高三数学上学期第一次月考试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校HY 那曲二高2021届高三数学上学期第一次月考试题理
〔含解析〕
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项最符合题目要求的.〕 1.集合{}210A x x =-≥，{}0,1,2,3B =，那么A
B =〔〕
A.
B.
{}1,2,3 C.
{}1,2
D.
{}0,1,2
【答案】B 【解析】 【分析】
先解不等式210x -≥,再由交集的定义求解即可.
【详解】由题,210x -≥,解得12x ≥
,那么1|2A x x ⎧
⎫=≥⎨⎬⎩
⎭,
所以
{}1,2,3A B ⋂=,
应选:B
【点睛】此题考察集合的交集运算,属于根底题. 2.设集合{}2
430
A x x
x =
-+<，{}230B x x =->，那么A
B =〔〕
A.3,32⎛⎫
⎪⎝⎭
B.
()1,3
C.31,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
D.()1,+∞
【答案】D 【解析】 【分析】 先解不等式2
430x x -+<和230x ->,再由并集的定义求解即可. 【详解】由题,2
430x x -+<,解得13x <<,即{}13x x |A =<<；
230x ->,解得32x
>,那么3|2B x x ⎧
⎫
=>⎨⎬⎩⎭
,
所以
{}|1A B x x =>,
应选:D
【点睛】此题考察集合的并集运算,考察解一元二次不等式.
3.集合()22,194x y A x y ⎧⎫⎪⎪
=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，(){},B x y y x ==，那么A B 中有几个元素〔〕 A.1 B.2
C.3
D.4
【答案】B 【解析】 【分析】
集合
A 表示椭圆
22194
x y +=上的点的集合,集合B 表示直线y x =上的点的集合,那么A B 表示椭圆与直线的交点的集合,即将问题转化为椭圆与直线的交点个数,联立求解即可.
【详解】由题,联立22
194
x y y x +
==⎧⎪⎨⎪⎩
,消去y 得213360x -=,那么413360∆=⨯⨯>, 即椭圆22
194
x y +=与直线y x =有两个交点,
所以
A B 中有2个元素,
应选:B
【点睛】此题考察集合的交集运算,考察椭圆与直线的位置关系的断定,考察转化思想.
4.
11i
i
+=-〔〕 A.i B.1
C.0
D.1i +
【答案】B 【解析】 【分析】 先将
11i
i
+-整理为a bi +的形式,再求模即可. 【详解】由题,
()()()()11121112
i i i i i i i i +++===--+,所以111i
i i +==-,
【点睛】此题考察复数的除法运算,考察复数的模.
5.定义在R 上的奇函数
()f x 满足()()3f x f x +=且当30,2x ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，()241f x x =+那么
112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
〔〕 A.2 B.2-
C.
18
D.18
-
【答案】B 【解析】 【分析】 由
()()3f x f x +=可知()f x 是周期为
3的函数,再由
()f x 是定义在R
上的奇函数,可得
()()f x f x -=-,那么1111222f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=
-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
,即可将12x =代入解析式求解. 【详解】由题,因为
()()3f x f x +=,所以()f x 的周期为3,
那么
11122f f ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, 又因为
()f x 是定义在R 上的奇函数,
所以
2111412222f f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫-=-=-⨯+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
, 即
1122f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
, 应选:B
【点睛】此题考察利用函数的周期性和奇偶性求函数值,属于根底题.
6.幂函数
()a f x x =，且过13,3
⎛⎫ ⎪⎝⎭
那么()4f =〔〕
A.1
B.
1
2
C.
13
D.
14
【答案】D 【解析】
先将13,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入()a
f x x =中解得a ,再将4x =代入求解即可. 【详解】由题,因为
()a f x x =过13,3⎛⎫
⎪⎝⎭,所以1=33a ,那么1a =-,所以()1f x x -=,
那么
()11
444
f -==
, 应选:D
【点睛】此题考察求函数值,考察幂函数的解析式的应用. 7.
43
2
a =，
25
4
b =，
13
25
c =，那么〔〕
A.b a c <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.c a b <<
【答案】A 【解析】 【分析】 先将
b
a 和转换为同为2为底的指数，
422335
244a b
==>=，
a 和c 可以转换为指数一样
1223
3
3
2554c a ==>=．所以b a c <<．
【详解】因为
422335
244a b
==>=，
122333
2554c a ==>=，所以b a c <<，应选A ．
【点睛】1.比较幂值大小时，要注意区分底数一样还是指数一样．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或者指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进展判断．如图是指数函数(1)y ＝a x
，(2)y ＝b x
，(3)y ＝c x
，(4)y ＝d x
的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目．
8.执行如下列图的程序框图，当输入的x 的值是4时，输出的y 的值是2，那么空白判断框中的条件可能为〔〕. A.3?x > B.4?x > C.4?x
D.5?x
【解析】
方法一：当x =4,输出y =2,那么由y =log 2x 输出，需要x >4，此题选择B 选项.
