精品试卷鲁教版(五四制)九年级数学下册第五章圆专题训练试卷(含答案详解)

鲁教版（五四制）九年级数学下册第五章圆专题训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A ＝24°，则∠B 的度数为（ ）
A ．66°
B ．48°
C ．33°
D ．24°
2、如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，点C 在O 上，且55ACB ∠=︒，则APB ∠的度数为（ ）
A ．55°
B ．65°
C ．70°
D ．90° 3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，cos A ＝4
5，以点C 为圆心，r 为半径，作⊙C ，当r ＝3
时，⊙C与AB的位置关系是（）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
4、如图，在平面直角坐标系中，直线
3
3
4
y x
=-分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是
正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE AF
=，过原点O作OH EF
⊥，垂足为H，连接HA、HB，则HAB面积的最大值为（）
A B．12 C．6+D
5、下列说法正确的个数是（）
①0.01的立方根是0.000001；
②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等；
③正三角形既是中心对称又是轴对称图形；
④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是矩形；
⑤三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
A．0个B．1个C．2个D．3个
6、已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7、如图，一把直尺，60°的直角三角板和一个量角器如图摆放，A为60°角与刻度尺交点，刻度尺上数字为4，点B为量角器与刻度尺的接触点，刻度为7，则该量角器的直径是（）
A．3 B．C．6 D．
8、如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
9、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是（）
A ．27°
B ．36°
C ．54°
D ．108°
10、如图，将⊙O 的圆周分成五等分（分点为A 、B 、C 、D 、E ），依次隔一个分点相连，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，M 也是线段NE 、AH 的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（ ）
A ．MN AM =
B ．FD AD
C ．BN ＝NM ＝ME
D ．∠A ＝36°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若2AB DE =，57AOC ∠=︒，C ∠=__，E ∠=__．
2、如图，在锐角ABC 中，60BAC ∠=︒，AE 是中线，BF 和CD 是高则下列结论中，正确的是_________（填序号）．
①2BC DF =
②2CEF CDF ∠=∠
③DEF 是等边三角形
④()()()()::CF CD BD BF BD BF CF CD ++=--．
3、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC ＝25°，则∠P 的度数为_____．
4、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，直线l 经过△ABC 的内心O ，过点C 作CD ⊥l ，垂足为D ，连接AD ，则AD 的最小值是=____．
5、如图，O 的直径10CD =cm ，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，:3:5OM OC =，则AB =______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，连接CO ，过B 作BD ∥OC 交⊙O 于D ，连接AD 交OC 于G ，延长AB 、CD 交于点E ．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若BE=4，DE=8，求CD的长．
2、定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足
∠=∠，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；
12
定义2：如图2，在ABC中，PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC、AB上，若RP和QP关于BC 满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称PQR为ABC的光线三角形．
阅读以上定义，并探究问题：
=，DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC、AB上．
在ABC中，30
∠=︒，AB AC
A
(1)如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；
⊥于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．
(2)如图4，在ABC中，作CF AB
①证明：DEF为ABC的光线三角形；
②证明：ABC的光线三角形是唯一的．
3、在ABC 中，60ABC ∠=︒，12BC =，AD 是BC 边上的高，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点．当6AD =时，BC 边上存在一点Q ，使90EQF ∠=︒，求此时BQ 的长．
