(优选)经济数学基础微积分课函数

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经济数学基础--函数

x
1 2
y

x 32
x
指数函数的运算性质可依据幂函数的运算性质(1)--(5)。
31
（四）对数函数 y log a x
其中a为底数，x为真数
a 0, a 1
例如： y log 3 x 就称为以3为底的对数函数
其中以e为底的对数函数称为自然对数，
简记为y ln x ( log e x)
x 1 0 x 1 2 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 即：x 1 x 1 或 x 1
写成区间： , ) (1
公共部分
11
【练习2】
1 求函数 f ( x) 3 x 的定义域 . ln( x 3)
a a 1y 2
x x
;
2y x sin x.
x
解：
(1) 对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得
f x
a
x
a 2

a
x
a f x 2
x
由定义,知f(x)是偶函数。
23
(2) 对任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得
f x x sin x x sin x x sin x f x
x 3
分解为基本初等函数的复合运算或四则运算。
解：
1y e
u
uv
1 2
v x3
2
2y log2 u
u 1 x
41
9. 分段函数
有些函数在它的定义域的不同部分,其表达式不同，亦即用多个解析式表示函数，这类函数称为分段函数. 例 8.1:绝对值函数

经济数学基础(微积分)讲义全

经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。

2，幂函数，αx y =（α是一个数）形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数）例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。

4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。

5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。

● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。

● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。

知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。

数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。

经济数学基础--微积分第八章

(1
1 n
)n
,
因为
lim
n
un
lim
n
1
1
n
1
n
1 e
0, 所以级数发散.
例8.1.7 讨论级数 cos n 的敛散性.
n 1
2
解因为数列{cos n }就是0, 1, 0,1, 0, 1,, 这个数列发散, 所以级数也发散.
2
第 12 页
经济应用数学基础——微积分
第八章第二节第 13 页
8 1
简记为 un , 称上式为数项无穷级数, 简称无穷级数.其中, 第n项un 称为级数的一般项, n 1
级数的前n项和
n
Sn uk u1 u2 un k 1
称为级数的前n项部分和, 简称部分和.
8 2
第4 页
经济应用数学基础——微积分
无
第八章第一节
穷
级
数
的
定义8.1.2
若数项级数的部分和数列{Sn
lim
n
Sn
1
S.由于an
Sn
Sn1 ,
所以
lim
n
an
lnim(Sn
Sn1 )
S
S
0.
注意本性质说明如果级数 an收敛, 则通项的极限等于0.反之不成立, 如调和级数
1, 虽然 lim 1 0, 但此级数发散.另外, 如果通项的极限不等于0, 级数一定是发散的, 这
n1 n
n n
就是下面的推论.
n
1
n 2 3 1 5 1 2
n3/2
n 1
n3/2
n n2
n6
n
1

经济数学微积分经济学中的常用函数

在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近，且始终位于该直
线下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点供需平衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产要素的费用支付可变生产要素的费用
总成本固定成本可变成本平均成本产量产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q

经济数学基础第1章

记为 lim f ( x) A , 或者 x x0
f ( x) A( x x0 ) .
y
当x在x0的去心邻
域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
A
A
A
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
y f (x)
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后,越小越好.
y
单侧极限:
y1 x
x0 x
2
lim(1 1 )x e
x
x
1
或lim(1) e. 0
1.6 函数的连续性
1.6.1 函数连续的概念 1.6.2 初等函数的连续性 1.6.3 闭区间上连续函数的性质
1.6.1 函数连续的概念
定义设函数 f ( x) 在U( x0, ) 内有定义,如果
函数 f ( x) 当 x x0 时的极限存在,且等于它在
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
1.2.2 函数的极限
问题:函数 y f ( x) 在 x x0 的过程中, 对应函数
值 f (x) 无限趋近于确定值A .
x x0 时 f (x) 的极限定义若对任意给定的正数 > 0, 总存在正数 >0,只要 f 的定义域中的点 x 满足0<|x x0|< 时，恒有 |f(x)A|< 成立，则称常数A 是函数 f(x) 当 x x0时的极限,简称 A 是 f (x)在 x0 处的极限.
点 x0处的函数值
那末就称函数 f (
f( x)
x ) ,即 lim f
0
在点
x0
连x续x0 .
(
x

经济应用数学基础微积分第九章课件

形如 dy f (x)g( y) 的方程，称为变量分离方程. dx
例如 dy xe y e ydy xdx,
dx
解法设函数g( y)和 f ( x)是连续的,

1 g( y)
dy

f
(
x)dx
分离变量法
设G( y)和F (x)分别为 1 和f (x)的原函数，则 g( y)
G( y) F( x) C 为微分方程的解.
第九章微分方程与差分方程简介
一、微分方程的一般概念二、一阶微分方程三、几种二阶微分方程四、二阶常系数线性微分方程五、差分方程简介
9.1 微分方程的一般概念
1、问题的提出
引例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M ( x, y)处的切线的斜率为2 x,求这曲线的方程.
解设所求曲线为 y y(x),则
三、不显含自变量的二阶微分方程y'' f ( y, y ')
一、最简单的二阶微分方程
形如 y f (x) 的微分方程是最简单的二阶微
分方程。
特点：右端是 x 的一元函数。
解法：连续求两次积分。
例解微分方程
y xex
二、不显含函数的微分方程y'' f ( x, y ')
常微，偏微，阶，通解，特解。二、变量分离微分方程的解法
三、齐次微分方程的解法: y ux
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;