方法二：假设空白判断框中的条件x >3，输入x =4，满足4>3，输出y =4+2=6，不满足，故A 错误， 假设空白判断框中的条件x >4,输入x =4,满足4=4,不满足x >3,输出y =y =log 24=2，故B 正确； 假设空白判断框中的条件x ⩽4，输入x =4，满足4=4，满足x ⩽4，输出y =4+2=6，不满足，故C 错误， 假设空白判断框中的条件x ⩽5，输入x =4，满足4⩽5，满足x ⩽5，输出y =4+2=6，不满足，故D 错误， 此题选择B 选项.
9.假设,x y R ∈，且0123x y x x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪-≥-⎩
，那么3z x y =-的最小值为〔〕
A.6
B.2
C.1
D.不存在
【答案】B 【解析】
可行域如图，直线3z x y =-过点〔1,1〕时3z x y =-取最小
值为2，选B.
点睛：线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.
(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．假设b c ⊥，那么实数k 的值等于〔〕
A.32
-
B.53
-
C.
53
D.
32
【答案】A 【解析】 由得(1,2)(1,1)c
k =+(1,2)k k =++，因为b c ⊥，那么0b c ⋅=，因此120k k +++=，解得
k =3
2
-
，应选A ． 考点：平面向量数量积． 11.写出2
220x y x +-=的极坐标方程〔〕
A.2
2cos ρθ=
B.2
2cos ρθ=- C.2cos ρθ
=
D.2cos ρ
θ=-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用222cos x y x ρρθ
⎧+=⎨=⎩求解即可.
【详解】由题,因为222
cos x y x ρρθ
⎧+=⎨=⎩,且22
20x y x +-=,
所以其极坐标方程为2
2cos 0ρρθ-=,即2cos ρθ=,
应选:C
【点睛】此题考察直角坐标方程与极坐标方程的转化,属于根底题. 12.函数
sin21cos x
y x
=
-的局部图像大致为
A. B. C.
D.
【答案】C 【解析】
由题意知，函数
sin 21cos x
y x
=
-为奇函数，故排除
B ；当
πx =时，0y =，故排除
D ；当
1x =时，
sin 2
01cos2
y =
>-，故排除A ．应选C ．
点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除局部选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上〕. 13.：
()()()11f x x x =+-且()8f a =，那么()f a -=________.
【答案】8 【解析】
【分析】
由
()f x 的解析式先判断()f x 的奇偶性,再利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】由题,显然x ∈R ,因为()()()2111f x x x x =+-=-,
所以()()()2
211f x x x f x -=--=-=,那么()f x 为偶函数,
所以
()()8f a f a -==,
故答案为:8
【点睛】此题考察求函数值,考察函数的奇偶性的应用.
14.圆的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ=+⎧⎨=-+⎩
，那么该圆的圆心是________.
【答案】
()2,1-
【解析】 【分析】
圆心为
()
,a b ,半径为r 的圆的参数方程为cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩,那么对应圆的参数方程即可得到结果.
【详解】因为圆心为
(),a b ,半径为r 的圆的参数方程为cos sin x a r y b r θ
θ=+⎧⎨
=+⎩
,
由题,圆的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ=+⎧⎨=-+⎩
,
所以圆心为
()2,1-,
故答案为:
()2,1-
【点睛】此题考察圆的参数方程,属于根底题.
15.假设
()223,01,0
x x f x x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩那么()()1f f =________.
【答案】2 【解析】 【分析】 先求得
()11f =-,那么()()()11f f f =-,将1x =-代入求解即可.
【详解】由题,因为10>,所以()11231f =-=-,
那么
()()()11f f f =-,
又10-≤,所以()()2
1112f -=-+=,即()()12f f =,
故答案为:2
【点睛】此题考察由分段函数求函数值,属于根底题. 16.函数：
()322423f x x x x =-++有________个零点.
【答案】1 【解析】 【分析】 利用导函数判断
()f x 的单调性,可知()1f 为()f x 的极小值且()10f >,即可判断零点个数.
