浙江省嘉兴市高中名校2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

浙江省嘉兴市高中名校2025届高三下学期一模考试数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0
B ．1
C ．3
D ．4
3．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥
D ．若αβ⊥，则m α⊥
4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要
D ．既不充分也不必要
5．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）
A ．30i >?
B ．40i >?
C ．50i >?
D ．60i >?
6．在边长为3ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A ．28π
B ．7π
C ．14π
D ．21π 7．定义在上的函数
满足
，且
为奇函数，则
的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）
①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是单调递增函数；
③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④
B ．①③
C ．①④
D ．②④
9．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪
=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A ．()0,∞+
B ．[)1,2
C ．[)1,+∞
D ．()0,1
10．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则
PA PC +=（ ）
A ．
1233
BA BC + B ．
57
99
BA BC + C ．
110
99
BA BC + D ．
27
99
BA BC +
11．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数
4
()()12x F x f x x
+=+
-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-
D ．43n n S a =-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则的值是 ．
14．假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为
23，乙跑出优秀的概率为1
2，丙跑出优秀的概率为14
，则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为________． 15．已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，a b ⊥，则a b +=_________. 16．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π
个单位，得到函数()g x 的图像，则函数()()y f x g x =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数21
()ln
(0)2f x ax x a x
=-+≥. （1）讨论函数f (x )的极值点的个数； （2）若f (x )有两个极值点12,,x x 证明1212()()3
ln 24
f x f x x x +>-+.
18．（12分）已知函数()1f x x =-. （1）解不等式()()48f x f x ++≥；
（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
.
19．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
124n n a S n +=++，21a -，3a ，7a ，恰为等比
数列{}n b 的前3项．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列1n n n nb a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ；若对*n N ∀∈均满足2020n m
T >
，求整数m 的最大值； （3）是否存在数列{}n c 满足等式()111
122n
n i
n i i a
c n ++-=-=--∑成立，若存在，求出数列{}n c 的通项公式；若不存在，
请说明理由．
20．（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米．．．的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时．．．的损耗为m 元（0m >），运输的路程为S （千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为1y （元）、
2y （元）、3y （元）.
（1）请分别写出1y 、2y 、3y 的表达式； （2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.
21．（12分）在ABC ∆中，M 为BC 边上一点，45BAM ∠=︒
，cos AMC ∠=. （1）求sin B ； （2）若1
2
MC BM =
，4AC =，求MC . 22．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：21143n
k k
a =<∑．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
先把(1)21z i i ⋅+=+变形为21
1i z i
+=
+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案.
解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)331
1(1)(1)222
i i i i z i i i i ++-+=
===+++-， 所以3122z i =
-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，在第四象限 故选：D 【点睛】
此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 2、D 【解析】
用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用
2019S =6123336S a a a +++计算.
【详解】
由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，
从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，
2019126123336()01214S a a a a a a =++
++++=+++=.
故选：D. 【点睛】
本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题. 3、C 【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】
对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误.
【点睛】
本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题. 4、A 【解析】
首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<，210n S -<的基本量，根据基本量的范围即可确定答案. 【详解】
{}n a 为等比数列，
若1322a a a +<成立，有()
2
1201q a q -+<，
因为2
210q q -+≥恒成立， 故可以推出10a <且1q ≠， 若210n S -<成立， 当1q =时，有10a <， 当1q ≠时，有
()211101n a q q
--<-，因为
21
101n q q
-->-恒成立，所以有10a <， 故可以推出10a <，q ∈R ，
所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题. 5、B 【解析】
由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案 【详解】
由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ． 【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6、A 【解析】
画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据
13OO =，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可
求半径从而求外接球表面积； 【详解】
如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.
法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =，
28S π=；
法二：13OO =，7R =
，28S π=；
法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，
7AE =，AC 3
3=，716271
cos 27427
AEC +-∠=
=-⋅⋅，
33sin 27
AEC ∠=，33227sin 3327
AC R AEC =
==∠，7R =，28S π=. 故选：A 【点睛】
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目. 7、D 【解析】 根据为奇函数，得到函数关于
中心对称，排除
，计算
排除，得到答案.
【详解】
为奇函数，即
，函数关于中心对称，排除.
，排除.
故选：. 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.
8、C 【解析】
根据函数()f x 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【详解】
()f x 的定义域为R .
由于()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故①正确.
由于3132sin cos ,sin cos 66624442f f ππππππ⎛⎫⎛⎫
-
=+=-=+=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，64f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上不是单调递增函数，所以②错误.
