专题12.3 直线与圆的位置关系(精讲精析篇)(解析版)

专题12.3直线与圆的位置关系（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 圆的方程
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：2
2
2
()()x a y b r -+-=． (2) 方程2
2
2
()()x a y b r -+-=表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：2
2
0x y Dx Ey F ++++=.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：2
2
0x y Dx Ey F ++++=.
①若2240D E F +->，则方程表示以(2D -
，)2
E -为圆心,
F E D 421
22-+为半径的圆； ②若042
2=-+F E D ，则方程只表示一个点(2D -，)2
E -；
③若042
2<-+F E D ，则方程不表示任何图形．
4.点00()A x y ，与⊙C 的位置关系
(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔222
00()()x a y b r <－＋－； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔222
00()()x a y b r =－＋－；
(3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔222
00()()x a y b r >－＋－.
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】
设圆心(),C x y
，则
()()
22
341x y -+-=，
化简得()()2
2
341x y -+-=，
所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，
所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.
【答案】2
2
20x y x +-= 【解析】
设圆的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得：200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
，则圆的方程为2220x y x +-=.
（1）若直线l 与圆C 相切，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；
（2）求与圆C 和直线50x y --=都相切的最小圆的方程． 【答案】（1）x +y +1＝0，或者x +y ﹣3＝0（2）2
2
3
19()()2
2
2
x y -++= 【解析】
（1）设直线的方程为x +y ＝k ，圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +3＝0的标准方程为（x +1）2+（y ﹣2）2＝2，
若直线l 与圆C 相切，d =
=|1﹣k |＝2，得k ＝﹣1或者3，
所以直线l 的方程为x +y +1＝0，或者x +y ﹣3＝0；
（2）根据题意，由于5d =
=，所以直线x ﹣y ﹣5＝0与圆C 相离，
所求最小的圆心一定在过圆C 的圆心（﹣1，2）的直线y ＝﹣x +1上，且到直线x ﹣y ﹣5＝0
设最小的圆心为（a ，1﹣a ），所以2
d ==
=
，|2a ﹣6|＝3， 得92a =
，或者32a =，根据题意32
a =， 所以最小的圆的方程为22319
()()222
x y -++=．
【总结提升】
1.求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
2.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()
00{
x g x y h x ==代入()00,0f x y =.本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.
热门考点02 圆的方程综合应用
1. 圆的标准方程为：222
()()x a y b r -+-=
2．圆的一般方程：2
2
0x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）. 3.点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离：d =
.
【典例4】（2016高考天津文）已知圆C 的圆心在x
轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线
20x y -=
，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+=
【解析】设(,0),(0)C a a >
2,3a r =⇒===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=
【答案】22
(3)=4x y -+ 6 【解析】 设(,)P x y ，
2PA PB =
=22
(3)=4x y -+
所以圆的半径是2.
因为圆的圆心(3,0)和点(1,0)A -都在x 轴上，所以当P 运动到圆的最右端时PA 有最大值6
【典例6】设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线
:20l x y -=
的距离为
5
，求该圆的方程． 【答案】2
2
(1)(1)2x y -+-=或2
2
(1)(1)2x y +++=
【解析】设圆心为(,)a b ，半径为r ，由条件①：22
1r a =+. 由条件②：222r b =，从而有：22
21b a -=．
|2|15a b =⇒-=.
解方程组2221|2|1
b a a b ⎧-=⎨-=⎩可得：11a b =⎧⎨=⎩或1
1a b =-⎧⎨=-⎩，所以2222r b ==．
故所求圆的方程是2
2
(1)(1)2x y -+-=或2
2
(1)(1)2x y +++=． 【总结提升】
注意应用圆的几何性质：
① 心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上．
热门考点03 直线与圆相切
1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
2.圆的切线方程的两种求法
(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .
(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .
【答案】2m =- r =
【解析】
可知11
:1(2)22
AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===
【答案】3 3
- 【解析】
设22
1:1C x y +=，22
2:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 1=，
1=，
所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，
解得k b =
=.
故答案为：
33
-
【总结提升】
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：几何法：圆心到直线的距离等于半径，即d r =；
(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．0∆=，方程组有一组不同的解. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 提醒：上述方法中最常用的是几何法．
热门考点04 直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d r <；
3.代数法：0∆>，方程组有两组不同的解. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，
设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
||CP ==
根据弦长公式得最小值为2==. 故选：B.
【答案】5 【解析】
因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4
d =
=，
由||AB =可得6==5r ． 故答案为：5．
【答案】【解析】
根据题意，圆的方程可化为2
2
(1)4x y ++=， 所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，
根据点到直线的距离公式可以求得d =
=
结合圆中的特殊三角形，可知AB ==【总结提升】 1.弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.
