高中数学 专题12 11月第一次周考(第六章 不等式)测试

专题12 11月第一次周考（第六章 不等式）
测试时间： 班级： 姓名：
分数：
试题特点：为配合一轮复习,精选2017年全国地高考试题和模拟试题,结合江苏高考的考情和实际,进行合理的组合与精心改编,重在检测不等式这一章内容的基础知识和基本方法.试题具有针对性强、覆盖性广、效度和信度高等特点.本套试卷重点考查数学思想方法和综合运用知识去分析问题解决问题的能力.在命题时，注重考查不等式这一章内容的基础知识和基本方法；并特别注重考查知识的交汇和数学思想方法的理解和运用等。

一、填空题（每题5分,共70分）
1. 若不等式()0()f x x R ≤∈的解集为[]1,2-，则不等式(lg )0f x >的解集为__________.
【答案】110x
x x ⎧⎫<<>⎨⎬⎩⎭
|0或100
2. 已知变量x ，y 满足约束条件6
321x y x y x +≤⎧⎪
-≤-⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最小值是_________。

【答案】3
【解析】作出不等式组表示的可行域（如图中ABC ∆所示）
由2z x y =+得2y x z =-+，
平移直线2y x z =-+，由图形可得，当直线2y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 最小。

由1320x x y =⎧⎨
-+=⎩ 得1
1
x y =⎧⎨=⎩。

即点A 的坐标为()1,1，
∴
min 213
z=+=。

3. 若0,0,
x y
>>则
x y
x y
+
+
的最小值为．
【答案】
2【解析】
试题分析：
222
11
224
x y xy xy
x y
x y x y xy x y xy xy
++
==-≥-=
+++++
，当且仅当x y
=时，取等号.
4. 已知0,1
a b
>>，2
a b
+=，则
12
21
a b
+
-
的最小值是__________．
【答案】
9
2
5. 设y
x,满足约束条件
20
220
220
x y
x y
x y
+-≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪-+≥
⎩
，则22
x y
+的取值范围为____________.
【答案】[]
0,8
【解析】作出可行域如图:
22
x y
+表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知22
08
x y
≤+≤.
6．若正实数,x y满足2210
x xy
+-=，则2x y
+的最小值为______．
【答案】3
【解析】令2x y k +=，则2
y k x =-，
()22210x x k x ∴+--=，即23210x kx -+-=，
24120k ∴∆=-≥，且0k >，
3k ∴≥，即2x y +的最小值为3。

