平面向量同步练习题(练习题)讲义
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0 8．若 a = 1 , b = 2 ，a 与 b 的夹角为 60 ，若 (3a + 5b) ⊥ ( ma − b) ， m 的值为________ 则
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9．若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB − CB + CD = ________ 10．若 a = (2,3) ， b = (−4,7) ，则 a 在 b 上的投影为________ 11．已知向量 a = (cos θ ,sin θ ) ，向量 b = ( 3, −1) ，则 2a − b 的最大值是________ 12．若 A(1, 2), B (2,3), C (−2,5) ，试判断则△ABC 的形状________ 13．若 a = (2, −2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为________ 14．若向量 | a |= 1,| b |= 2,| a − b |= 2, 则 | a + b |= ________ 15．平面向量 a, b 中，已知 a = (4, −3) ， b = 1 ，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b = ________
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9．平面向量 a = ( 3, −1), b = ( ,
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1 3 ) ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，满足条件： 2 2
r r r r r r r r x = a + (t 2 − 3)b ， y = −ka + tb ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k = f (t ) 。
10．如图，在直角△ABC 中，已知 BC = a ，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问
PQ与BC 的夹角 θ 取何值时 BP ⋅ CQ 的值最大？并求出这个最大值。
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15．下列命题正确的是（ A．单位向量都相等
B．若 a 与 b 是共线向量， b 与 c 是共线向量，则 a 与 c 是共线向量（ C． | a + b | =| a − b | ，则 a ⋅ b = 0 D．若 a 0 与 b0 是单位向量，则 a0 ⋅ b0 = 1
0 16．已知 a , b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 a + 3b = （
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F G E B
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2．已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ， | b |= 4 , (a + 2b) ⋅ (a − 3b) = −72 ，求向量 a 的模。
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3．已知点 B(2, −1) ，且原点 O 分 AB 的比为 −3 ，又 b = (1,3) ，求 b 在 AB 上的投影。
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6．设非零向量 a , b , c , d ，满足 d = ( a ⋅ c )b − ( a ⋅ b )c ，求证： a ⊥ d
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7．已知 a = (cos α ,sin α ) ， b = (cos β ,sin β ) ，其中 0 < α < β < π ． (1)求证： a + b 与 a − b 互相垂直； (2)若 ka+b与 a−kb的长度相等，求 β − α 的值( k 为非零的常数)．
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D． −
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11．若 a, b 是非零向量且满足 (a − 2b) ⊥ a ， (b − 2a ) ⊥ b ，则 a 与 b 的夹角是（ A．
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6 3 r r 3 1 r r 12．设 a = ( ,sin α ) ， b = (cos α , ) ，且 a // b ，则锐角 α 为（ 2 3
D． (4,2) 或 (−4,−2)
二、填空题
1．若 OA = (2,8) ， OB = (−7,2) ，则
1 AB =________ 3 r r r r r 2．平面向量 a, b 中，若 a = (4, −3) ， b =1，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b =________
0 3．若 a = 3 , b = 2 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，则 a − b = ________
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B． a ⋅ b = 1 0 0
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C． | a0 | + | b0 |= 2
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3．已知下列命题中： （1）若 k ∈ R ，且 kb = 0 ，则 k = 0 或 b = 0 ， （2）若 a ⋅ b = 0 ，则 a = 0 或 b = 0 （3）若不平行的两个非零向量 a, b ，满足 | a |=| b | ，则 (a + b) ⋅ ( a − b) = 0 （4）若 a 与 b 平行，则 a =| a | ⋅ | b | b 其中真命题的个数是（ A． 0 ） C． 2 ） D． 3
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4． 把平面上一切单位向量归结到共同的始点， 那么这些向量的终点所构成的图形是_______ 5．已知 a = (2,1) 与 b = (1,2) ，要使 a + tb 最小，则实数 t 的值为________ 6．若 | a |= 1,| b |= 2, c = a + b ，且 c ⊥ a ，则向量 a 与 b 的夹角为________ 7．已知向量 a = (1, 2) ， b = (−2,3) ， c = (4,1) ，若用 a 和 b 表示 c ，则 c =________
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B． 1
4．下列命题中正确的是（
A．若 a⋅b＝0，则 a＝0 或 b＝0 B．若 a⋅b＝0，则 a∥b C．若 a∥b，则 a 在 b 上的投影为|a| D．若 a⊥b，则 a⋅b＝(a⋅b)2 5．已知平面向量 a = (3,1) ， b = ( x, −3) ，且 a ⊥ b ，则 x = （ A． −3 B． −1 C． 1 D． 3 ）
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D．无数多个 )
9．若平面向量 b 与向量 a = (1,−2) 的夹角是 180 ，且 | b |= 3 5 ，则 b = ( A． (−3,6) B． (3,−6) C． (6,−3) D． (−6,3)
10．向量 a = (2, 3) ， b = ( −1, 2) ，若 ma + b 与 a − 2b 平行，则 m 等于（ A． −2 B． 2 C．
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A． 7
B． 10
C． 13
D． 4
17．已知向量 a ， b 满足 a = 1, b = 4, 且 a ⋅ b = 2 , 则 a 与 b 的夹角为( A．
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)