2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．
热门考点05 圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >). (1)两圆相离：无公共点；d R r >+，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；d R r =+，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；d R r =-，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；0d R r ≤<-，方程组无解.特别地，0d =时，为两个同心圆.
【典例12】（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2
y kx =-
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________． 【答案】4
3
【解析】
∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又
直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）
2
+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d
，2d =
≤即3k 2≤4k ，
∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43
.
【答案】4 【解析】
联立方程组2222
6012x y x x y ⎧++--=⎪⎨+=⎪⎩
，解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
22
3x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，
即(
(,A B -
，AB k =
可得过(0,A 且垂直于l
的直线方程为：y =+，所以0y =，解得2x =，
过(
B -且垂直于l
的直线方程为：y =-0y =，解得2x =-， 所以224CD =+=. 故答案为4. 【总结提升】
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题． 3.比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系； 4.两圆方程相减即得公共弦方程； 5.公共弦长要通过解直角三角形获得．
热门考点06 直线、圆的位置关系的综合应用
A ．210x y --=
B ．210x y +-=
C ．210x y -+=
D ．210x y ++=
【答案】D 【解析】
圆的方程可化为()()2
2
114x y -+-=，点M 到直线l
的距离为2d ==>，所以直线l 与
圆相离．
依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以
1
4442
PAM
PM AB S
PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=
，而PA =
当直线MP l ⊥
时，min MP ，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．
∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220
y x x y ⎧
=+
⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨
=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2
2
10x y y +--=，
两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D.
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，求切线l 的方程；
（3）若圆2
2
:()(1)2D x a y -+-=上存在点P ，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M
，且满足
PM =，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）2
2
(1)(2)2x y ++-=；（2）26y x 或26y x 或30x y +-=或10x y ++=；
（3）24a -≤≤ 【解析】
（1）圆C 方程可整理为：()()2
2
125x y F ++-=- 5F ∴<
∴圆C 的圆心坐标为()1,2C -
，半径r =∴圆心C
到直线30x y -+=
的距离：1d =
=
∴
截得的弦长为：2==，解得：3F = ∴圆C 的标准方程为：()()2
2
122x y ++-=
（2）①若直线l 过原点，可假设直线l 方程为：y kx =，即0kx y
直线l 与圆相切 ∴
圆心到直线距离d r =
==
2k =
∴切线l
方程为：(2y x =
②若直线l 不过原点，可假设直线l 方程为：
1x y
a a
+=，即0x y a +-= ∴
圆心到直线距离d r =
==1a =-或3
∴切线l 方程为10x y ++=或30x y +-=
综上所述，切线l
方程为(2y x =或10x y ++=或30x y +-= （3）假设(),P x y
PM =，即222PM PO =
又直线PM 与圆C 相切，切点为M 2222222PM PC r PC PO ∴=-=-= 即：(
)()()
2
2
22
2122x y
x y +=++--，整理得：()()22
128x y -++=
P 又在圆()()2
2
12x a y -+-=上 ∴两圆有公共点
≤
24a -≤≤
即a 的取值范围为：[]
2,4- 【总结提升】
直线与圆的位置关系常用处理方法：
（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（2）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （3）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
巩固提升
1.（重庆高考真题（文））圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（ ） A ．22(2)1x y ++= B ．22(2)1x y +-= C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．22(3)1x y +-=
【答案】B 【解析】
∵圆心在y 轴上，C 项圆心为(1,3)不合要求，排除选项C ，又∵圆过点(1,2)，可排除选项A ，D ，只有
B 项符合题意，故选B ．
A ．1
B ．2
C ．4
D ．46
【答案】C 【解析】
因为22
240x y x y +--=化为()()22
125x y -+-=，可知圆的圆心为1,2,半径为5，圆心到直线
2550x y +-+=的距离为12255
15
d +⨯-+=
=，由勾股定理可得直线2550x y +-+=被圆
22240x y x y +--=截得的弦长为2514-=，故选C.