当0x ≥时，()sin cos sin cos 224f x x x x x x π⎛
⎫=+=±=±≤ ⎪⎝
⎭，
且存在4
x π
=
，使sin cos 2444f πππ⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
所以当0x ≥时，()2f x ≤；
由于()f x 为偶函数，所以x ∈R 时()2f x ≤， 所以()f x 2，所以③错误.
依题意，(0)sin 0cos01f =+=，当02x π<≤时，
()3sin cos ,0,2223sin cos ,22x x x x f x x x x πππππ⎧
+<≤≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<
⎪⎩
或，
所以令sin cos 0x x +=，解得74x π
=
，令sin cos 0x x -=，解得54
=
x π.所以在区间(]0,2π，()f x 有两个零点.由于()f x 为偶函数，所以()f x 在区间[)2,0π-有两个零点.故()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点.所以④正确.
综上所述，正确的结论序号为①④. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9、C 【解析】
先解不等式()2f x ≤，可得出89x ≥-，求出函数()y f x =的值域，由题意可知，不等式()()819
m f x -≥-在定义域上恒成立，可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围. 【详解】
()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩，先解不等式()2f x ≤.
①当18x -<<时，由()()3log 12f x x =+≤，得()32log 12x -≤+≤，解得889x -≤≤，此时8
89
x -≤<； ②当8x ≥时，由()4
26
f x x =
≤-，得8x ≥. 所以，不等式()2f x ≤的解集为89x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭
.
下面来求函数()y f x =的值域.
当18x -<<时，019x <+<，则()3log 12x +<，此时()()3log 10f x x =+≥； 当8x ≥时，62x -≥，此时()(]4
0,26
f x x =
∈-. 综上所述，函数()y f x =的值域为[)0,+∞， 由于()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，
则不等式()()8
19
m f x -≥-在定义域上恒成立，所以，10m -≥，解得m 1≥. 因此，实数m 的取值范围是[
)1,+∞. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 10、B
【解析】
23
PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将1
3BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA =-代入化简即
可. 【详解】
2
3PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-
2
()3BA BC BA AQ =+-+
1233BA BC =+-⨯1
3
AC 1257
()3999
BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题. 11、B 【解析】
由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）4
12x x
++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）4
12x x
+=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案. 【详解】
函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）4
12x x
+=--图象在[9,10]-上交点的个数，
由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，
∵f （x ）为偶函数，取x ＝x +2，可得f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2. 又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ， g （x ）44191221242
x x x x x ++=-
==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：
由图可知，两函数图象共10个交点，
即函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B .
【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.
12、C
【解析】
在等比数列中，由11n n a a S q q -⋅=
-即可表示之间的关系. 【详解】
由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112
n n n n a a q a a q S -⋅-=
==--- 故选：C
【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、255 【解析】
试题分析：由三角函数定义知15cos 55
α==，又由诱导公式知5cos()5cos παα-=-=-，所以答案应填：．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．
14、38
【解析】
分跑出优秀的人为：甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.
【详解】
刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为211113244
⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭；其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为2111132412⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭；其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为2111132424
⎛⎫-⨯⨯= ⎪⎝⎭,三种情况相加得1113412248
++=.即刚好有2人跑出优秀的概率为38. 故答案为：38
【点睛】
本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.
15、2
【解析】
由a b ⊥得0a b ⋅=，算出1k =，再代入算出a b +即可. 【详解】
(1,1)a =，(1,)b k =-，
a b ⊥，10a b k ∴⋅=-+=，解得：1k =，
()0,2a b ∴+=，则2a b +=.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.
16、⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
根据图像的平移变换得到函数()g x 的解析式，再利用整体思想求函数的值域.
【详解】
函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π个单位得sin 2()sin(2)6)3
(g x x x =ππ-=-，
∴1()()sin 2sin(2)sin 22sin(2)323
y f x g x x x x x x π-π=-=-=+=+，
40,2,2333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，
∴2y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）求得函数()f x 的定义域和导函数()'f
x ，对a 分成110,,088a a a =≥<<三种情况进行分类讨论，判断出()f x 的极值点个数.