经济数学基础微积分

3 gx x2 1 x 1 x 1
x 1
f x x 1 x R 即D f Dg, f x gx.
的定义域。
x3
【解】要使得表达式有意义,必须
x 3 0

x
2

4

0
解这组不等式，得
x 3 (x 2)( x 2) 0
所以，所求函数的定义域为：
x 3

x

2
或
x

2
写成区间的形式，得到定义域：
D (,3) (3,2] [2,)
【练习2】
求函数 f (x) 1 3 x 的定义域. ln(x 3)
【解】要使 f ( x) 有意义，必须有
(因为ln 1 0)
x 3 0 ln(x 3) 0 3 x 0
x 3 x 3 1 x 3
x 3

x
即，相应的用0, x2, 1 x 去替换f x
中的x.
【练习3】
设 f x 1 , 则 f f x (
).
x
A 1
B 1 Cx Dx2
x
x2
解：
f f x
f 1 x
1 1
x.
x
所以选择C.
更复杂一点，可以根据函数在某个表达式上的值，反过来求该函数的计算公式。
2
x;
3 f x x 1, gx x2 1.
x 1
解：1gx x2 x, f x gx.
2gx x 2 xx 0; f x xx R
即D f Dg, f x gx.

经济数学基础微积分课件常微分方程

例2 验证函数 y e x e x 是不是方程
y 2 y y 0的解.
解求 y e x e x 的导数，得 y e x e x , y e x e x
将y、y及y 代入原方程的左边，有
e x e x 2e x 2e x e x e x 0 即函数 y e x e x 不满足原方程，
前页后页结束
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
0
将（9.2.3）式两边积分后，
（9.2.3）
M1(x) N1(x)
d
x
N2(y) M 2( y)
d
y
C
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解．
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
y e p(x)d x q(x)e p(x)d x d x C
即为所求（9.3.1）的通解．
前页后页结束
例1 求微分方程 dy 2xy 2xe x2 的通解． dx
解 p(x) 2x, q(x) 2xex2
代入公式
y e2xd x 2xex2 e2xd x d x C
常微分方程
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶
的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例
结束
9.1 常微分方程的基本概念
定义一含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程定义二在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶

《经济数学基础》第一篇第一章--函数

例如： y x, y x3,
y
1 x2
x2
1
y x x2
2
y 3 x2 x3
归纳幂函数的性质：
1 xn xm xnm 如：x3 x5 x8
2
1 xn
xn
如： x13＝x3
3
xn
xm
xn xm
xnm
如： x2＝ 1
x3
x5 x3
n
3
4 m xn x m 如：y 5 x3 x 5
x 3
x
2
x 3
x 3 接下来将： x 2 写成区间的形式
x 3
x
－3 －2
3
得到定义域： D (3,2) (2,3]
三. 计算函数的值
就是将自变量的值代入函数的表达式中，计算出因变量(函数)的值来。
关键是对函数记号f x的理解: (1) f x0 表示函数f x在x x0处的值;
x 1
解：1gx x2 x, f x gx.
2gx x 2 xx 0; f x xx R
即D f Dg, f x gx.
3 gx x2 1 x 1 x 1
x 1
f x x 1 x R 即D f Dg, f x gx.
例 4.2 判断下列函数是否相同：
1 f x ln x2, gx 2 ln x; 2 f x ln x3, gx 3ln x;
要注意：所有函数可以分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数。
通过图像可以看出： •奇函数的图像是关于原点对称的， •偶函数的图像是关于y轴对称的。
通过定义，我们可以证明得到下面的结论：
•奇＋奇＝奇， •偶＋偶＝偶， •奇×奇＝偶， •偶×偶＝偶， •奇×偶＝奇， •奇＋偶＝非奇非偶函数， • f(x) + f(-x) 为偶函数， f(x) - f(-x) 为奇函数。

经济数学大一下知识点总结

经济数学大一下知识点总结经济数学是经济学专业的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和运用数学方法解决经济问题的能力。

