误差理论基础

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真值
• 理想真值：同一量值自身之差为零而自 身之比为一。如平面三角形的内角之和 恒定为180°。
• 计量学约定真值：如国际单位制的七个 基本单位的定义。
• 标准器相对真值：指当标准器的误差与 低一级标准器或普通计量仪器的误差相 比，为其1/5（或1/3～1/20）时，可认为 前者是后者的相对真值。
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解：
∵x1＝820.0 kg/m3 Δx1＝＋0.2kg/m3 x2＝830.0kg/m3 Δx2＝＋0.5kg/m3 x＝826.5kg/m3
∴Δx＝Δx1＋（Δx2－Δx1）/（x2－x1） ×（x－x1）
＝0.2＋（0.5－0.2）/（830.0－820.0） ×（826.5－820.0）
＝（0.2％×100）/70＝0.28％
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解
可见，测量70mA电流时，只 要量程选择得当，用0.2级电流表 反而比0.1级电流表测量相对误差 小，更准确。因此用第二块表测 量准确度高。
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测量误差的来源
在测量过程中，引起测量误差 的因素是众多的，但在分析和计算 误差时，不可能也没有必要逐一的 对所有误差因素进行分析计算，而 是着重分析引起误差的主要因素。 通常情况下，误差的主要来源有以 下几个方面：
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引用误差（r）
计量器具的绝对误差与其特定 值（XN）之比。 即：r＝ΔX/XN 引用误差一般用百分数（﹪） 表示，也可以用A×10-n表示。
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量程、特定值
• 量程（或标称范围）：计量器具
标称范围上、下限之差的模。当下 限为“0”时，量程即为标称范围的 上限值（或称最高值）。
• 特定值：一般称为引用值，是指计
• 测量结果减去被测量的真值。 误差＝测量结果－真值
由测量所得到的赋予被测量的值即 为测量结果。与给定的特定量的定义 一致的值为真值，真值也可理解为 “在一定的时间、空间和环境状态下， 某量的客观实际值”。
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真值
真值是理想的概念，通常 是未知的，但以下三种情况可 以认为真值是已知的：理想真 值 、计量学约定真值 、上一等 级的标准值 。
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例
设某一被测电流约为70mA，现 有两块表，一块是0.1级，标称 范围为0～300mA；另一块是0.2 级，标称范围为0～100mA，问 采用哪块表测量准确度高？
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解
对0.1级表： Δr1 ＝（r1×Xn）/X ＝（0.1％×300）/70 ＝0.43％
对0.2级表： Δr2 ＝（r2×Xn）/X
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量油尺的示值修正方法
对量油尺则一般按就近原则进行修 正，这是因为量油尺每米误差不会大于 ＋1mm（检定合格要求）。 设x1≤x≤x2，则有： 当x-x1＜x2－x时，取Δ x＝Δ x1； 当x-x1＞x2－x时，取Δ x＝Δ x2； 当x-x1＝x2－x时，取Δ x＝Δ x1，亦可 取Δ x＝Δ x2。
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绝对误差
• 绝对误差与误差绝对值的区别： 绝对误差是有（＋、－）符号。 误差绝对值是不考虑正、负号的 误差值。它们是两个不同的概念， 误差绝对值不等于绝对误差，误 差绝对值是误差的模。
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示值误差、修正值（c）
• 示值误差：测量仪器示值与对应输入量 的真值之差。
• 修正值（c）：用代数方法与未修正测量 结果相加，以补偿其系统误差的值。即： 使含有误差的测量结果加上修正值，以 补偿系统误差的影响。其大小等于绝对 误差，但符号相反。 ΔX＝X－X0 → X0＝X－ΔX＝X＋c
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仪表等级
对于电工仪表，把用百分比表示的 最大引用误差去掉百分号（﹪）后 的值即为仪表的准确度等级。准确 度等级按国家规定： 电工仪表等级： 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。 精密压力表等级： 0.15、0.25、0.4、0.6
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仪表等级
工作压力表等级： 1.0、1.5、2.5、4.0。 仪表的引用误差不能超越的界限，即在 标称范围内的每个分度测量值的误差只 能≤最大允许误差。 若实际最大引用误差在两级之间，则该 仪表归属到最相近的较低的那一级，如 最大引用误差为0.3﹪的仪表应属0.5级。