【详解】由题,
()2682f x x x '=-+,令0f
x
,那么11
3
x =
,21x =, 所以
()f x 在1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭,1,
上单调递增,在1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减, 那么()f x 的值域为R ,且()1f 为()f x 的极小值,
因为()1242330f =-++=>, 所以
()f x 只有1个零点,
故答案为:1
【点睛】此题考察利用导函数判断函数的单调性,考察函数的零点个数问题.
三、解答题：〔本大题一一共5小题，一共60分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〕 17.n S 是数列
{}n a 的前n 项和，且2n
S
n n =+.
〔Ⅰ〕求证：n a 是等差数列，并且求出n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕假设1n n
T S =
，那么
1
n
i i T =∑.
【答案】〔Ⅰ〕证明见解析，2n a n =；〔Ⅱ〕1
11
n -
+ 【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕当2n ≥时,12n n n a S S n -=-=,当1n =时也符合,那么可得2n a n =,利用1n n a a +-为常数即
可证明；
〔Ⅱ〕由题可得()111
11
n T n n n n =
=-++,利用裂项相消法求解即可.
【详解】〔Ⅰ〕证明:当2n ≥时,()()2
21112n n n a S S n n n n n -=-=+----=,
当1n =时,211112a S ==+=,也符合,
又1
2n n a a +-=,是一个常数,故{}n a 是等差数列,且2n a n =；
〔Ⅱ〕因为()111
11
n
T n n n n =
=-++,
那么
1
11111
111112233411
n
i
i T n n n ==-+-+-+-=-++∑ 【点睛】此题考察等差数列的证明,考察由n a 与n S 的关系求通项公式,考察裂项相消法求数列的和. 18.某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进展睡眠时间是的调查．
〔1〕应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
〔2〕假设抽出的7人中有4人睡眠缺乏，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用
X 表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.
【答案】〔1〕3人，2人，2人；〔2〕分布列见解析，
9
7
. 【解析】 【分析】
(1)由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2，利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数； (2)由题意，随机变量X
的所有可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式，
即可求解.
【详解】(1)由题意知，某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16， 可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． (2)随机变量
X
的所有可能取值为0,1,2,3，
那么302112
434343
333
777C C C C C C 41812(0),(1),(2)C 35C 35C 35
P X P X P X ⋅⋅⋅=========， 所以，随机变量
X
的分布列为
所以随机变量
X
的数学期望4181219()0123353535357
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】此题主要考察了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题. 19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，11
2
AB AC AA ==
，AB AC ⊥，D 是棱1BB 的中点. 〔Ⅰ〕证明：平面
1A DC ⊥平面ADC ；
〔Ⅱ〕求平面
1A DC 与平面ABC 所成二面角的余弦值.
【答案】〔1〕详见解析；〔2【解析】 试题分析：
(1)首先由题意证得1A D
⊥平面ADC .然后结合面面垂直的判断定理即可证得平面1A DC ⊥平面
ADC ；
(2)利用题意建立空间直角坐标系，结合平面向量的法向量可得平面
1A DC 与平面ABC 所成二面角的余弦
试题解析： 〔Ⅰ〕因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，
所以
1AA AC ⊥，
又因为AB AC ⊥，AB AC A ⋂=，
所以AC ⊥平面11ABB A ，
因为1A D ⊂平面11ABB A ， 所以1AC A D ⊥，
设
AB a =，由11
2
AB AC AA ==
，AB AC ⊥，D 是棱1BB 的中点.
所以1AD A D ==，12AA a =，
那么22212AD A D a +=222124a a AA +==，
所以1AD A D ⊥，
因
AD AC A ⋂=，
所以
1A D ⊥平面ADC . 又因为
1A D ⊂平面1A DC ， 所以平面
1A DC ⊥平面ADC .
〔Ⅱ〕如下列图，分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
不妨设
1AB =，那么()0,0,0A ，()1,0,1D ，()0,1,0C ，()10,0,2A .
显然()0,0,1m =是平面ABC 的一个法向量，
设平面
1A DC 的法向量(),,n x y z =，
由110,{
n A D n A C ⋅=⋅=0,
{
20,
x z y z -=⇒-=
令1z
=，得平面1A DC 的一个法向量()1,2,1n =，
所以cos ,m n
m n m n
⋅〈〉=
=
⋅6
=，
即平面
1A DC 与平面ABC 所成二面角的余弦值为6
.
点睛：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补. 20.椭圆的长半轴5a
=，其中离心率35
e =
， 〔Ⅰ〕求出该椭圆的方程； 〔Ⅱ〕求该椭圆被直线
y x =所截的弦长.