下面对经济数学大一下学期的主要知识点进行总结。

一、微分学1. 函数的极限与连续性：介绍了函数极限的概念及其相关定理，以及连续函数的性质。

2. 导数与微分：讲解了导数的定义、求导法则和性质，以及微分的概念与应用。

3. 高阶导数与隐函数求导：介绍了高阶导数的概念和计算方法，以及如何求解含隐函数的导数。

4. 微分中值定理：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理，以及它们的应用。

二、积分学1. 不定积分与定积分：介绍了不定积分和定积分的概念，并讨论了它们的基本性质和计算方法。

2. 定积分的几何应用：探讨了定积分在计算曲线长度、曲线面积和旋转体体积等几何问题中的应用。

3. 定积分的物理应用：讲解了定积分在质量、质心和功等物理问题中的意义和应用。

4. 牛顿-莱布尼茨公式：介绍了牛顿-莱布尼茨公式的含义和推导过程，以及它在积分学中的重要性。

三、线性代数1. 行列式与矩阵：讲解了行列式的定义和计算方法，以及矩阵的基本概念、运算规则和特殊矩阵的性质。

2. 线性方程组与矩阵求逆：介绍了线性方程组的解法和矩阵求逆的方法，以及它们在经济学中的应用。

3. 特征值与特征向量：探讨了特征值与特征向量的定义、计算和性质，以及它们在矩阵对角化中的应用。

4. 线性空间与子空间：包括线性空间的定义与性质，以及子空间的判定方法和子空间的基与维数。

四、概率论与数理统计1. 概率论基础知识：介绍了随机试验、样本空间、事件及其概率的概念，以及概率的运算规则和重要定理。

2. 随机变量与概率分布：讲解了随机变量的概念和分类，以及常见离散型和连续型概率分布的定义和性质。

3. 多维随机变量与联合分布：探讨了多维随机变量的概念和联合分布的计算方法，以及边缘分布和条件分布的性质。

4. 参数估计与假设检验：介绍了参数估计的方法和性质，以及假设检验的基本原理和步骤。

经济数学微积分第一章函数部分[新版]

