
D.
1
12
[解析]由题意可得：基本事件(m，n)(m，n＝1,2，…，6)的个数＝6×6＝36.
若p∥q，则6m－3n＝0，得到n＝2m.满足此条件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三个基本
事件．因此向量p与q共线的概率为P＝3
36＝
1 12
.
[答案] D
2．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )
A.1
3
B.
5
12
C.1
2
D.
7
12
[解析]设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24种情况，
则发生的概率为P＝4
12
＝
1
3
，故选A.
[答案] A
3．(2017·课标Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.1
10
B.
1
5
C.3
10
D.
2
5
[解析]如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数1234 5 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)
2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
总计有25种情况，满足条件的有10种所以所求概率为25＝5.
[答案] D
4．(2018·哈尔滨模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3
＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )
A.1
2 B.5
8
C.
1116 D.34
[解析] 已知f ′(x )＝3x 2
＋a >0，
所以f (x )在R 上递增，若f (x )在[1,2]上有零点， 则需⎩⎪⎨
⎪⎧
f 1＝1＋a －b ≤0，
f
2＝8＋2a －b ≥0，
经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，
(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16种，故所求概率为11
16
.
[答案] C
5．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤x ≤2，
0≤y ≤2表示的平面区域为W ，从W 中
随机取点M (x ，y )．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为( )
A.1
6 B.13 C ．1－π12
D ．1－π6
[解析] 画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：
(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P ＝16
.
[答案] A
6．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线x a ＋y b ＝1的斜率k ≥－1
2
的
概率为( )
A.1
3 B.1
2
C.23
D.14
[解析] 记a ，b 的取值为数对(a ，b )，由题意知a ，b 的所有可能取值有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，(3,1)，(3,2)，…，(3,6)，(4,1)，(4,2)，…，(4,6)，(5,1)，(5,2)，…，(5,6)，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种．由直线x a ＋y b
＝1的斜率k
＝－b a ≥－12，知b a ≤1
2
，那么满足题意的a ，b 可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，
(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为936＝14
.
[答案] D
7．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2
＋y 2
＝2有公共点的概率为______．
[解析] 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2
＋y 2
＝2有公共点，即满足
2a
a 2＋b
2
≤2，a 2≤b 2
的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，
共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝7
12
.
[答案]
712
8．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为______．
[解析] 因为(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2
－m 2
)i ，所以要使其为实数，须n 2
－m 2
，即m ＝n .由已知得，事件的总数为36，m ＝n ，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，所以所求概率为P ＝636＝1
6
.
[答案] 1
6
9．(2018·宣武模拟)曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2
n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次
所得点数，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2
n
2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝__________.
[解析] 试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，由m >n ，有(2,1)，(3,1)，…(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝5
12.
[答案]
512
10．(2018·太原模拟)某工厂对一批共50件的机器零件进行分类检测，其重量(克)统计如下：
重量段 [80,85) [85,90)
[90,95) [95,100]
件数 5
m 12
n
规定重量在82克及以下的为甲型，重量在85克及以上的为乙型，已知该批零件有甲型2件．(1)从该批零件中任选1件，若选出的零件重量在[95,100]内的概率为0.26，求m 的值．
(2)从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，求其中恰有1件为甲型的概率． [解] (1)由题意可得n ＝0.26×50＝13， 则m ＝50－5－12－13＝20.
(2)设“从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型”为事件A ，记这5件零件分别为a ，b ，c ，d ，e ，其中甲型为a ，b .
从这5件零件中任选2件，所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，
de ，共10种．
其中恰有1件为甲型的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6种．所以P (A )＝610＝35.
即从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型的概率为3
5
.
[B 能力提升练]
1．(2018·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )，
与向量b ＝(1,0)的夹角为α，则α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( )
A.5
18
B.512
C.12
D.712
[解析] 法一：依题意，向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n )
与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，即n ＜m 的(m ，n )可根据n 的具体取值进行分类计数：
第一类，当n ＝1时，m 有5个不同的取值；第二类，当n ＝2时，m 有4个不同的取值；第三类，当n ＝3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n ＝4时，m 有2个不同的取值；第五类，当n ＝5时，m 有1个取值，
因此满足向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4的(m ，n )共有1＋2＋3＋4
＋5＝15(个)，所以所求概率为1536＝5
12
.
法二：依题意可得向量a ＝(m ，n )共有6×6＝36(个)，其中满足向量a ＝(m ，n ) 与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，即n ＜m 的向量a ＝(m ，n )有36－62＝15(个)，所
以所求概率为1536＝5
12
.
[答案] B
2．(2018·江南十校联考)已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}．定义映射f ：M →N ，则从中任取一个映射满足自由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝
BC 的概率为( )
A.3
32 B.532
C.3
16
D.14
[解析] ∵集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}， ∴映射f ：M →N 有43
＝64种， ∵由点A (1，f (1))，B (2，f (2))，
C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC ，
∴f (1)＝f (3)≠f (2)，
∵f (1)＝f (3)有4种选择，f (2)有3种选择， ∴从中任取一个映射满足由点A (1，f (1))，
B (2，f (2))，
C (3，f (3))构成△ABC 且AB ＝BC 的事件有4×3＝12种，
∴所求概率为1264＝3
16.
[答案] C
3．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是____，他属于不超过2个小组的概率是____．
[解析] “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝3
5
.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝13
15.
[答案] 35；13
15
4．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，
A 3的数学成绩优秀，
B 1，B 2的物理成绩优秀，
C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、
化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为______．
[解析] 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，
所以可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，
B 1，
C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．
设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ， 则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”， 由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}， 所以P (N )＝
212＝16
， 由对立事件概率计算公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝5
6.
[答案] 5
6
5．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .
(1)z ＝(b －3)2
＋(c －3)2
，求z ＝4的概率；
(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{}1，2，3，4，就称该方程为“漂亮方程”，
求方程为“漂亮方程”的概率．
[解析] (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．
当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)，
所以P (z ＝4)＝216＝1
8
.
(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．
②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，
即2b ＋c ＝4，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧ b ＝1，
c ＝2.
③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，
即3b ＋c ＝9，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝2，
c ＝3.
④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，
即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＝3，
c ＝4.
由①②③④知，
(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝3
16
.
[C 尖子生专练]
(2018·郑州市第二次质量预测)最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：
赞成改革 不赞成改革 无所谓 教师 120
y 40 学生
x
z
130
z ＝2y . (1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率．
[解] (1) 由题意知
x
500
＝0.3，∴x ＝150，所以y ＋z ＝60，因为z ＝2y ，所以y ＝20，
z ＝40，则应抽取教师人数
50500×20＝2，应抽取学生人数50
500
×40＝4. (2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a ，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，
(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，
至少有一名教师的选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，
(b,3,4)共16种，至少有一名教师被选出的概率P＝16
20
＝
4
5
.。