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B．
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C．
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D．
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18．若平面向量 b 与向量 a = ( 2,1) 平行，且 | b |= 2 5 ，则 b = ( A． (4,2) B． (−4,−2) C． (6,−3)
→
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4．已知 a = (1, 2) , b = (−3,2) ,当 k 为何值时， （1） k a + b 与 a − 3b 垂直？ （2） ka + b 与 a − 3 b 平行？平行时它们是同向还是反向？
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5．求与向量 a = (1, 2) ， b = (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标．
高一平面向量同步练习题
一、选择题
1．化简 AC − BD + CD − AB 得（ A． AB
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） C． BC D． 0 ） D． | a0 + b0 |= 2
B． DA
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2．设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ A． a0 = b0
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8．已知 a , b , c 是三个向量，试判断下列各命题的真假．
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（1）若 a ⋅ b = a ⋅ c 且 a ≠ 0 ，则 b = c
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（2） 向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos θ （ θ 是 a 与 b 的夹角） 方向与 a 在 b ， 相同或相反的一个向量．
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）
6． 已知向量 a = (cos θ , sin θ ) ,向量 b = ( 3 ,−1) 则 | 2a − b | 的最大值， 最小值分别是 （ A． 4 2 ,0 B． 4, 4 2 ） B． AB + BA = 0 C． 16,0 D． 4, 0
7．下列命题中正确的是（ A． OA − OB = AB
A． 30
0
B．
π
C．
2π 3
D．
5π 6
）
B． 60
0
C． 75
0
D． 45 ）
0
13．若三点 A(2,3), B(3, a ), C (4, b) 共线，则有（ A． a = 3, b = −5 B． a − b + 1 = 0
C． 2a − b = 3
D． a − 2b = 0
14．设 0 ≤ θ < 2π ，已知两个向量 OP = (cos θ , sin θ ) ， OP2 = (2 + sin θ , 2 − cos θ ) ， 1 则向量 P P2 长度的最大值是（ 1 A. 2 B. 3 C. 3 2 ） ） D. 2 3
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1
C． 0 ⋅ AB = 0
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D． AB + BC + CD = AD
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8． 设点 A(2, 0) ， (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上， AB = 2 AP ， B 且 则点 P 的坐标为 （ A． (3,1) B． (1, −1) C． (3,1) 或 (1, −1)
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三、解答题
1． 如图， 平行四边形 ABCD 中，E , F 分别是 BC , DC 的中点，G 为交点， AB = a ，AD 若 = b ，试以 a ， b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG ．
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9．若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB − CB + CD = ________ 10．若 a = (2,3) ， b = (−4,7) ，则 a 在 b 上的投影为________ 11．已知向量 a = (cos θ ,sin θ ) ，向量 b = ( 3, −1) ，则 2a − b 的最大值是________ 12．若 A(1, 2), B (2,3), C (−2,5) ，试判断则△ABC 的形状________ 13．若 a = (2, −2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为________ 14．若向量 | a |= 1,| b |= 2,| a − b |= 2, 则 | a + b |= ________ 15．平面向量 a, b 中，已知 a = (4, −3) ， b = 1 ，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b = ________
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9．平面向量 a = ( 3, −1), b = ( ,
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1 3 ) ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，满足条件： 2 2
r r r r r r r r x = a + (t 2 − 3)b ， y = −ka + tb ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k = f (t ) 。
10．如图，在直角△ABC 中，已知 BC = a ，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问
PQ与BC 的夹角 θ 取何值时 BP ⋅ CQ 的值最大？并求出这个最大值。
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15．下列命题正确的是（ A．单位向量都相等
B．若 a 与 b 是共线向量， b 与 c 是共线向量，则 a 与 c 是共线向量（ C． | a + b | =| a − b | ，则 a ⋅ b = 0 D．若 a 0 与 b0 是单位向量，则 a0 ⋅ b0 = 1
0 16．已知 a , b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 a + 3b = （
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2．已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ， | b |= 4 , (a + 2b) ⋅ (a − 3b) = −72 ，求向量 a 的模。
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3．已知点 B(2, −1) ，且原点 O 分 AB 的比为 −3 ，又 b = (1,3) ，求 b 在 AB 上的投影。
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6．设非零向量 a , b , c , d ，满足 d = ( a ⋅ c )b − ( a ⋅ b )c ，求证： a ⊥ d
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7．已知 a = (cos α ,sin α ) ， b = (cos β ,sin β ) ，其中 0 < α < β < π ． (1)求证： a + b 与 a − b 互相垂直； (2)若 ka+b与 a−kb的长度相等，求 β − α 的值( k 为非零的常数)．