第一章函数教学过程:一、集合及其表示、运算（一）集合的概念1.【定义】集合—具有某种属性的事物组成的全体.用大写字母,,A B C 表示. 例如①自然数集:{0,1,2,3,4,}N =,而{1,2,3,4,}N +=； ② 整数集{0,1,2,3,}Z =±±±；③ 有理数集: Q =,,pp Z q N p q q+∈∈｛且与互质｝；④ 实数集:R , 而{|0,}R x x x R +=>∈ .集合的例子： (1) 2009年1月2日出生的人.(2) 方程 2560x x -+=的根. (3) 全体偶数. (4) 直线 10x y +-=上所有的点. 不是集合的例子：很小的数；张雨的好朋友.2.元素——组成集合的各个事物或对象, 用小写字母c b a ,,表示.3.集合与元素的关系(从属关系)(1) a 属于A ——事物a 是集合A 的元素. 记作a A ∈；(2) a 不属于A ——事物a 不是集合A 的元素. 记作a A ∉.4.有限集----含有有限个元素.无限集----含有无限个元素. （二）集合的表示方法(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即},,,{21n a a a A =.例如 }6,5,4,3,2,1{=A .(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法. 即}|{所具有的特征a a A =.例如 22{(,)|1}A x y x y =+=.2{|560}B x x x =-+=.（3）全集与空集①空集——不含有任何元素的集合. 记作Φ.提问：{}{}0,Φ是空集吗？②全集——所研究的所有事物组成的集合，记作U .（三）集合的关系（包含关系）与运算 1.【定义1.1】A 是B 的子集 ——x A x B ∀∈⇒∈.记作A B ⊂.A 是B 的真子集—— A B ⊂,且A B ≠,记作 .例如： , , . 2.规定：空集为任何集合的子集. 空集为任何非空集合的真子集. 3.【定义1.2】A 与B 相等——若A B ⊂且B A ⊂，记作A B =. 例如：（1）设{1,2},A ={2,1},B =2{320},C x x x =-+=则.A B C ==（2）{}|A x x =是大于1而小于4的整数；{}2|560B x x x =-+=则A B =.≠⊂Z Q ≠⊂N Z ≠⊂Q R ≠⊂A BA BB A BA4.【定义1.3】并集{|}AB x x A x B =∈∈或,记作A B .5.【定义1.4】交集{|}AB x x A x B =∈∈且,简记为A B .6.【定义1.5】差集——{|}A B x x A x B -=∈∉且,B A -有时写成A B \；7.【定义1.6】余集(补集)——cA U A =-，其中U 为全集.显然：()c cA A =. （四）集合的运算律 (1)交换律： ① AB B A =； ②A B B A =.(2)结合律： ① )()(C B A C B A =；②)()(C B A C B A =.(3)分配律： ① )()()(C B C A C B A =；② )()()(C B C A C B A =.(4)对偶原理(摩尔根原理)：①()c c c AB A B =；② ()c c c A B A B =.证明：先证①. x U ∀∈，有()c x AB x A B∈⇔∉x A x B ⇔∉∉且cc c c B A x B x A x ∈⇔∈∈⇔且.① 得证.再证②.c c c c c c c c c c c c B A B A B A B A )(])()[(])[( ===.②得证.例1 某地区有100个工厂，其中，80个生产甲种机床，记为集合A ；61个生产乙种机床，记为集合B ；55个两种机床都生产.试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目.(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；(2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床中至少生产其中一种的工厂；(4)甲、乙两种机床都不生产的工厂. 解（1）此类工厂的集合为A B -,工厂数目为80-55=25（个）.（2）此类工厂的集合为 B A -,工厂数目为 61-55=6（个）.（3）此类工厂的集合为 A B ,工厂数目为 25+55+6=86（个）.（4）此类工厂的集合为 A B ,工厂数目为 100-（25+55+6）=14（个）.例2 利用集合的运算律证明：()()AB A B B =.（五）笛卡尔积1212{(,,,)|,1,2,,}n n i i A A A x x x x A i n ⨯⨯⨯=∈=.【定义1.7】设有集合：A B 和,对任意的 ,x A y B ∈∈，所有的二元有序数组(,)x y 构成的集合，称为A B 和的笛卡尔乘积（或直积），记作{}(,)|,A B x y x A y B ⨯=∈∈.平面点集 {}2(,)|,R R R x y x y R =⨯=∈.空间点集 {}3(,,)|,,R R R R x y z x y z R =⨯⨯=∈.提问：如果{3,0,2}X Y ==,求X Y ⨯.解 X Y ⨯={(3,3),(3,0),(3,2),(0,3),(0,0),(0,2),(2,3),(2,0),(2,2)}.提问：设集合1231212{,,},{,},{,}X x x x Y y y Z z z ===,求X Y Z ⨯⨯. 解 X Y Z⨯⨯x y z x y z x y z x y z =111112121121{(,,),(,,),(,,),(,,),211212221221(,,),(,,),(,,),(,,),x y z x y z x y z x y z 311312321321(,,),(,,),(,,),(,,)}x y z x y z x y z x y z .例3 设{}|02A x x =≤≤,{}|01B x y =≤≤则 A B ⨯ {}(,)|02,01x y x y =≤≤≤≤.例4 设{}{}{}0,1,1,2,3A B C ===,则{}(0,1,3),(0,2,3),(1,1,3),(1,2,3)A B C ⨯⨯=.提问：按下列要求举例: (1)一个有限集合; }4,3,2,1{=A ;(2)一个无限集合; n n k B ,12|{+=为正整数};(3)一个空集; x x x C ,01|{2=+=为实数};(4)一个集合是另一个集合的子集；}3,2,1{}2,1{21=⊂=D D提问：用集合的描述法表示下列集合:(1)圆2225x y +=内部(不包含圆周)一切点的集合;22{(,)|25,,B x y x y x y =+<均为实数};(2)抛物线2y x =与直线0x y -=的交点的集合.|),{(y x C =2x y =且y x y x ,,0=-均为实数}.提问：用列举法表示下列集合:(1)抛物线2x y =与直线0=-y x 的交点的集合;)}1,1(),0,0{(=B (2)集合5|1| |{≤-x x 的整数}.{4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6)}C =----.提问：下列哪些集合是空集:{|10}A x x =+=⇒∅≠A ，2{|10,B x x x =+=为实数}⇒∅=B1|{>=x x C 且}0<x ⇒∅=C ,0|{>=x x D 且}1<x ⇒∅≠D 1|),{(22=+=y x y x E 且y x y x ,,3=+为实数}⇒∅=E .提问：写出}2,1,0{=A 的一切子集.解 }2,1,0{},2,1{},2,0{},1,0{},2{},1{},0{,∅.注:空集是任何集合的子集.一般含有n 个元素的集合,其子集的个数为:12n n 0nn n n n C C C (11)C 21+++=+-=-.