A ．2x+y+5=0或2x+y ﹣5=0
B ．2x+y+=0或2x+y ﹣=0
C ．2x ﹣y+5=0或2x ﹣y ﹣5=0
D ．2x ﹣y+=0或2x ﹣y ﹣
=0
【答案】A 【解析】
设所求直线方程为2x+y+b=0，则， 所以
=
，所以b=±5，
所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y ﹣5=0 故选：A ．
A ．（x ﹣5）2+y 2＝16
B ．x 2+（y ﹣5）2＝9
C ．（x +5）2+y 2＝16
D ．x 2+（y +5）2＝9
【答案】A 【解析】 设(),M x y ，由
2MA MB
=，得()()2
22
2
343x y x y ++=-+，
可得：（x +3）2+y 2＝4（x ﹣3）2+4y 2， 即x 2﹣10x +y 2+9＝0
整理得()2
2516x y -+=，故动点M 的轨迹方程为()2
2516x y -+=.选A . A ．
5
5
B ．
25
5
C ．
35
5
D ．
45
5
【答案】B 【解析】
由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为
(),a a ，则圆的半径为a ，
圆的标准方程为()()2
2
2x a y a a -+-=. 由题意可得()()2
2
221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，
圆心到直线
的距离均为12113
25
55
d ⨯--=
=
； 圆心到直线
的距离均为22553
25
5
5
d ⨯--=
=
圆心到直线230x y --=的距离均为225
5
d -==
； 所以，圆心到直线230x y --=的距离为25
. 故选：B. A ．2 B ．42
C ．6
D ．210
【答案】C 【解析】 直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.
A ．[]26，
B ．[]48，
C ．232⎡⎣
D ．2232⎡⎣
【答案】A 【解析】
直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点
()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=
点P 在圆
2
2x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202
222
d ++=
=
故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32
则[]221
22,62
ABP
S
AB d d =
=∈ 故答案选A. A ．53-
或53
- B ．
35或3
2
- C ．23-
或2
3
- D ．54-
或5
4
- 【答案】D 【解析】
由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线
所在直线方程为：()32y k x +=-，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()2
2
321x y ++-=
1=,
整理：21225120k k ++=，解得：43k =-，或3
4
k =-,故选D ． A ．4 B ．2
C
D ．1
【答案】D 【解析】
()2
23x y +-看成是点(),x y 和点()0,3之间的距离的平方，
而点(),M x y 为圆2
2
4x y +=上任意一点，
所以圆心()0,0到点()0,3的距离为3，圆的半径2r
，
故圆上的点(),M x y 到()0,3的距离最小值为321-=， 所以其最小距离的平方也为1. 故选：D. A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2
【答案】A 【解析】
因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=， 又圆的标准方程为2
2
(1)(2)4x y -++=， 所以直线经过圆心(1,2)-，
120a -+=
所以1a =， 故选：A ．
A
．01m ≤<
B
．01m ≤≤
C ．2121m --<<-
D ．021m <≤-
【答案】A 【解析】
曲线方程22y x x =--可化为：
()222020x x y x ++=-≤≤即()()2
21120x y x ++=-≤≤.
故曲线C 为如图所示的半圆：
当直线y x m =-+与半圆相切时，圆心()1,0-到该直线的距离1012
m
d -+-=
=，
所以12m =-+12m =-（舍）.
当直线y x m =-+过原点时，0m =，因为直线与半圆有两个不同的交点， 故021m ≤<.
故选：A.
A ．22(2)(1)5x y -+-=
B ．22(2)(1)5x y -+-=
C ．22(2)(1)5x y -++=
D ．22(2)(1)5x y -++=
【答案】A 【解析】 将2
21:240C x
y x y +--=的方程化为标准式的22(1)(2)5x y -+-=，
则圆1C 的圆心坐标为()1,2，5，又圆1C ：2
2
(1)(2)5x y -+-=与圆2C 关于直线y x =对称，则圆2C 的圆心坐标为()2,152C 的方程是2
2
(2)(1)5x y -+-=，
故选：A. A ．23 B ．4
C ．3
3
D ．不确定
【答案】D 【解析】
由对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，
则点()02P ，
到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=的距离为2
2
11cos sin θθ
=+，
即此直线为以()02，
为圆心，1为半径的圆的切线， 当三条切线如图所示时，则正三角形ABC 的面积 1233
12S =
⨯⨯=
， 即存在直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=围成的正多边形的面积为3
3
，即选项A,B,C 错误， 故选D.
【答案】4 【解析】 因为
，且圆的半径为
，所以圆心
到直线
的距离为
，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的
倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
故答案为4
15.（广东高考真题（文））以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________________. 【答案】22
15
4202
x y x y +-+-= 【解析】
圆心到直线的距离216
2
2
D r --===
x －2）2＋（y ＋1）2＝25
2 【答案】9
2
【解析】
圆2
2
240x y x y +--=可化为2
2
(1)(2)5x y -+-=, 则圆心为()1,2,半径为5r =
又因为直线()+6=00,0ax by a b ->>
被圆2
2
240x y x y +--=截得的弦长为252r =,
所以直线()+6=00,0ax by a b ->>过圆心,即260a b +-=, 化为26,0,0a b a b +=>> ,
6222a b ab ∴=+≥当且仅当2a b =时取等号,
9
,2
ab ab ∴≤∴的最大值为92,故答案为92.。