（2）由（1）知1
(0,)8a ∈，结合韦达定理求得12,x x 的关系式，由此化简1212()()f x f x x x ++的表达式为12ln 222
a a a ++，通过构造函数法，结合导数证得132ln 2ln 2224a a a ++>-，由此证得1212
()()3ln 24f x f x x x +>-+成立. 【详解】
（1）函数221()ln
ln 22f x ax x x ax x x =-+=--+的定义域为(0,)x ∈+∞ 得2121()21,(0,)ax x f x ax x x x
'-+-=--+=∈+∞， （i ）当0a =时；1()x f x x '-=
， 因为(0,1)x ∈时，()0,
(1,)f x x '<∈+∞时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的一个极小值点；
（ii ）若0a >时，
若180a ∆=-≤，即18
a ≥时，()0f x '≤，
()f x 在(0,)+∞是减函数，()f x 无极值点.
若180a ∆=->，即108
a <<时， 2()210f x ax x '=-+=有两根12121211,,0,022x x x x x x a a +=
>=>， 120,0x x ∴>>不妨设120x x <<
当1(0,)x x ∈和2(,)x x ∈+∞时，()0f x '<，
当12(,)x x x ∈时，()0f x '>，
12,x x ∴是函数()f x 的两个极值点，
综上所述0a =时，()f x 仅有一个极值点；
18a ≥时，()f x 无极值点；108
a <<时，()f x 有两个极值点． （2）由（1）知，当且仅当1(0,)8
a ∈时，()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且12,x x 是方程2210ax x -+=的两根，
121211,22x x x x a a
∴+==，则 所以221211221212
()()11(ln ln )(2)22f x f x ax x ax x a x x x x +=-++-+⋅+ 22121212[(ln 2ln 2)()()]2x x a x x x x a =-+-+++⋅
22121212[ln(4)()()]2x x a x x x x a =--+++⋅
22111[ln
()]242a a a a a a
=---+⋅ 111(ln 1)22ln 224222
a a a a a a a =-++⋅=++ 设1()2ln 222a g a a a =++，则()2ln 42a g a '=+，又1(0,)8a ∈，即10216
a <<， 所以1()2ln 42ln 44ln 440216
a g a '=+<+=-+< 所以()g a 是1(0,)8上的单调减函数，13()()ln 284g a g >=- ()f x ∴有两个极值点12,
x x ，则1212()()3ln 24
f x f x x x +>-+ 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与
转化的数学思想方法，属于中档题.
18、（1）(]
[),53,-∞-+∞；（2）证明见解析. 【解析】
（1）分3x <-、31x -≤≤、1x >三种情况解不等式()()48f x f x ++≥，即可得出该不等式的解集； （2）利用分析法可知，要证()b f ab a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-，只需证明2210ab a b --->即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.
【详解】
（1）()()22,34134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
.
当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-，此时5x ≤-；
当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立；
当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥，此时3x ≥.
综上所述，不等式()4f x ≤的解集为(]
[),53,-∞-+∞； （2）要证()a b f ab a f ⎛>⎫ ⎪⎝⎭，即证1ab a b ->-， 因为1a <，1b <，所以，21a <，21b <，
()()2222222
22212121ab a b a b ab a ab b a b a b ∴---=-+--+=-+-()()()()2222211110a b b a b =---=--<. 所以，1ab a b ->-.故所证不等式成立.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.
19、（2）1n a n =+，2n
n b =（2）1212n n T n +=-+，m 的最大整数是2．（3）存在，12n n c -= 【解析】
（2）由2124n n a S n +=++可得2123n n S a n -=++（2n ≥），然后把这两个等式相减，化简得11n n a a +=+，公差为2，
因为21a -，3a ，7a 为等比数列，所以()3271a a a 2=-，化简计算得，12a =，从而得到数列{}n a 的通项公式，再计
算出 21a -，3a ，7a ，从而可求出数列{}n b 的通项公式；
（2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，化简计算得10n n c c +->，从而可得数列{}n c 是递增的，所以只要n T 的最小值大于2020m 即可，而n T 的最小值为1113
T c ==，所以可得答案； （3）由题意可知，()()()()112132111112
2n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--， 即()1*
1212322,n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈，这个可看成一个数列的前n 项和，再写出其前（1n -）项和，两式相减得，()*12121,
n n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈，利用同样的方法可得()
1*2n n c n N -=∈. 【详解】 解：（2）由题，当1n =时，12225a S =+，即12225a a =+
当2n ≥时，2124n n a S n +=++ ① 2123n n S a n -=++ ②