提问：如果}2,1{},2,1,0{==B A ,下列各种写法,哪些是对的?哪些不对?A ∈1，B ∉0，{1}A ∈，A ⊂1，A ⊂}1{，A ⊂0，A ⊂}0{，B ⊂}0{，B A =，B A ⊃，A ⊂∅，A A ⊂.提问:设},6,4,2{},5,3,1{},3,2,1{===C B A 求：解 (1)}6,5,4,3,2,1{=C B A ; (2)∅=C B A ;(3){2}A B -=.练习.如果{|35}A x x =<<,{|4}B x x =>,求:(1)A B ；(2)A B ；(3)A B -.解 (1)}3|{>=x x B A ;(2)}54|{<<=x x B A ; (3)}43|{≤<=-x x B A .练习.如果}02|),{(≥+-=y x y x A ,}0632|),{(≥-+=y x y x B ,}04|),{(≤-=x y x C ,在坐标平面上标出C B A 的区域. 解在坐标平面上C B A 表示的区域如图15-所示.练习.如果}3,2,1{},6,5,4,3,2,1{==A U ,}6,4,2{=B求： (1)AB ；(2)A B .解 (1){1,3,4,5,6}A B =;(2){5}A B =.二、区间与邻域（一）实数与数轴 1.有理数-----有限小数或无限循环小数；2.无理数----无限不循环小数.3.实数-------有理数与无理数的总体.4.数轴-------规定了原点、正方向、单位长度的直线.5.实数集与数轴上点的集合是一一对应关系.（二）绝对值1.【定义1.8】实数x 的绝对值记作x ，且有15-图,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩. 2. x 的几何意义：实数为x 的点到原点的距离.3.绝对值及运算性质（1）2x x =.（2）0x ≥.（3）x x =-.（4）x x x -≤≤.（5）{}{}0a x x a x a x a ><=<<时，||-.（6）{}{}0a x x a x x a x a >>=<>时，||-或.（7）x y x y x y -≤±≤+.(8)xy x y =⋅.(9)(0)x xy y y=≠.（三）区间区间常用I 表示. 设R ∈∀b a ,,且b a <.1.有限区间(1)开区间——}|{),(b x a x b a <<=；(2)闭区间——}|{],[b x a x b a ≤≤=；(3)半开半闭区间——}|{],(b x a x b a ≤<=；}|{),[b x a x b a <≤=.a bx a bx a b x abx2.无限区间引入记号∞+及∞-, 分别读作正无穷大和负无穷大.(1) }|{),(a x x a >=+∞；(2) }|{),[a x x a ≥=+∞；(3) }|{),(b x x b <=-∞；(4) }|{],(bx x b ≤=-∞；(5) R R =∈=+∞-∞}|{),(x x .其中：b a ,称为区间的端点；在有限区间中,a b -称为区间的长度. （四）邻域与去心邻域点a 的邻域(称0δ>为邻域的半径) (1) 点a 的δ邻域:{}(,)|(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+, 简记()U a ；(2) 点a 的δ去心邻域:{}(,)|0(,)(,)U a x x a a a a a δδδδ=<-<=-+,a x a xb x O x b x δ-a δ+a xa简记()U a ；(3) 点a 的左δ邻域: (,)(,)U a a a δδ-=-, 简记()U a -；(4) 点a 的右δ邻域: (,),)U a a a δδ+=+（, 简记()U a +；4.无穷大的邻域)0(>K(1) 无穷大∞的K 邻域: ),(),(),(+∞--∞=∞K K K U,简记)(∞U ；(2) ∞-的K 邻域: ),(),(K K U --∞=-∞, 简记)(-∞U ；(3) ∞+的K 邻域: ),(),(+∞=+∞K K U, 简记)(+∞U .注：无穷大邻域中的U 也写成U ,δ-a xa δ+a xaKx0K-Kx 0xK-例如=∞),(K U),(K U ∞.三、映射*、函数关系（一）映射1.【映射定义】设B A ,是两个非空集合,若A x ∈∀,通过法则f ,|y B ∃∈与x 对应,则称f 是A 到B 的映射, 记作B A f →:.其中：(1) y 称为元素x (在映射f 下)的像,记作)(x f , 即)(x f y =；(2) x 称为元素y (在映射f 下)的原像； (3) 集合A 称为映射f 的定义域, 记作)(f D , 即)(f D A =；(4) 数集}),(|{)(A x x f y y A f ∈==称为映射f 的值域.2．特殊映射(1)满射：若()f A B =, 称映射f 为满射；(2) 单射：12,x x A ∀∈,若12x x ≠,有12()()f x f x ≠,称映射f 为单射；(3) 一一映射(双射)：若映射f 既是单射,又是满射, 称映射f 为一一映射.3.逆映射：设f 是A 到B 的单射且为满射,对于)(A f y ∈∀,A x ∈∃|..t s )(x f y =,这样所确定的)(A f 到A B fA BfA B 1-fA 的映射)(y x ϕ=称为映射)(x f y =的逆映射,记作)(1y f x -=.注：(1) 逆映射)(1y f-的定义域为)(A f ,值域为A .(2) 只有双射才有逆映射.（二）函数关系1．函数概念【定义1.9】设非空数集D R ⊂,则映射:f D R →称为定义在D 上的x 的函数. 记作()y f x =,其中：(1) x 称为自变量, y 称为因变量；(2) 对于D x ∈0,称)(0x f 为函数)(x f 在点0x 处的函数值；(3) 数集D 称为函数)(x f 的定义域, 记作=()f D f D ；(4) 数集}),(|{)(D x x f y y D f ∈==称为函数)(x f 的值域. 记作()Z f 或f R .约定：用数学表达式表示的函数)(x f y =,若其定义域没有直接给出,规定()D f ={x |使表达式有意义的实数x }提问:函数有几个要素?(定义域、对应法则)例1 2arcsin(2)y x =+，2lg()y x =-，y x >是函数吗？为什么？例2 下列函数是否相同？为什么？（1）2(),()x f x x g x x==；（2）2(),()f x x g x x ==；（3）2()ln ,()2ln f x x g x x ==；（4）21(),()11x f x g x x x -==-+.例3 求下列函数的自然定义域(1)2121y x x =++-；解：⎩⎨⎧≥+≠-02012x x ⇒⎩⎨⎧-≥±≠21x x ⇒ ),1()1,1()1,2[)(+∞---= f D .(2)211arcsin 225x y x-=+-；解：121≤-x 且5x <⇒2|1|≤-x 且5x <⇒[1,3](5,5)--⇒()[1,3]D f =-.(3)ln(3)||1x y x -=-；解：⎩⎨⎧>->-01||03x x ⇒⎩⎨⎧><1||3x x ⇒)3,1()1,()( --∞=f D .(4)221arccos76x y x x -=--.解：⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-0617122x x x ⇒⎩⎨⎧>+-≤-0)2)(3(712x x x ⇒⎩⎨⎧>-<≤≤3 243x x x 或－⇒]4,3()2,3[)( --=f D .(5)25lg 4x x y -=解: ⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≥-0)5(145045045lg 222x x x x x x x x ⎩⎨⎧<<≥+-⇒500452x x x}41|{)(≤≤=⇒x x y D ;（6）1lg(32)y x =-解: 321lg(32)021232033x x x x x x -≠⎧-≠⎧⎪⇒⇒>≠⎨⎨->>⎩⎪⎩且22(){|1}(,1)(1,)33D f x x x ⇒=>≠=+∞且.2．