4、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC =25°，求∠P 的度数．
5、在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，BC =AC ，点E 是△ABC 外一动点（点B ，点E 位于AC 异侧），连接CE ，AE ．
(1)如图1，点D 是AB 的中点，连接DC ，DE ，当△ADE 为等边三角形时，求∠AEC 的度数；
(2)当∠AEC =135°时，
①如图2，连接BE ，用等式表示线段BE ，CE ，EA 之间的数量关系，并证明；
②如图3，点F 为线段AB 上一点，AF =1，BF =7，连接CF ，EF ，直接写出△CEF 面积的最大值．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据直径所对的圆周角为90°得90C ∠=︒，由三角形的内角和为180°，即可求出B ．
【详解】
∵AB 为⊙O 的直径，
∴90C ∠=︒，
∴180180249066B A C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故选：A ．
【点睛】
本题考查圆周角定理与三角形的内角和定理，掌握直径所对的圆周角为90°是解题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
根据切线的性质，可得∠OAP =∠OBP =90°，再根据圆周角定理可得∠AOB =110°，最后根据四边形内角和等于360°，即可求解．
【详解】
解：∵PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，
∴∠OAP =∠OBP =90°，
∵∠AOB =2∠ACB ，55ACB ∠=︒，
∴∠AOB =110°，
∴∠APB =360°-∠OBP -∠OAP -∠AOB =70°．
故选：C
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
3、C
【解析】
【分析】
如图，作CD AB ⊥，由余弦值求 AC 的值，在Rt ABC 中，由勾股定理求BC 1122
=⨯⨯=⨯⨯ABC S AC BC AB CD 求得CD 的值，比较CD 与半径的大小，即可判断位置关系． 【详解】
解：如图，作CD AB ⊥
∵5AB ＝，4cos 5A ＝
∴4AC =
在Rt ABC 中，由勾股定理得3BC ∵1122=⨯⨯=⨯⨯ABC
S AC BC AB CD ∴125
CD = ∵1235
< ∴以点C 为圆心，3为半径的C 与直线AB 的位置关系是相交
【点睛】
本题考查了余弦，勾股定理，直线与圆的位置关系．解题的关键在于确定圆心到直线的距离．
4、D
【解析】
【分析】
先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】
解：如图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线
3
3
4
y x
=-分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，-3），∴OB=3，OA=4，
∴5 AB==，∵四边形ACDO是正方形，
∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC，∠COA=45°，
∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN，
又∵DE=AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN=AN，EN=NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON=NC
∵OH⊥EF，
∴∠OHN=90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，∵点M是ON的中点，
∴OM=MN
∵MP⊥OP，∠COA=45°，
∴OP=MP=1，
∴AP=3，
∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP，
又∵∠AOB=∠MPK=90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴MP PK MK OA OB AB
==，
∴
1
435
PK MK
⋅==，
∴
53
,
44 MK PK
==，
∴
9
4 AK=，
∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ，∴△AKQ∽△ABO，
∴AK KQ AB OB
=，
∴9
4
53
KQ
=
，
∴
27
,
20 KQ=，
∴
52713
4205 QM KQ MK
=+=+=，
∴点H到AB的最大距离为13 5
∴△HAB面积的最大值113
5(
25
=⨯⨯=
故选：D．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，求出MQ的长是解题的关键．
5、A
【解析】
【分析】
根据立方根，中心对称和轴对称图形定义（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转
后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形），矩形的判定，三角形内心（三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心）逐项判断即可求解．
【详解】
①0.000001的立方根是0.01，故①错误；
②如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则两个角一定相等或互补，故②错误；
③正三角形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故③错误；
④顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形必是菱形，故④错误；
⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，故⑤错误；