①-②得22121n n n a a a +-=+，整理得()22
11n n a a +=+，又因为各项均为正数的数列{}n a ． 故{}11,n n n a a a +=+是从第二项的等差数列，公差为2．
又2371,,a a a -恰为等比数列{}n b 的前3项，
故()()()()2
23272221115a a a a a a =-⇒+=-+，解得23a =．又12225a a =+， 故12a =，因为211a a -=也成立．
故{}n a 是以12a =为首项，2为公差的等差数列．故211n a n n =+-=+．
即2，4，8恰为等比数列{}n b 的前3项，故{}n b 是以12b =为首项，公比为
422
=的等比数列， 故2n n b =．综上1n a n =+，2n n b = （2）令112221
n n
n n n n nb c a a n n ++==-++，则 2+1111121(1)2222()3221
n n n n
n n n n n n n n n b nb c c a a a a n n n n ++++++++-=-=---++++ 22231
n n
n n +=-++
2(31)0(3)(+1)
n n n n +=>+ 所以数列{}n c 是递增的，
若对*n N ∀∈均满足2020
n m T >，只要n T 的最小值大于2020m 即可 因为n T 的最小值为1113T c ==
， 所以20203
m <，所以m 的最大整数是2． （3）由()111122n
n i n i i a
c n ++-=-=--∑，得
()()()()1121321111122n n n n n a c a c a c a c n +---+-+-+⋯+-=--，
()1*
1212322,n n n n c c c nc n n N +--+++⋯+=--∈ ③ ()*123123(1)2(1)2,
2,n n n n c c c n c n n
n N ---+++⋯+-=---∈ ④ ③-④得，()*12121,n n n n c c c c n N --+++⋯+=-∈ ⑤， ()1*123121,
2,n n n n c c c c n n N ----+++⋯+=-∈ ⑥ ⑤-⑥得，()
1*2n n c n N -=∈， 所以存在这样的数列{}n c ，()
1*2n n c n N -=∈ 【点睛】
此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
20、（1）12060ms y S =+，210120mS y S =+，350600
mS y S =+. （2）当6000m <时，此时选择火车运输费最省；
当6000m >时，此时选择飞机运输费用最省；
当6000m =时，此时选择火车或飞机运输费用最省.
【解析】
（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.
（2）作差比较2y 、3y 的大小关系得出结论.
【详解】
（1）12060
ms y S =+， 210120mS y S =+，350600mS y S =+. （2）0,0m S >>，
故2010,60120
mS mS S S >>， 12y y ∴>恒成立，故只需比较2y 与3y 的大小关系即可，
令()324040150150mS m f S y y S S ⎛⎫=-=-
=- ⎪⎝⎭， 故当400150
m ->，即6000m <时， ()0f S >，即23y y <，此时选择火车运输费最省， 当400150
m -<，即6000m >时， ()0f S <，即23y y >，此时选择飞机运输费用最省. 当400150
m -=，即6000m =时， ()0f S =，23y y =，
此时选择火车或飞机运输费用最省.
【点睛】
本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
21、（1）
10；（2）4 【解析】
（1）B AMC BAM =∠-∠，利用两角差的正弦公式计算即可；
（2）设MC x =，在ABM ∆中，用正弦定理将AM 用x 表示，在ACM ∆中用一次余弦定理即可解决.
【详解】
（1）∵cos AMC ∠=，
∴sin AMC ∠=，
所以，sin sin()B AMC BAM =∠-∠
sin cos cos sin AMC BAM AMC BAM =∠⋅∠-∠⋅∠
=-=（2）∵12
MC BM =， ∴设MC x =，2BM x =， 在ABM ∆中，由正弦定理得，
sin 45sin BM AM B =︒，
210
=，
∴5
AM x =， ∵2222cos AC AM MC AM MC AMC =+-⋅⋅∠，
∴222442555
x x x x =+-⋅⋅ ∴4MC x ==.
【点睛】
本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
22、（Ⅰ）12n n a ，*n N ∈．（Ⅱ）见解析
【解析】 （1）由11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，分1n =和2n ≥两种情况，即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）由题，得121211111()(2)44
n n n n a ---===，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案. 【详解】
（Ⅰ）解：由题，得
当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；
当2n 时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+，整理，得12n n a a -=．
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
11122n n n a --∴==，n *∈N ； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，121211111()(2)44
n n n n a ---===， 故22221121111n
k k n a a a a ==++⋯+∑ 1211111()()()444n -=+++⋯+ 11()4114
n
-=- 4414()3343n =-<． 故得证．
【点睛】
本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n 项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.。