函数分类(1) 单值函数——R ⊂∈∀D x ,通过法则f ,R ∈∃y |与x 对应,则称函数)(x f y =是x 的单值函数. 注：除特别情况外，本课所讨论的函数均指单值函数.(2) 多值函数——R ⊂∈∀D x ,通过法则f ,R ∈∃y 与x 对应,且D x ∈∃0,通过法则f ,至少有两个不同的R ∈21,y y 与0x 对应,此时则称函数)(x f y =是x 的多值函数.例如 222r y x =+, )0(>r 是多值函数.又例如 sin arcsin ()y Arc x k x k Z π==+∈ 也是多值函数.(3)一元函数: )(x f y =自变量只有一个；(4)多元函数：(,,,)12n y f x x x =自变量有2个或2个以上的元素；(5)显函数：形如()y f x =用自变量的代数式表示因变量的函数. 225y x =-,1lg(32)y x =-,2y x 6x 7=+-,22z x y 6x 4y y =+-+等 (6)隐函数：形如(,)0F x y =,用方程表示自变量和因变量关系的函数.,sin()ln()22xy x y 4e x y 2x 5+=++=+, 1xy =,210y x +-=为隐函数.注意：隐函数不一定可以转化为显函数.不是所有的方程(,)0F x y =都可以确定隐函数，如方程2210x y ++=就不能确定隐函数.3.函数的表示法解析法、列表法、图像法.4．特殊函数(1) 绝对值函数,0,||,0.x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩()(,)D f =-∞+∞；()[0,)f D =+∞.(2) 符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()(,)D f =-∞+∞；(){1,0,1}f D =-.显然：||sgn x x x =.(3) 取整函数[]y x =, ()(,)D f =-∞+∞；Z =)(D f .其中：][x 表示不超过x 的最大整数, 并称][x 为x 的整数部分. 例如：1]5.1[=, 2]5.1[-=-,1]2[=,0]5.0[=等等.(4) 分段函数：自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子表示的函数.yxO xy sgn =1-1y xO][x y =1-12-2yxy +=1xy 2=)(x f y =yxO||x y =例如：||x y =,x y sgn =,][x y =等等.例如函数⎩⎨⎧>+≤≤==.1,1,10,2)(x x x x x f y 是一个分段函数.),0[)(+∞=f D ；),0[)(+∞=D f .例如：2212)21(==f ,212)1(==f ，431)3(=+=f .提问：分段函数的定义域和值域如何确定？(5) 阶梯函数：分段取常值且增加的函数. 例如：][x y =等.(6) Dirichlet （狄利克雷）函数x QD x x R Q∈⎧=⎨∈-⎩1,()0,例4 确定下列函数的定义域并作出函数图形:(1) 1,0,()0,0,1,0.x f x x x >⎧⎪==⎨⎪<⎩(2), 1 211,()1, 2.x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-<<⎪⎩解 (1) ()(,)D f =-∞+∞,图形如图31-所示;(2) =)(f D }22|{<<-x x ,图形如图32-所示.例5 将函数5|21|y x =--用分段形式表示,作出函数图形.31-32-解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥-=--=.21 ,42,21 ,26|12|5x x x x x y图形如图33-所示.例6 函数221,11,12x x y x x ⎧-<⎪=⎨-<≤⎪⎩解：1x =时函数无意义，函数定义域为[2,1)(1,1)(1,2]D =---图形如图44-所示.例7 已知函数22,02(),24x x f x xx +≤≤⎧=⎨<≤⎩，求(1)f x -.解：2(1)2,012(1)(1),214x x f x x x -+≤-≤⎧-=⎨-<-≤⎩ 21,13(1),35x x x x +≤≤⎧=⎨-<≤⎩. 例8 画出函数 []y x x =-的图像.（是周期为1的周期函数.）（三）函数的几种基本性质 1.奇偶性：【定义1.10】给定函数()y f x =，若()D f 关于原点对称.33-(1) 偶函数()f x ——()x D f ∀∈,恒有()()f x f x -=.注: 偶函数图形关于y 轴对称.(2) 奇函数()f x ——()x D f ∀∈,恒有()()f x f x -=-.注: 奇函数图形关于原点对称.讨论函数奇偶性时，千万注意条件：()D D f =关于原点对称,即x D x D ∀∈⇒-∈.例9 判断下列函数的奇偶性（1）1y x =（奇函数）；（2）31y x =+（非奇非偶函数）（3）422y x x =-（偶函数）（4）0y = （即奇又偶函数）（5）sin xy x=（偶函数）.例10 判断函数10()0010x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩的奇偶性.解: 10()0010x x f x x x x -+-<⎧⎪-=-=⎨⎪--->⎩100010()x x x x x f x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩=- 故函数()f x 为奇函数.结论：设函数()f x 的定义域为(,)l l -，则在(,)l l -上一定存在函数奇函数()g x 与偶函数()h x ，使得()()()f x g x h x =+.即对于定义在(,)l l -上的函数，则有奇函数 ()()()2f x f xg x --=；偶函数 ()()()2f x f x h x +-=.2.周期性设()D D f =(1)【定义1.11】周期函数()f x —— 0,..l s t x D ∃≠∀∈,有x l D ±∈且()()f x l f x +=.其中l 称为函数()f x 的周期.注1：周期函数在)(f D 内每个长度为l 的区间上图形相同.注2：一般来说默认周期函数的周期（最小周期）是其最小正周期T .但不是所有的函数都有最小周期，例如()4f x =就是周期函数，且任何非零常数都是它的周期.又例如：狄利克雷函数 1,,()0,\.x Q D x x R Q ∈⎧=⎨∉⎩任何非零有理数均为其周期，但没有最小周期.例11 设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证 (1)①设)()()(21x f x f x f +=,其中)(1x f 与)(2x f 均为定义在区间),(l l -上的偶函数,即)()(),()(2211x f x f x f x f =-=-,则)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f =+=-+-=-,故)(x f 为),(l l -上的偶函数.即两个偶函数的和是偶函数.②设)()()(21x f x f x f +=,其中)(1x f 与)(2x f 均为定义在区间),(l l -上的奇函数, 即)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-,则)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f -=-+-=-+-=-,故)(x f 为),(l l -上的奇函数。