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11．若 a, b 是非零向量且满足 (a − 2b) ⊥ a ， (b − 2a ) ⊥ b ，则 a 与 b 的夹角是（ A．
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6 3 r r 3 1 r r 12．设 a = ( ,sin α ) ， b = (cos α , ) ，且 a // b ，则锐角 α 为（ 2 3
D． (4,2) 或 (−4,−2)
二、填空题
1．若 OA = (2,8) ， OB = (−7,2) ，则
1 AB =________ 3 r r r r r 2．平面向量 a, b 中，若 a = (4, −3) ， b =1，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b =________
0 3．若 a = 3 , b = 2 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，则 a − b = ________
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B． a ⋅ b = 1 0 0
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C． | a0 | + | b0 |= 2
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3．已知下列命题中： （1）若 k ∈ R ，且 kb = 0 ，则 k = 0 或 b = 0 ， （2）若 a ⋅ b = 0 ，则 a = 0 或 b = 0 （3）若不平行的两个非零向量 a, b ，满足 | a |=| b | ，则 (a + b) ⋅ ( a − b) = 0 （4）若 a 与 b 平行，则 a =| a | ⋅ | b | b 其中真命题的个数是（ A． 0 ） C． 2 ） D． 3
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4． 把平面上一切单位向量归结到共同的始点， 那么这些向量的终点所构成的图形是_______ 5．已知 a = (2,1) 与 b = (1,2) ，要使 a + tb 最小，则实数 t 的值为________ 6．若 | a |= 1,| b |= 2, c = a + b ，且 c ⊥ a ，则向量 a 与 b 的夹角为________ 7．已知向量 a = (1, 2) ， b = (−2,3) ， c = (4,1) ，若用 a 和 b 表示 c ，则 c =________
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B． 1
4．下列命题中正确的是（
A．若 a⋅b＝0，则 a＝0 或 b＝0 B．若 a⋅b＝0，则 a∥b C．若 a∥b，则 a 在 b 上的投影为|a| D．若 a⊥b，则 a⋅b＝(a⋅b)2 5．已知平面向量 a = (3,1) ， b = ( x, −3) ，且 a ⊥ b ，则 x = （ A． −3 B． −1 C． 1 D． 3 ）
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D．无数多个 )
9．若平面向量 b 与向量 a = (1,−2) 的夹角是 180 ，且 | b |= 3 5 ，则 b = ( A． (−3,6) B． (3,−6) C． (6,−3) D． (−6,3)
10．向量 a = (2, 3) ， b = ( −1, 2) ，若 ma + b 与 a − 2b 平行，则 m 等于（ A． −2 B． 2 C．
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17．已知向量 a ， b 满足 a = 1, b = 4, 且 a ⋅ b = 2 , 则 a 与 b 的夹角为( A．
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18．若平面向量 b 与向量 a = ( 2,1) 平行，且 | b |= 2 5 ，则 b = ( A． (4,2) B． (−4,−2) C． (6,−3)
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4．已知 a = (1, 2) , b = (−3,2) ,当 k 为何值时， （1） k a + b 与 a − 3b 垂直？ （2） ka + b 与 a − 3 b 平行？平行时它们是同向还是反向？
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5．求与向量 a = (1, 2) ， b = (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标．
高一平面向量同步练习题
一、选择题
1．化简 AC − BD + CD − AB 得（ A． AB
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） C． BC D． 0 ） D． | a0 + b0 |= 2
B． DA
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2．设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ A． a0 = b0
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8．已知 a , b , c 是三个向量，试判断下列各命题的真假．
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（1）若 a ⋅ b = a ⋅ c 且 a ≠ 0 ，则 b = c
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（2） 向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos θ （ θ 是 a 与 b 的夹角） 方向与 a 在 b ， 相同或相反的一个向量．
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6． 已知向量 a = (cos θ , sin θ ) ,向量 b = ( 3 ,−1) 则 | 2a − b | 的最大值， 最小值分别是 （ A． 4 2 ,0 B． 4, 4 2 ） B． AB + BA = 0 C． 16,0 D． 4, 0
7．下列命题中正确的是（ A． OA − OB = AB
A． 30
0
B．
π
C．
2π 3
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5π 6
）
B． 60
0
C． 75
0
D． 45 ）
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13．若三点 A(2,3), B(3, a ), C (4, b) 共线，则有（ A． a = 3, b = −5 B． a − b + 1 = 0
C． 2a − b = 3
D． a − 2b = 0
14．设 0 ≤ θ < 2π ，已知两个向量 OP = (cos θ , sin θ ) ， OP2 = (2 + sin θ , 2 − cos θ ) ， 1 则向量 P P2 长度的最大值是（ 1 A. 2 B. 3 C. 3 2 ） ） D. 2 3
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C． 0 ⋅ AB = 0
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8． 设点 A(2, 0) ， (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上， AB = 2 AP ， B 且 则点 P 的坐标为 （ A． (3,1) B． (1, −1) C． (3,1) 或 (1, −1)
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三、解答题
1． 如图， 平行四边形 ABCD 中，E , F 分别是 BC , DC 的中点，G 为交点， AB = a ，AD 若 = b ，试以 a ， b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG ．
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