＝0.2＋0.195＝＋0.395 ∴ρt′＝826.5＋0.395＝826.895
≈826.9 kg/m3
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相对误差（Δr）
绝对误差除以被测量的[约定]真值。 Δr＝ΔX÷X0×100﹪
式中：X0不为零，且ΔX与X0的单位 相同，故相对误差（Δr）呈无量纲 形式。
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例
有一标称范围为0～300V的电压表，在 示值为100V处，其实际值为100.50V， 则该电压表示值100V处的相对误差？ [解] ∵ΔX＝（100－100.50）V
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产生误差的原因
• 装置误差：计量装置是指为确定被测值 所必须的计量器具和辅助设备的总称。 由于计量装置本身不完善和不稳定所引 起的计量误差称为装置误差。 其来源有：标准器的误差 仪器、仪表误差 附件误差
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产生误差的原因
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误差表示方法
绝对误差：所获得结果减去被测量的真 值。即：
ΔX＝X－X0 ΔX — 绝对误差 X — 测量结果（如，测得值、示值） X0 — 真值（如，相对真值、约定真值） • 示值：测量仪器所给出的量的值。
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例
标称值为10g的二等标准砝码，经检 定其实际值为10.003g，该砝码的标称值 的绝对误差为多少？ [解] ∵X＝10g X0＝10.003g
∴ΔX＝X－X0 ＝10－10.003 ＝－0.003g＝－3mg
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绝对误差
• 绝对误差有单位，其单位与测得结果 相同。
• 绝对误差有大小（值）、有符号（＋、 －），表示测量结果偏离真值的程度。
• 绝对误差不是对某一被测量而言，而 是对该量的某一给出值来讲。 如：砝码的误差为－3mg（错误）； 10g砝码的误差为－3mg（正确）。
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解：
当油高1m时的测量相对误差是： Δr＝ΔX÷X0 ＝（1.001－1）m÷1m＝0.1﹪
当油高10m时的测量相对误差是： Δr＝ΔX÷X0 ＝（10.001－10）m÷10m＝0.01﹪ 同样一把尺，测量的准确度后者比前
者高。说明相对误差能更好地描述测量的 准确程度。
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相对误差与绝对误差
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偏差、修正值、误差
• 偏差与修正值相等，与绝对误差 的值的符号相反，而它们的绝对 值相等。
• 偏差、修正值、误差各指的对象 不同。所以在分析误差时，首先 要分清所研究的对象是什么，即 要表示的是哪个量值的误差。
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比例内插法（线性插值法）
在准确的计量中，通常都采用加修正值的 办法来保证量值的准确一致。计量标准器或工 作计量器具送上级计量检定机构检定，其目的 之一就是为了获得一个准确的修正值。油品计 量用的量油尺、玻璃水银温度计、石油密度计 （玻璃浮计）经检定后，检定机构出具的证书 一般附有该器具的分段修正值表，而在具体测 液高、油温、密度时，在计量器具上显示的读 数不可能恰好落在有修正值的刻度上，大多数 情况都是在两相邻刻度修正值之间。
量器具的量程。
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例
某台标称范围为0～150V 的电压表，当其示值为100.0V 时，测得的电压的实际值为 99.4V，则该电压表在示值 100.0V处的引用误差？
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解：
r＝ΔX/XN ＝（100.0－99.4）/（150－0） ＝＋0.004＝＋0.4﹪
Δr＝ΔX÷X0 ＝（100.0－99.4）/99.4 ＝＋0.006＝＋0.6﹪
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比例内插法（线性插值法）
对于温度计和密度计，采用比例内插 法（线性插值法）求被测量的修正值，其 计算公式如下：
Δ x＝Δ x1＋（Δ x2－Δ x1）/（x2－x1） ×（x－x1）
x、Δ x—测量示值和其对应的修正值； x1、x2—测量示值x的下、上邻近被检分度值； Δ x1、Δ x2—分度值x1、x2的修正值。
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仪表等级