经济应用数学课件2.3函数微分

dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu d(u)vvdu udv d(u v)vdv 2udv
11
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例2 设 yln x (ex2)求 , d.y
解
y
12xex2 xex2
,
12xex2 dy xex2 dx.
例3 设 y e1 3 xco x ,求 sd.y 解 d c yx o d ( e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
14
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例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
解 ( 1 ) d (s t) i n c o t, d st
cotsdt1d(s in t)d(1sint);
3
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2.3.2 微分的定义
1.定义设函数 y f(x)在某区间内有 ,x0及定x0义x
在这 ,如 y 区 f 果 ( x 0 x 间 ) f( x 0 ) 内 A x o ( x ) 成 ( 其立 A 是中 x 无与关 )则 , 的称 y f 常 (x ) 在函 x 数 0 点数可,并微且 A x为称函 yf(数 x)在x0 点相应于
定理函数f(x)在点x0可微的充要条件是函数 f(x ) 在 x 0 处点 ,且可 A f( 导 x 0 ).

经济数学基础微积分教学设计

经济数学基础微积分教学设计简介经济数学是经济学中重要的一门学科，微积分是经济数学的基础。

如何设计一门有效的经济数学基础微积分课程，是经济学教师必须面对的一个挑战。

本文将介绍一种经济数学基础微积分教学设计方案，并讨论如何有效地实施该方案。

教学目标经济数学基础微积分课程的教学目标是使学生掌握微积分的基础理论和应用。

具体来说，教学目标包括：1.理解微积分的基本概念和原理；2.掌握微积分的计算方法；3.熟练运用微积分解决经济学中的实际问题。

教学内容及安排教学内容本课程的教学内容包括：1.微积分的基本概念和原理；2.函数的极限和连续性；3.导数和微分；4.求解函数的最值；5.积分和微积分基本定理；6.应用微积分解决经济学问题。

本课程的教学安排如下：第一周•第一节：微积分的基本概念和原理•第二节：函数的极限和连续性第二周•第三节：导数和微分•第四节：求解函数的最值第三周•第五节：积分和微积分基本定理•第六节：应用微积分解决经济学问题教学方法为实现上述教学目标和内容，本课程采用以下教学方法：1.传授基本理论知识：教师在课堂上讲解微积分的基本概念、原理、计算方法等理论知识，详细说明微积分的意义和作用。

2.通过案例演示应用技能：教师通过实际例子演示如何运用微积分解决经济学实际问题，帮助学生理解微积分在经济学中的应用场景。

3.鼓励学生自主掌握技能：教师鼓励学生通过课后练习进行巩固和拓展知识，自主掌握微积分技能。

教学评估本课程的教学评估主要分为两个方面：形成性评估和终结性评估。

在教学过程中，教师将采用定期小测验、课堂练习和课堂互动等方式，及时获取学生的学习情况和掌握情况，并给予及时的反馈和补充，帮助学生增加对微积分的理解和掌握的准确性。

终结性评估学期结束后，将进行终结性评估，主要评估学生对本课程的理解和掌握情况，综合考虑学生的考试成绩、课堂表现、作业情况等指标来评价学生的综合表现。

同时，也对教学效果进行全面的评估，以便更好地优化和完善教学设计方案。

经济数学基础微分学之第1章函数

第一单元函数的概念第一节函数的概念一、学习目标通过本节课的学习，理解函数的概念，了解函数的表示法，会计算函数值．二、内容讲解同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：所讨论的量在研究问题的过程中保持不变．只是从未知到已知．例如解方程或方程组，求得的解都是固定不变的．又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量．这些量叫做常量．常量——只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的．如圆的面积与半径的关系：S=πr2考虑半径r可以变化的过程．面积和半径叫做变量．变量——可取不同值的量变域——变量的取值范围我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量．比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质．函数就是变量之间确定的对应关系．比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系．又如银行中的利率表它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系．这几个例子反映的都是两个变量之间的确定的对应关系．函数的定义是：定义1.1——函数设x, y是两个变量，x的变域为D，如果存在一个对应规则f，使得对D内的每一个值x 都有唯一的y值与x对应，则这个对应规则f称为定义在集合D上的一个函数，并将由对应规则f 所确定的x 与y 之间的对应关系，记为：)(x f y =称x 为自变量，y 为因变量或函数值，D 为定义域．集合},)({D x x f y y ∈=称为函数的值域．我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系．三、例题讲解例1 求函数)1ln(1-=x y 的定义域．解：)1ln(1-=x y ，求函数的定义域就是使表达式有意义的x 。

由对数函数的性质得到01>-x ，即1>x ；由分式的性质得到0)1ln(≠-x ，即11≠-x ，即2≠x 。

综合起来得出所求函数的定义域为),2()2,1(∞+= D ．例2 设国际航空信件的邮资F 与重量m 的关系是的关系是⎩⎨⎧≤<-+≤<=20010,)10(3.04100,4)(m m m m F ,求)20(,)8(,)3(F F F 。

