二次函数的图象和性质 (第3课时)人教数学九年级上册PPT课件

x
-2
探究新知
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
a>0
a<0
h>0 图象
h<0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线x=h （h,k）
直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而减小； 当x<h时，y随x增大而增大；
当x>h时，y随x增大而增大. 当x>h时，y随x增大而减小.
解：由函数顶点坐标是（1，-2）， 设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2. 因为图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2. 所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
课堂检测
拓广探索题
某某在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= 1 x2+3.5的一
5
部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B )
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 （第3课时）
素养目标
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、 对称轴、顶点.
2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
y - 12（Oxy +1）2
-4 -2
2 4x
-2 -4
y
-
1 2
x2
-6
y - 12（x+1）2-1
y
-
1 2
x
2
-1
巩固练习
画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2)
8 6
4 2
-4 -2 O 2 4
y B(1，3)
3 A 2
1
解得:
a=－
3 4
.
O 12
因此抛物线的解析式为:
3
y= － 4
(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
连接中考
1.抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ A ）
A．（1，1）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，﹣1）
探究新知 素养考点 二次函数的应用
例 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在 水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离 池中心3m,水管应多长?
探究新知
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). ∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴ 0=a(3－1)2＋3.
a=1.5，因此AB=4.
3.5m B
课堂小结
y=ax2
向右(h>0)[或向左 (h<0)]平移|h|个单位
y=a(x-h)2
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
y=ax2+k
向右(h>0)[或向左 (h<0)]平移|h|个单位
(3)顶点是(h,k).
探究新知
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左
y = a( x - h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变.
A.3.5 m B.4 m C.4.5 m
D.4.6 m
解析：由图可以知道，小敏与篮底的距离
就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m，所以要
求OB即可，而OB就是篮圈中心的横坐标，
设为a，则篮圈中心的坐标就是（a，3.5）， 点得在：a抛2=物2.线25上,即，a=即±：1.35.,5a==-1.155（a2舍+3去.5，）整，理故 A
课堂检测
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二 次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解 析式.
设该二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k，
由题意得y=5(x+1)2+3.
课堂检测
能力提升题 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是 （1，－2），求这个二次函数的关系式．
那么所得抛物线是__y_____3_(_x___1)_2___2___.
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单
位，得到抛物线的解析式为 _y____3_ x___2_2__3_ .
4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到 y=-3x2 .
答：先向左平移一个单位，再向下平移两个单位.
这些图象与抛 物线y=ax2有什 么关系？
？ 平移关系
y=ax2
y=a(x-h)2+k
探究新知
方法点拨
一般地,抛物线y=a(x－h) ²＋k与y=ax²形状相同,位 置不同.把抛物线y=ax²向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x－h) ²＋k.平移的方向、距离要根据h、k的 值来决定.
D．（1，﹣1）
2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下
平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ A ）
A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y=﹣5（x+1）2+3
D．y=﹣5（x﹣1）2+3
课堂检测
基础巩固题 1.完成下表:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
探究新知
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 画出函数 y - 1（x 1）2 - 1的图象，并指出它的开口方向、
2 对称轴和顶点.
y
解：开口方向： 向下.
对称轴： x=-1. 顶点： (-1,-1).
O
-4 -2
2 4x
-2
y - 12（x+1）2-1
-4
-6
探究新知 画一画，填写下表:
y=a(x-h)2+k
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
感谢您的聆听
y=2(x+3)2+5
向上
y=－3(x－1)2－2 向下
y = 4(x－3)2＋7 向上
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7)
y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 ( 2 , －6 )
课堂检测
2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
致图象经过第一、二、三象限．
巩固练习
在同一坐标系内，一次函数y=ax+2与二次函数 y=x²+a的图象可能是（ C ）
A.
B.
C.
D.
探究新知
知识点 2 二次函数y= a(x-h)2+k的图象与平移
怎样移动抛物线
y
-
1 2
x2
就可以得到抛物线
y
-
12（y x
1）2 -1？
y
-
1 2
x
2
向左平移一个单位
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
探究新知 素养考点 利用二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象 例 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则 一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
A.
B.
C.
D.
解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数
顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大
y - 12（x+1）2
向
O
-4 -2
2 4x
下 平 移
-2 -4
y
-
1 2
x
2
一
个
-6
单 位
y - 12（x+1）2-1 y - 12（x+1）2
y - 12（x+1）2-1
探究新知
【思考】还可以怎样移动抛物线 y 1 x2 来得到
2
抛物线 y 1 (x 1)2 1 ？
2
平移方法：
y
1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 2
向左平移 1个单位
y 1 x2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
探究新知 二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
平移方法:
y=ax2
向左个(右单)平位移|hy|=a(x－h)2
向上(下)平移 |k|个单位
y=a(x－h) 2+k
y=ax2
向上(下)平移 y=ax²+k |k|个单位
向左(右)平移 |h|个单位
y=a(x－h)2+k
探究新知
抛物线y=a(x－h)2+k的特点 (1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h;