辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试数学文试题

沈阳二中2014——2015学年度上学期期中考试
高三（15届）文科数学试题
命题人： 高三数学组 审校人： 高三数学组
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第I 卷（60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，4{|,}2
x
N y y x M ==∈，则 ( ) A ．{｜0＜＜} B.{｜＜＜1} C.{｜0＜＜1} D.{｜1＜＜2}
3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )
A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B ．“” 是“”的必要不充分条件.
C ．命题“若，则”的逆否命题为真命题.
D ．命题“使得”的否定是：“均有”．
4. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则（ ）
A. 27
B.3
C. 或3
D.1或27
5. 函数的定义域为，则函数的定义域为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 已知,则 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7. 已知x ，y 满足记目标函数的最小值为1，最大值为7，则的值分别为 （ ）
A. -1，-2
B. -2，-1
C. 1，2
D. 1，-2
8．已知等比数列满足＞0，＝1,2，…，且，则当≥1时，
2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+＝ （ ）
A ．n (2n －1)
B ．(n ＋1)2
C ．n 2
D ．(n －1)2
9.已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且函数f (x )＝1＋2sin 2x sin 2x 的最小值为b ，若函数g (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＜x ＜π28x 2－6bx ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，π2 10.设 F 1，F 2是双曲线C ： (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ．2 D ． 11．若曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2－y 2＝1；②y ＝x 2－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y 2
对应的曲
线中存在“自公切线”的有 ( )
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
12.函数()32f x x ax bx c =+++，在定义域上表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为.有以下命题：
①是奇函数；②若内递减，则的最大值为4；③的最大值为M ，最小值为m ，则；④若对[]()2,2x k f x '∀∈-≤，恒成立，则的最大值为 2.其中正确命题的个数为 （ ）
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.
13.. 若函数在上可导，，则 .
14. 若且，则的最小值为 .
15.抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线的右焦点重合，过点P （2,0）且斜率为1的直线与抛物线C 交于A,B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为_______
16.对于实数a,b,定义运算：⎩
⎨⎧>-≤-=*)()(22b a ab b b a ab a b a 设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________ 三、解答题：本大题共六个大题，满分70；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
（1）已知14
11)cos(,71cos -=+=βαα，且，求的值；
（2）已知为第二象限角，且，求1
)2sin(2cos )4cos(+---παααπ
的值.
18. (本题满分12分)在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，
且.
(Ⅰ)求角的大小； (Ⅱ)若的最大值．
19．（本题满分12分）
设数列是等差数列，数列的前项和满足且
（Ⅰ）求数列和的通项公式：
（Ⅱ）设，设为的前n 项和，求.
20.（本题满分12分） 设椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率，右焦点到直线的距离，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值。

21.（本题满分12分）
已知函数),(3)(2
3R b a x bx ax x f ∈-+=，在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.
(1)求函数f(x)解析式；
（2）若对于区间[-2,2]上的任意两个自变量都有，求实数c 的最小值；
（3）若过点M （2，m ）(m2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围；
22.（本题满分12分）
已知函数（均为正常数），设函数在处有极值.
（1）若对任意的，不等式总成立，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
沈阳二中2014——2015学年度上学期期中
高三（15届）文科数学试题答案
一．
选择题：1. B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.A 11.B 12.B 二． 填空题：13.-4 14. 15..11 16.
三、解答题： 17.
18.解：(Ⅰ)由3a －2c sin A ＝0及正弦定理， 得3sin A －2sin C sin A ＝0(sin A≠0)，（1分）
∴sin C ＝32，（4分）∵△ABC 是锐角三角形， ∴C＝π3
（6分） (Ⅱ)∵c＝2，C ＝π3，由余弦定理，a 2＋b 2－2ab cos π3
＝4， 即a 2＋b 2－ab ＝4 （8分）
∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b)2≤16，（10分） ∴a＋b≤4，当且仅当a ＝b ＝2取“＝”（11分）
故a ＋b 的最大值是4.（12分）
19.解： (1), (3分) . （3分）
（2）.（12分）
20. (1)
(2)设A ，当直线AB 的斜率不存在时，2
2212112,,y y y y x x =∴=-=，又，解得，即O 到直线AB 的
距离，当直线的斜率存在时，直线AB 的方程为y=kx+m,与椭圆联立消去y 得
012)2(432
222=-+++m km x k x ，222122143124,438k m x x k km x x +-=+-=+∴，0))((2121=+++∴m kx m kx x x 即
0)()1(221212=++++m x x km x x k 043843124)1(222
2222
=++-+-+∴m k m k k m k ，整理得O 到直线AB 的距离7
21271212==+=k m
d OB OA AB OB OA ∙≥=+∴2222当且仅当OA=OB 时取“=”有得2
2
AB OB OA AB d ≤∙=∙,即弦AB 的长度的最小值是 21. （1）由已知得323)(2
-+='bx ax x f ，根据题意，得即解得
（2）由（1）知则令又f(-1)=2,f(1)=-2,f(-2)=-2,f(2)=2,44)()()()(min max 21≥∴=-≤-c x f x f x f x f
(3)设切点为（，则切线的斜率为则有233300302
---=-x m x x x ，即06622030=++-m x x 过点M(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，方程06622030=++-m x x 有三个不同的实数解，m x x x g ++-=662)(2030有三个不同的零点，令解得x=0,x=2,260)2(0)0(<<-∴⎩
⎨⎧<>∴m g g 22.解：∵，∴，由题意，得，解得. ---- 2分
（1）不等式等价于对于一切恒成立. ---- 4分
记x x x x g sin cos )(-+=，则)4sin(21cos sin 1)('π+-=--=x x x x g ----5分 ∵，∴，∴2)4sin(21≤+≤π
x ，
∴，从而在上是减函数.
∴，于是. ---- 6分
（2），由，得，即Z k k x k ∈+≤≤+-,2323ππ
ππ
. ---- 7分
∵函数在区间上单调递增， ∴]23
,23[)312,31(ππππππk k m m ++-⊆--，
则有⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∈-<-+≤-+-≥-Z k m m k m k m ,31231233
122331ππππππππ----9分，即⎩⎨⎧>∈+≤≤0,136m Z k k m k ， ∴时， ---- 12分。