7. 若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ．
【答案】6
8．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y
x ＋y 的最大值为 ．
【答案】
43
【解析】
试题分析：2222224483144545x y x xy y xy x y x y x xy y x xy y +++==+++++++3
145x y y x
=+++，因为
42x y y x +≥，
所以
434
1
4453
x y
x y x y
+≤+=
+++
，当且仅当
4x y
y x
=时等号成立.
9. 已知实数x，y满足条件
||1
||1
x
y
⎧
⎨
⎩
≤
≤
,
,
则z2x+y的最小值是．
【答案】3
-
10. 若,x y满足条件
3560
23150
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，当且仅当3
x y
==时，z ax y
=+取得最大值，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】
画出可行域如图所示，因为目标函数z ax y
=+，仅在33
（，）处取得最大值，令0
z=得0
ax y
+=，所以直线0
ax y
+=的极限位置应如图所示，故其斜率k a
=-需满足
3
32
5
253
3
a
a
a
⎧
-<
⎪⎪
∴-<<
⎨
⎪->-
⎪⎩
.故应填)
3
2
,
5
3
(-．
11. 已知函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，且()f x 的导数1()2
f x '<，则不等式22
1
()22x f x <+的解集
为 .
【答案】(,1)(1,)-∞-+∞U
【解析】令2
x t =,则不等式可化为
2121)(+<
t t f ,即02121)(<--t t f .令
21
21)()(--=x x f x F ,则由已知可得
021)()(//<-
=x f x F ,则)(x F 是单调递减函数,且021
21)1()1(=--=f F ,所以原不等
式变为)1()(F t F <,即)1()(2F x F <,由函数的单调性可得
12>x ,解之得1->x 或1<x ,故应填答案),1()1,(+∞--∞Y .
12. 不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是 .
【答案】]22,(-∞
13. 如果点(),x y P 在平面区域220
21020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩
上,则()22
1x y ++的最大值和最小值分别是 .
【答案】9,95
【解析】
如图,先作出点()P x y ，所在的平面区域.22)1(++y x 表示动点P 到定点(01)Q -， 距离的平方. 当点P 在(10)-，时,2
2PQ =,而点Q 到直线012=+-y x 的距离的平方为
9
25
<；当点P 在(02)，
时,离Q 最远,92
=PQ .因此22)1(++y x 的最大值为9,最小值为95
.故选B. 14. 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2(x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k －1)x －1，g(x)＝0，h(x)＝(x ＋1)ln x ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________． 【答案】}2{
二、解答题
15. (本小题满分16分) 已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数． （1）若[2,1]x ∈--，不等式()()f x f x '≤恒成立，求a 的取值范围； （2）解关于x 的方程()|()|f x f x '=；
（3）设函数
(),()()
()
(),()()
f x f x f x
g x
f x f x f x
''
⎧
=⎨
'
<
⎩
≥
，求()[2,4]
g x x∈
在时的最小值．
【答案】（1）3 2
a≥；（2）①当1
a<-时，1
x=-或x=12a
-；②当11
a
-≤≤时，1
x=±或x=12a
-或(12)
x a
=-+；③当1
a>时，1
x=或(12)
x a
=-+；（3）()
2
min
817,4,
1,42
1
45,2
2
1
24,
2
a a
a a
g x a a
a a
+-
⎧
⎪
--<<-
⎪
⎪
⎡⎤=⎨+-<-
⎣⎦
⎪
⎪
+-
⎪
⎩
≤
≤
≥
.
⑶因为()()(1)[(12)]
f x f x x x a
'
-=---，
(),()(),
()
(),()(),
f x f x f x
g x
f x f x f x
''
⎧
=⎨
'
<
⎩
≥
①若
1
2
a-
≥，则[]
2,4
x∈时，()()
f x f x
'
≥，所以()()22
g x f x x a
'
==+，
从而()
g x的最小值为(2)24
g a
=+；
②若
3
2
a<-，则[]
2,4
x∈时，()()
f x f x
'
<，所以2
()()21
g x f x x ax
==++，
当
3
2
2
a
-<-
≤时，()
g x的最小值为(2)45
g a
=+，
当42a -<<-时，()g x 的最小值为2()1g a a -=-， 当4a -≤时，()g x 的最小值为(4)817g a =+．
③若31
22a -<-≤
，则[]2,4x ∈时，221,[2,12)()22,[12,4]x ax x a g x x a x a ⎧++∈-=⎨+∈-⎩
当[2,12)x a ∈-时，()g x 最小值为(2)45g a =+； 当[12,4]x a ∈-时，()g x 最小值为(12)22g a a -=-． 因为3122
a -<-≤，(45)(22)630a a a +--=+<，
所以()g x 最小值为45a +．综上所述，()2
min
817, 4,
1, 42145, 22124, 2a a a a g x a a a a +-⎧⎪--<<-⎪⎪
⎡⎤=⎨+-<-⎣⎦⎪
⎪+-
⎪⎩
≤≤≥.
16. 设函数()ln f x x =，()
()(0)1
m x n g x m x +=
>+.
（1）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x =处的切线互相垂直，求n 的值； （2）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围； （3）是否存在实数a ,使得2(
)()()02ax a x
f f e f x a
⋅+≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）5；（2）3m n ->；（3）存在，2
