山东省2019年秋高二上学期期末考试数学(理)试题含答案

山东省2019年秋季高二数学（理科）期末
检 测 试 题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知命题:0,1x
p x e x ∀>>+，则p ⌝为（ ） A ．0,1x
x e x ∀>≤+ B ．0,1x
x e x ∃>≤+ C ．0,1x
x e x ∀<≤+ D ．0,1x
x e x ∃<≤+ 2.抛物线22y x =的焦点坐标是 （ ） A ．1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
3. 过点()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）
A ．220x y +-=
B ．210x y -+=
C ．210x y --=
D ．210x y +-=
4.若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
，则2z x y =-的最大值为 （ ）
A ． 1
B ．2 C. 3 D ．4
5.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是 （ ）
A ．324cm
B ．
3
643
cm C. (36cm +
D ．(3
24cm +
6. 圆2
2
4x y +=与圆()()22
3449x y -+-=的位置关系为（ ）
A ．内切
B ．相交 C. 外切 D ．相离
7.“02n <<”是“方程
22
113
x y n n +=+-表示双曲线”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件
8. 过点()2,0P 引直线l 与曲线y =
,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的
面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）
A ．．±9. 设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A ．//,//m n αβ且//αβ，则//m n
B ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥ C. ,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥ D ．,,m//,//m n n ααββ⊂⊂，则//αβ
10. 设12,F F 分别是双曲线()2222:10,b 0x y C a a b
-=>>的左、右焦点．圆2222
x y a b
+=+与双曲线C 的右支交于点A ，且1223AF AF =，则双曲线离心率为（ ）
A ．
125 B ．13
5
C. 2 D 11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1111,A A B C 中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）
A ．
110 B ．2
5
C. 10 D ．2
12. 已知()0,2A ，抛物线()2
:0C y mx m =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点
M ，与其准线相交于点N 中，若:FM MN =，则三角形OFN 面积为（ ）
A ．．．第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 的坐标为()1,2,3-，其中心M 的坐标为()0,2,1，则该正方体的棱长等于 ．
14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高h 为6米（如图所示），路面设计是双向车道，
车道总宽为 4.5米，那么隧道设计的拱宽d 至少应是 米．
15.已知,A B 是球O 的球面上两点，0
90,AOB C ∠=为该球面上的动点．若三棱锥O ABC -体积的最大值为
9
2
，则球O 的表面积为 ． 16.已知圆2
2
:1O x y +=，圆()()22
:41M x a y a -+-+=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为,A B ，使得060APB ∠=，则实数a 的最大值与最小值之和为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知圆2
2
:8120C x y x +-+=，直线:20l x ay a ++=． （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
（2）当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =时，求直线l 的方程． 18. 如图，已知PA O ⊥
所在的平面，AB 是O 的直径，4,AB C =是O 上一点，且
0,45,AC BC PCA E =∠=是PC 中点，F 为PB 中点．
（1）求证：//EF 面ABC ； （2）求证：EF ⊥面PAC ； （3）求三棱锥B PAC -的体积．
19. 已知命题:p 直线20ax y +-=和直线()32110ax a y -++=垂直；命题:q 三条直线
2310,4x 3y 50,10x y ax y -+=++=--=将平面划分为六部分．若p q ∨为真命题，求实
数a 的取值集合．
20. 已知四棱锥S ABCD -，四边形ABCD 是正方形，2,2ABS BA AS SD S ∆====． （1）证明：平面ABCD ⊥平面SAD ；
（2）若M 为SD 的中点，求二面角B CM S --的余弦值．
21.已知抛物线()2
:20C y px p =>上一点(),2A m 到其焦点F 的距离为2．
（1）求抛物线C 的方程； （2）若直线l 与圆224
3
x y +=
切于点M ，与抛物线C 切于点N ，求FMN ∆的面积．
22.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于
,A B 两点，当直线l 与x 轴平行时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ，使得直线l 变化时，总有PQA PQB ∠=∠？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷答案
一、选择题
1-5:BDCCB 6-10: AABBD 11、12：CA
二、填空题
13. 14. 32 15. 36π 16. 4
三、解答题
17.解：将圆C 的方程2
2
8120x y x +-+=化成标准方程为()2
244x y -+=，
则此圆的圆心为()4,0，半径为2． （1）若直线l 与圆C
2=，解得3
4a =-；
（2）过圆心C 作CD AB ⊥，则根据题意和圆的性质，
