高中数学模块综合检测苏教版必修4

(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
17π3＝__________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝cos π3＝12.
答案：12
2．已知⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12sin 2θ＜1，则θ所在的象限为__________．
解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2θ＜1＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫120，
∴sin 2θ＞0，
∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z)， ∴θ表示第一或第三象限的角． 答案：第一或第三象限
3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________．
解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－1
2
)＝－8.
答案：－8
4．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1
tan α的值为__________．
解析：∵sin α＋cos α＝－
52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝1
8
.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1
sin αcos α
＝8. 答案：8
5．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________.
解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32
－10×1×3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝49，∴
|5a －b |＝7.
答案：7
6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2
)的图象如图所示，则y 的表达式为
__________．
解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π
6
.
答案：y ＝2sin(2x ＋π
6
)
7．若a ⊥b ，c 与a 及c 与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2
＝__________.
解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由题意，得a ·c ＝|a ||c |cos60°＝1×3×12＝3
2
，b ·c ＝
|b ||c |cos60°＝2×3×12
＝3，所以(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝|a |
2
＋4|b |2＋|c |2
＋4a ·b －4b ·c －2a ·c ＝1＋16＋9－4×3－2×32
＝11.
答案：11
8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的单调递增区间是__________． 解析：因为(π3－x )＋(π6＋x )＝π2，所以y ＝2sin(π3－x )－sin(π3－x )＝sin(π
3
－x )＝
－sin(x －π3)．由2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π(k ∈Z)，得2k π＋56π≤x ≤2k π＋11
6
π(k
∈Z)，故原函数的单调递增区间是[2k π＋56π，2k π＋11
6
π](k ∈Z)．
答案：[2k π＋56π，2k π＋11
6
π](k ∈Z)
9．若A ＋B ＝π3，tan A ＋tan B ＝23
3
，则cos A cos B ＝________.
解析：由sin A cos A ＋sin B cos B ＝A ＋B cos A cos B ＝sin
π3cos A cos B ＝233，可求得cos A cos B ＝3
4.
答案：34
10．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________.
答案：－8
11．已知|p |＝22，|q |＝3，p 、q 的夹角为π4
，如图所示，若AB →＝5p ＋2q ，AC →
＝p －3q ，
D 为BC 的中点，则|AD →
|为__________．
解析：∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝1
2
(5p ＋2q ＋p －3q )
＝1
2
(6p －q )， ∴|AD →|＝ |AD ―→|2
＝12
p －q 2
＝ 12
36p 2－12p ·q ＋q 2 ＝12 2
2
－12×22×3×cos π4
＋32
＝152
.
答案：152
12．关于平面向量a ，b ，c ，下列是真命题的是__________． ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；
②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；
③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .
解析：由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c )＝0，有三种情形：a ＝0或b －c ＝0或a ⊥(b －c )，
所以①错误；由a ∥b ，即1－2＝k
6
得k ＝－3，②正确；因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以a ，b 的
夹角为60°，从而a 与a ＋b 的夹角为30°，故③错误；若b ＝0，此时a 与c 不一定平行，故④错误．
答案：②
13．设f (x )是以5为周期的奇函数，且f (－3)＝1，tan α＝3，则f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1cos 2α－2的值为
__________．
解析：由1cos 2α－2＝sin 2α＋cos 2
α
cos 2
α
－2＝8，得 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2α－2＝f (8)＝f (5＋3)＝－f (－3)＝－1. 答案：－1
14．如果a ＝(cos α＋sin α，2010)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1
cos2α
＋
tan2α＋1的值是__________．
解析：由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2010(cos α－sin α)， ∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2010.∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2
α＋2sin αcos α
cos 2α－sin 2
α
＝ α＋cos α2
α＋sin αα－sin α＝cos α＋sin α
cos α－sin α＝2010.
∴1cos2α＋tan2α＋1＝2010＋1＝2011. 答案：2011
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为120°.求： (1)|a ＋b |及|a －b |；
(2)向量a ＋b 与a －b 的夹角．
解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×2×cos120°＝－2，所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2
＋
2a ·b ＝22＋22
＋2×(－2)＝4，所以|a ＋b |＝2，同理可求得|a －b |＝2 3.
(2)因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝22－22
＝0，
所以(a ＋b )⊥(a －b )，所以a ＋b 与a －b 的夹角为90°.
16．(本小题满分14分)已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，a ·b ＝25，求52sin2α－4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π42cos
2
α2
的值．
解：∵a ·b ＝(cos2α，sin α)·(1,2sin α－1)＝cos2α＋sin α·(2sin α－1)＝cos2α
＋2sin 2
α－sin α＝cos2α＋(1－cos2α)－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35
.又∵α∈
⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴
52sin2α－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42cos
2α
2
＝102sin αcos α－4⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
22cos α－22sin α1＋cos α
＝
102sin αcos α－22cos α＋22sin α
1＋cos α
＝102×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＋22×351＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45
＝102×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×(－4)＋22×3 ＝－242＋82＋62＝－10 2.
17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2a cos 2
x ＋b sin x cos x ，且f (0)＝2，f (π3)＝12＋
3
2
. (1)求f (x )的最大值与最小值；
(2)若α－β≠k π(k ∈Z)，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值．
解：(1)因为f (0)＝2a ＝2，所以a ＝1，因为f (π3)＝12a ＋34b ＝12＋3
2
，所以b ＝2.所
以f (x )＝2cos 2
x ＋2sin x cos x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以f (x )的最大值为
2＋1，最小值为1－ 2.
(2)若f (α)＝f (β)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2β＋π4，所以2α＋π4＝2k π＋2β＋
π4或2α＋π4＝2k π＋π－⎝
⎛⎭⎪⎫2β＋π4，即α－β＝k π(舍去)或α＋β＝k π＋π4，k ∈Z ，所以tan(α＋β)＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π4＝1. 18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝25
5
.
(1)求cos(α－β)；
(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－5
13
，求sin α.
解：(1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．
又∵|a －b |＝25
5，
∴
α－cos β
2
＋α－sin β
2
＝255
，
∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝3
5
.
(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0,0＜α－β＜π，sin β＝－5
13，
cos(α－β)＝3
5，
∴sin(α－β)＝45，cos β＝12
13
.
sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋
3
5
×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365
. 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos 2
x
2＋sin x ＋b .
(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；
(2)当a ＜0且x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[3,4]，求a ＋b 的值．
解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2cos 2x 2＋sin x ＋b ＝1＋cos x ＋sin x ＋b ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋
1.
由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π
2(k ∈Z)，
得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π
4
(k ∈Z)，所以当a ＝1时，f (x )的单调增区间为
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝2a sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b ，因为x ∈[0，π]，所以π4≤x ＋π4≤5π4，又
因为a ＜0时，x ＋π4＝π2时，f (x )有最小值，所以2a ＋a ＋b ＝3.当x ＋π4＝5
4π时，f (x )
有最大值，所以－a ＋a ＋b ＝4，所以a ＝－2＋1，b ＝4，所以a ＋b ＝5－ 2.
20．(本小题满分16分)(2010年高考山东卷)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2
ωx (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )
的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π16上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2
ωx ，
所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx
2
＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12
＝22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.
由于ω＞0，依题意得2π
2ω
＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，
所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.
当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π
2
，
所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋2
2.
故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π16上的最小值为1.。