《经济数学基础》微积分

《经济数学基础》微积分第4章：多元函数微分学⒈了解空间直角坐标系的有关概念，知道几个简单的二次曲面，会求空间两点之间的距离。

会用不等式组表示平面区域。

空间两点P x y z 1111(,,)与P x y z 2222(,,)间的距离公式：d P P x x y y z z ==-+-+-12212212212()()()⒉会求二元函数的定义域。

⒊了解二元函数的偏导数与全微分概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法。

会求简单的二阶偏导数。

求偏导数与全微分的方法主要包括复合函数和隐函数两种类型。

复合函数 z f u v =(,)，其中u u x y v v x y ==(,),(,)，变量之间的关系可以用图形表示利用“连线相乘，分线相加”的原则，得到复求合函数偏导的公式∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z x z u u x z v v x =+， ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y z u u y z v v y=+ 函数z f u v =(,)的全微分为d d d z z x x z yy =+∂∂∂∂例1 填空题（1）空间两点)2,1,5(-A 与)3,0,4(B 之间的距离是。

（2）函数)1ln(1y x z --=的定义域是。

（3）设函数22e ),(y xy x z +=，)1,1(-'x z = 。

（4）二元函数z x x y y =-+332445，∂∂∂2z x y = 。

解：（1）由空间两点间的距离公式222212212212)23()10()54()()()(-+++-=-+-+-=z z y y x x d =3 xu z y v正确答案：3（2）因为函数)1ln(1y x z --=的定义域要求对数的真数大于零，分母不等于零，即 ⎩⎨⎧≠-->--1101y x y x 故 1<+y x 且0≠+y x 。

正确答案：1<+y x 且0≠+y x（3）因为 22e 2y x x xz +=∂∂，所以 21)1(e 2e )1(2)1,1(22-=⋅-⋅=-'+-x z 。

2022年春经济数学基础微积分部分

08春经济数学基本微积分部分第一部微分学第1章函数1．理解函数概念。

理解函数概念时，要掌握函数旳两要素−−定义域和相应关系，这要解决下面四个方面旳问题：（1）掌握求函数定义域旳措施，会求初等函数旳定义域和函数值。

要掌握常用函数旳自变量旳变化范畴，如分式旳分母不为0，对数旳真数不小于0，偶次根式下体现式不小于0。

例1 求函数xx y --=2)1ln(旳定义域。

解： )1ln(-x 旳定义域是1>x ，x -2旳定义域是2≤x ，但由于x -2在分母上，因此2≠x 。

故函数xx y --=2)1ln(旳定义域就是上述函数定义域旳公共部分，即1<x <2。

（2）理解函数旳相应关系f 旳含义：f 表达当自变量取值为x 时，因变量y 旳取值为)(x f 。

例如，对于函数x x x x f y 2ln )(2++==，f 表达运算：)(22)ln()(++例2 设1)(+=x x f ，求)1)((+x f f 。

解：由于1)(+=x x f ，阐明f 表达运算：1)(+，因此)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f再将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 2．掌握函数奇偶性旳鉴别，懂得它旳几何特点；判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即（1）若)()(x f x f =-，则)(x f 偶函数；（2）若)()(x f x f -=-，则)(x f 奇函数。

也可以根据某些已知旳函数旳奇偶性，再运用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”旳性质来判断。

例3 下列函数中，（）是偶函数。

A. x x x f sin )(3= B. 1)(3+=x x f C. xxaa x f --=)(D. x x x f sin )(2=解：根据偶函数旳定义以及奇函数×奇函数是偶函数旳原则，可以验证A 中3x 和x sin 都是奇函数，故它们旳乘积x x x f sin )(3=是偶函数，因此A 对旳。

经济数学—微积分(函数的知识点及结论)

集合与简易逻辑一、集合：1、知识点归纳①定义：一组对象的全体形成一个集合②特征：确定性、互异性、无序性③表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图④分类：有限集、无限集、空集φ⑤数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N *、空集φ⑥关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝⑦运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};补运算AC U＝{x|x∉A且x∈U}，U为全集⑧性质：A⊆A；φ⊆A；若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B；A∩C U A＝φ；A∪C U A＝I；C U( C U A)＝A；C U(A⋃B)＝(C U A)∩(C U B)方法：数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决2、注意：①区别∈与、与⊆、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②A⊆B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ③若集合A中有n)(Nn∈个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n④空集是指不含任何元素的集合}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为BA⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A的情况⑤理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是函数值的取值？还是曲线上的点？可用列举法、数形结合等方法来理解集合中元素的意义海伦·凯勒：“当一个人感觉到有高飞的冲动时，他将再也不会满足于在地上爬。

”二、含绝对值的不等式及一元二次不等式知识点归纳1绝对值不等式①不等式)0(><aax的解集是{}axax<<-;②不等式)0(>>aax的解集是{}axaxx-<>或,③不等式｜ax+b｜<c, c>0的解集为{})0(|><+<-ccbaxcx;④不等式｜ax+b｜>c c>0的解集为{})0(,|>>+-<+ccbaxcbaxx或⑤两边都为非负数（或式）时，可两边平方⑥含有多个绝对值不等式时，可用零点分段法⑦含有两个绝对值的不等式可用几何意义解决。