得2222
212CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪
⎪
⎪+==⎨⎪⎪==⎪
⎩，解得7a =-或1a =-，故所求直线方程为7140x y --=或20x y --=．
18.解：（1）证明：在三角形PBC 中，E 是PC 中点，F 为PB 中点， ∴//EF BC ，BC ⊂平面,ABC EF ⊄平面ABC ，∴//EF 面ABC ； （2）证明：∵PA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC PA ⊥， 又∵AB 是O 的直径，∴BC AC ⊥，
又PA
AC A =，∴BC ⊥面PAC ，
∵//EF BC ，∴EF ⊥面PAC ； （3）∵0
45PCA ∠=，∴PA AC =，
在Rt ABC ∆中，∵,4AC BC AB ==
，∴AC BC ==，
∴182
33
B PA
C P ABC ABC V V S PA --∆==
=．
19.解：p 真：()2
3210a a -+=，()()2
3213110a a a a --=+-=，∴13
a =-或1a =，
q 真：∵2310x y -+=与4350x y ++=不平行，
则2310x y -+=与10ax y --=平行或4350x y ++=与10ax y --=平行或三条直线交于一点，
若2310x y -+=与10ax y --=平行，由
11231a --=≠
-得2
3a =， 若4350x y ++=与10ax y --=平行，由11435a --=≠
得4
3
a =-， 若三条直线交于一点，由23104350x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得1
13x y =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，
代入10ax y --=得23
a =-， ∴q 真，23a =
或43a =-或23
a =-， ∵p q ∨真，∴p q 、至少有一个为真，
∴a 的取值集合为4212,,,,13333⎧⎫
-
--⎨⎬⎩⎭
． 20.解：（1）证明：∵1
22sin 22
ABS S BAS ∆=
∠=， ∴sin 1BAS ∠=，即BA AS ⊥， 又∵ABCD 为正方形，∴BA AD ⊥， ∵BA
AS A =，
∴BA ⊥平面SAD ，∵BA ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面SAD ； （2）
解：设AD 的中点为O ，∵AS SD =，∴SO AD ⊥，
由（1）可知平面ABCD ⊥平面SAD ，且平面ABCD 平面SAD AD =，
∴SO ⊥平面ABCD ，
在平面ABCD 内，过O 作直线Ox AD ⊥，则,,Ox OD OS 两两垂直．
以O 为坐标原点，,,Ox OD OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()(
)(
12,1,0,2,1,0,0,1,0,,0,2B C D S M ⎛- ⎝⎭
， ∴(
)(130,2,0,2,,,2,22BC CM CS ⎛⎫
==--=-- ⎪ ⎝⎭
， 设平面BCM 的法向量为()111,,n x
y z =，
则00n BC n CM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，1
1112012022y x y z =⎧⎪⎨--+
=⎪⎩，即11104
y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，取(
)
3,0,4n =
，
设平面CMS 的法向量为()222,,
m x y z =，
则00m CS m CM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222222
1202x y x y z ⎧--+=⎪⎨--
+
=⎪⎩，即2220x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
，取()
m =， cos ,2
19
m n m n m n
=
=
=B CM S --的余弦值为19．
21.解：（1）∵(),2A m 在抛物线2
2y px =上，∴2
m p
=
， 由题意可知，
222
p
p +=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为2
4y x =；
（
2）设直线l 方程为：y kx
b =+，∵l 与圆224
3
x y +=相切， ∴d =
=
，整理得22
344b k =+，① 依题意直线l 与抛物线2
4y x =相切，
由2
4y kx b y x
=+⎧⎨
=⎩得()222
240k x kb x b +-+= （*） ()2
2224401kb k b kb ∆=--=⇒= ②
由①②解得k b =
=
或k b == 此时方程（*）化为2440x x -+=，解得2x =
，∴点(2,N ±，
∴3
MN =
===， 直线l
为：2y x =
或2
y x =-， ()1,0F 到l
的距离为d '=，
∴11223
FMN S MN d ∆'=
=⨯=． 22.解：（1
）∵2221
22
c e e a ===，∴2222222,2a c b c b c a b ==+==， 椭圆方程化为：22
2212x y b b
+=
，由题意知，椭圆过点
)
，
∴
2261
12b b
+=，解得224,8b a ==， 所以椭圆C 的方程为：22
184
x y +=； （2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程：1y kx =+，
由2228
1
x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得()2221460k x kx ++-=，()221624210k k ∆=++>， 设()()1221122122421
,,,,621k x x k A x y B x y x x k -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
，
假设存在定点()0,Q t 符合题意，∵PQA PQB ∠=∠，∴QA QB k k =-，
∴
()()()()21121221121212121212
11QA QB x y x y t x x x kx x kx t x x y t y t k k x x x x x x +-++++-+--+=
+== ()()()()1212122124421063
kx x t x x k t k k t x x +-+--=
=+-==-， ∵上式对任意实数k 恒等于零，∴40t -=，即4t =，∴()0,4Q ， 当直线l 斜率不存在时，,A B 两点分别为椭圆的上下顶点()()0,2,0,2-， 显然此时PQA PQB ∠=∠，综上，存在定点()0,4Q 满足题意．。