a =
，理由见解析.
根据题意000
1
()20x ax ax θ=+
-≤恒成立. 又根据基本不等式,0012ax ax +
≥,当且仅当00
1ax ax =时,等式成立 所以0012ax ax +
=,01ax =01x a ∴=.代入（*）式得,1ln ln 2a a =,即1
2,a a
=22a =
(以下解法供参考，请酌情给分)
解法2：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 根据条件2(
)()()02ax a x
f f e f x a
⋅+≤对任意正数x 恒成立 即(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立
∴10ln 2ln 00ax a x a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩且10
ln 2ln 00ax a x a -≤⎧⎪
-≥⎨⎪>⎩
，解得12x a a ≤≤且12a x a ≤≤，
即
1
2x a a
==时上述条件成立此时22a =.
解法3：()x θln 2ln ln ln 2(1)(ln 2ln )ax a ax x x a ax a x =⋅-⋅+-=--，其中0,0x a >> 设121,ln 2ln y ax y a x =-=-0a >Q ,∴函数1y 单调递增, 函数2y 单调递减, 要使得(1)(ln 2ln )0ax a x --≤对任意正数x 恒成立，
只能是函数1y ,2y 的与x 轴的交点重合,即
1
2a a
=，所以22a =. 17. 已知数列{}n a 满足*
+∈+==N n a a a n n ,32,111.
（Ⅰ）求证：数列{}3+n a 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S .
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）42
3
232
)1(22
+--⋅-=+n n n S n n .
又23(3)33
222
n n R n n n -+-=
⋅=--， 故2
233(1)2422
n n n n S T R n n n +=+=-⋅---4+. ……………………………………………12分
18. 如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，
AB AD ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其
中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米.
（1）将S 表示为x 的函数；
（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）(2),
01,
(21)(2),1 2.
x x x S x x x ⎧-<≤⎪
=⎨
--<<⎪⎩；（2）当54x =米时，max 98S =平方米.
A
B
C D
E F
G
R
第17题 H
（2）①当01x <≤时，因为1322
(2)2S x x x x =
-=-，
所以112
2322S x
x x
-'=-=，由0S '=，得23x =， 当2(0,)3
x ∈时，0S '>，所以S 递增；
当2(,1)3x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当2
3
x =
时，max 46S =；
②当12x <<时，因为25
9(21)(2)2()48
S x x x =--=--+， 所以当54x =
时，max 9
8
S =； 综上，因为
94689>，所以当54x =米时，max 98
S =平方米. 19.在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a 的等差中项是93. （Ⅰ）求1a 的值； （Ⅱ）若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，φπ<，的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图
像
上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值
.
【答案】（I ）
（II ）32-+．
20. 已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++.
（1）若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；
（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()2(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；
13a
（3）当0b =时，设()()1
()1
f x x F x
g x x -<⎧=⎨
≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点
,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？
请说明理由.
【答案】（1）165b -<<-；（2）1a ≤-；（3）存在.
试题解析：（1）由()bx x x x f ++=23得()b x x x f ++='232，因()x f 在区间[]2,1上不是单调函数. 所以()b x x x f ++='232在[]2,1上最大值大于0，最小值小于0,
()31313232
2-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=++='b x b x x x f ,
()()⎩⎨
⎧+='+='∴b
x f b
x f 516min max ，516-<<-∴b . (2)由()()x a x x g 22++-≥，得()x x a x x 2ln 2-≤-,
[]x x e x ≤≤∴∈1ln ,,1Θ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x x .
x x x
x a ln 22--≤∴恒成立，即min
2ln 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤x x x x a . 令()[]()e x x x x x x t ,1,ln 22∈--=，求导得()()()()2
ln ln 221x x x x x x t --+-=
',
当[]e x ,1∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而()0≥'x t .
()x t ∴在[]e ,1上是增函数，()()11max -==∴t x t .
1-≤∴a .。