一般而言，如果仪表的准确度等 级为S级，仅说明仪表的最大引用误 差不会超过S﹪，而不能认为它在各 刻度上的示值误差都具有S﹪的准确 度，假如仪表的量程为0～Xn，测量 点为X，则该仪表在X点临近处:
示值误差≤Xn×S﹪； 相对误差≤ Xn×S﹪/X。
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合理选用仪表等级
显然，X≤Xn，故当X→Xn时，其相对误差 最小，即测量准确度最高；反之，X离Xn越远， 其测量准确度越低。使用以引用误差确定准确 度级别的仪表时，从提高测量准确度考虑，应 尽可能使被测量的示值在量程（标称范围）上 限的临近或量程的2/3以上（使用弹性元件仪表 如压力表应另外考虑），同时在选择这类仪表 进行测量时，不能单纯追求仪表的准确度，应 根据仪表的级别、量程以及测量值的大小，合 理选用。
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误差公理
测量结果都有误差，误差自始至终 存在于一切科学实验和测量的过程中， 这就是误差公理。
任何测量，无论仪器多么精密，测 量多么认真，方法如何合理，都存在或 大或小的误差。学习误差理论就是要通 过对误差的认识和研究，采取相应的措 施以达到减少或消除某些误差的目的， 从而提高计量准确度。
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[测量]误差的定义
X0＝100.50V ∴Δr＝ΔX÷X0
＝（100－100.50）V÷100.50V ＝－0.5﹪（或－5×10-3）
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例
用量油尺测量液位高度1m油高时， 量油尺的读数是1.001m；用同一把 尺测量液位高度10m的油高，量油 尺的读数是10.001m（不考虑尺本 身的误差），分别求两次测量的相 对误差？
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最大引用误差
是仪器的最大误差除以仪 器的特定值。
r ＝ΔX／XN
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最大引用误差
在计量检定中最大引用误差不得超过仪表 技术规范、规程等给定测量仪器所允许的 误差极限值（称为最大允许误差），否则 该仪器不合格。仪表的准确度级别，就是 根据它允许的最大引用误差来划分的。如 1.5级表，表示该仪表允许的最大引用误差 为1.5﹪。 如仪表为S级，则其最大引用误差为S﹪， 即最大引用误差区间为[－S﹪，＋S﹪]， 简写为±S﹪。
• 相对误差表示的是给出值所含有 的误差率；绝对误差表示的是给 出值减去真值所得的量值。
• 相对误差只有大小和正负号，无 计量单位（无量纲量）；绝对误 差不仅有大小和正负号，还有计 量单位。
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引用误差、最大引用误差
实际工作中，不难发现，在仪表 的一个量程的分度线上，当绝对误差 保持不变，相对误差将随着被测量的 量值增大而减小，即各个分度线上的 相对误差是不一致的。为了便于划分 这类仪表准确度级别，取某一被测量 的量值为特定值。这个特定值一般称 为引用值。由此引出引用误差的概念 （引用误差可以看成是一种简化和实 用方便的“相玻璃棒水银温度 计测得柴油的温度为28.6℃， 已知此温度计在20℃时的修正 值为－0.2℃，30℃时的修正值 为＋0.1℃，求修正后的实际油 温是多少？
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解：
∵x1＝20℃ Δx1＝－0.2℃ x2＝30℃ Δx2＝＋0.1℃ x＝28.6℃
∴Δx＝Δx1＋（Δx2－Δx1）/（x2－x1） ×（x－x1）
误差理论基本知识
主讲：周懋民
2019年10月28日
误差定义及表示方法
在计量工作中，为了建立基准标准 和进行量值传递，进行着大量的测量工 作。当我们进行测量的时候，必然有误 差，这是由于测量设备、环境、人员、 方法等因素造成的。随着科学水平的提 高和人们的经验、技巧及专业知识的丰 富，误差可以被控制得愈来愈小，但却 无法使误差降低为零。
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偏差
• 根据JJF1001—2019《通用计量术 语及定义》中给出的定义是“一个 值减去其参考值。”。 参考值也就是我们平常所说的 标称值，偏差描述了标称值偏离 （约定）真值的程度，即： 偏差＝实际值－标称值
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例
标称容量为100L的标准金 属量器，经上一级标准量器检 定，结果为100.004L，那么该 金属量器的偏差＝100.004L－ 100L＝0.004L＝4mL。
＝－0.2＋[0.1－(－0.2)]/（30－20） ×（28.6－20）
＝－0.2＋0.258＝＋0.058 ∴ts＝28.6＋0.058＝28.658≈28.7℃
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例
用石油密度计测得柴油的视 密度为826.5kg/m3，已知此密度 计在820.0 kg/m3分度的修正值是 ＋0. 2kg/m3，830.0kg/m3分度的 修正值是＋0. 5kg/m3，求修正后 的视密度。