【答案】〔Ⅰ〕2212516x y +=或者2
2
51162x y +=；
【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕由3
5
c e a =
=及5a =可得3c =,再利用222b a c =-解得2b ,那么分别讨论焦点在x 轴与y 轴的情况
,即可得到结果；
〔Ⅱ〕联立直线与椭圆方程,由直线
y x =的对称性,那么所截弦长为求解即可.
【详解】〔Ⅰ〕由题,因为3
5
c e a =
=,且5a =, 所以3c =,那么22216b a c =-=,
当焦点在x 轴上时,椭圆的方程为2212516
x y
+=；
当焦点在y 轴上时,椭圆的方程为225
1162x y
+=.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕,当椭圆方程为2212516x y +=时,联立2212516
x y
y x
⎧+=⎪⎨⎪=⎩
,消去y 可得2
40041x =,那么2400
41
y =
, 因为
y x =关于原点对称,
所以截得弦长为41
=；
当椭圆的方程为2
2
51162x y +=时,联立22
21156x y y x
+==⎧⎪⎨⎪⎩
,消去y 可得240041x =
,那么2
40041y =, 因为
y x =关于原点对称,
所以截得弦长为41
=.
【点睛】此题考察由椭圆的几何性质求椭圆方程,考察求弦长. 21.函数
()1
2ln f x x x x
=
-+ 〔Ⅰ〕讨论它的单调性； 〔Ⅱ〕求出该函数的极值. 【答案】〔Ⅰ〕在()0,∞+上递减；
〔Ⅱ〕不存在极值 【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕求导可得
()222
111
1x x f x x x x -+-'=--+=
,设
()21g x x x =-+-,由∆<0
可知
()0g x <恒成立,即0f x
恒成立,即可判断()f x 的单调性；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知
()f x 单调递减,那么可知()f x 不存在极值. 【详解】解:〔Ⅰ〕因为
()1
2ln f x x x x
=
-+,那么0x >, 所以
()222
111
1x x f x x x x
-+-'=--+=,
设()21g
x x x =-+-,因为()()141130∆=-⨯-⨯-=-<,
所以()0g x <,
所以0f
x
,
那么
()f x 在0,
上单调递减；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕,因为()f x 在0,
上单调递减,
所以
()f x 不存在极值.
【点睛】此题考察利用导函数判断函数的单调性,考察利用导函数求极值.
请考生在22、23、题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分，答题时请写清题号. 22.
在平面直角坐标系xOy 中，
O 的参数方程为cos sin x y ，
θθ=⎧⎨
=⎩
〔θ为参数〕
，过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点．
〔1〕求α的取值范围；
〔2〕求
AB 中点P 的轨迹的参数方程．
【答案】〔1〕3(,)44
ππ
〔2
〕sin 2,2cos 222x y αα
⎧=
⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
(α为参数，344ππα<<) 【解析】
分析：〔1〕由圆与直线相交，圆心到直线间隔d r <可得． 〔2〕联立方程，由根与系数的关系求解 详解：〔1〕O 的直角坐标方程为221x y +=．
当2
π
α
=时，l 与
O 交于两点．
当2
π
α
≠
时，记tan k α=，那么l
的方程为y kx =-l 与O
1<，
解得1k
<-或者1k >，即,42ππα⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
或者3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．
综上，α的取值范围是3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
． 〔2〕l
的参数方程为,
(x tcos t y tsin αα
=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数，344ππα<<)． 设
A ，
B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，
那么2
A B
P t t t +=，且A t ，B t
满足2
10t α-+=．
于是A B t t α+=
，P t α=．又点P 的坐标(),x y
满足,
.
P P x t cos y t sin αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
所以点P
的轨迹的参数方程是2,2222x sin y αα
⎧=⎪
⎪⎨
⎪=--⎪⎩
(α为参数，344ππα<<)． 点睛：此题主要考察直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考察求点的轨迹方程，属于中档题． 23.选修4-5不等式选讲
设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明： 〔Ⅰ〕假设ab cd >
>
>a b c d
-<-的充要条件．
【答案】〔Ⅰ〕详见解析；〔Ⅱ〕详见解析． 【解析】
〔Ⅰ〕
因为2a b =++
2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，
得22>
>
〔Ⅱ〕〔ⅰ〕假设
a b c d
-<-，那么2
2()
()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因
为a b c d +=+，所以ab cd >
>
>
22>
，即
a b ++
>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是
22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d
-<-，综上，
-<-的充要条件．
考点：推理证明．。