所以，正确的个数为0个．
故选：A
【点睛】
本题考查了立方根，轴对称图形，中心对称图形，矩形、中点四边形，三角形内心，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【详解】
解：∵点A为⊙O外的一点，且⊙O的半径为3，
∴线段OA的长度＞3．
故选：D．
【点睛】
此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
7、D
【解析】
【分析】
如图所示，连接OA ，OB ，OC ，利用切线定理可知△AOC 与△AOB 为直角三角形，进而可证明Rt △AOC ≌Rt△AOB ，根据三角板的角度可算出∠OAB 的度数，借助三角函数求出OB 的长度．
【详解】
解：如图所示，连接OA ，OB ，OC ，
∵三角板的顶角为60°，
∴∠CAB =120°，
∵AC ，AB ，与扇形分别交于一点，
∴AC ，AB 是扇形O 所在圆的切线，
∴OC ⊥AC ，OB ⊥AB ，
在Rt △AOC 与Rt △AOB 中，
()OC OB OA OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩
同圆的半径相等 ∴Rt △AOC ≌Rt △AOB ，
∴∠OAC =∠OAB =60°，
由题可知AB=7－4=3，
∴OB=AB•tan60°=，
∴直径为2⨯
故选：D．
【点睛】
本题考查，圆的切线定理，全等三角形的判定，三角函数，在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
根据圆周角和圆心角的关系，可以得到ADC
∠的度数，然后根据AP为O的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得P
∠的度数．
【详解】
解：40
∠=︒，
ADC
∴∠=︒，
40
ABC
AB为O的切线，点A为切点，
∴∠=，
OAB︒
90
P ABC
∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
90904050
故选：D．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想解答．
9、B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵∠ACB＝54°，AB AB
=
∴∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝1
2
（180°﹣∠AOB）＝36°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接CO、OD求得∠COD＝72°根据圆周角定理得到∠CAD＝36°；连接CD、AE，得出AM＝EM，再根据黄金分割的定义和相似三角形的性质判断即可．
【详解】
连接CO、OD 、CD、AE，
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴∠COD＝360
5
︒
=72°，
∴∠CAD＝36°；D正确，不符合题意；
同理可得，∠BEA ＝∠DAE ＝∠BDC ＝∠ECD ＝∠ADB ＝36°；
∴AM ＝EM ，∠AMN ＝72°；
∴AM ≠MN ，C 错误，符合题意；
∵M 也是线段NE 的黄金分割点,
∴MN EM =MN AM =A 正确，不符合题意； ∵∠ADC ＝∠ADB +∠BDC ＝72°；
∴△ADC ∽△AMN ，
∴CD AD 同理∠ACD ＝∠ADC ＝72°；
∴∠ACD ＝∠DFC ＝72°；
∴DC ＝DF ，
∴FD AD B 正确，不符合题意； 故选：C
【点睛】
本题考查了圆周角定理、黄金分割和相似三角形，解题关键是根据圆周角定理求出角度，利用黄金分割和相似三角形解决问题．
二、填空题
1、 38° 19°
【解析】
【分析】
连接OD ，设E x ∠=︒，根据等腰三角形的性质求出C CDO ∠=∠，E DOE ∠=∠，根据三角形的外角性质得出AOC C E ∠=∠+∠，2C CDO E DOE x ∠=∠=∠+∠=︒，再求出x 即可．
【详解】
解：连接OD ，
设E x ∠=︒，
2AB DE =，OA OB OD ==，
OD DE ∴=，
E DOE x ∴∠=∠=︒，
2CDO E DOE x ∴∠=∠+∠=︒，
OC OD =，
2C CDO x ∴∠=∠=︒，
57AOC ∠=︒，AOC E C ∠=∠+∠，
572x x ∴=+，
解得：19x =，
即19E ∠=︒，38C ∠=︒，
故答案为：38︒，19︒．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能得出关于x的方程是解此题的关键．
2、①②③④
【解析】
【分析】
通过证明点B，点C，点F，点D四点在以BC为直径的圆上，由圆周角定理可得∠CEF=2∠CDF，故②
正确，通过证明△ABC∽△AFD，可得DF AD
BC AC
=，由直角三角形的性质可得AC=2AD，可得BC=2DF，故
①正确；由直角三角形的性质可得DE=EF=DF，可证△DEF是等边三角形，故③正确；由勾股定理可得BD2+CD2=BC2=CF2+BF2，可判断④正确，即可求解．
【详解】
解：∵AE是中线，
∴BE=EC，
∵BF⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BFC=∠BDC=90°，
∴点B，点C，点F，点D四点在以BC为直径的圆上，
∴点E是圆心，
∴∠CEF=2∠CDF，故②正确，
∵四边形BDFC是圆内接四边形，
∴∠ADF=∠ACB，∠AFD=∠ABC，
∴△ABC∽△AFD，
∴DF AD BC AC
=，
∵∠BAC =60°，CD ⊥AB ，
∴∠ACD =30°，
∴AC =2AD ， ∴12
DF BC =， ∴BC =2DF ，故①正确；
∵∠BFC =∠BDC =90°，BE =EC ，
∴DE =EF =12，
∴DE =EF =DF ，
∴△DEF 是等边三角形，故③正确；
∵∠BFC =∠BDC =90°，
∴BD 2+CD 2=BC 2=CF 2+BF 2，
∴CF 2-CD 2=BD 2-BF 2，
∴（CF +CD ）（CF -CD ）=（BD +BF ）（BD -BF ），
∴（CF +CD ）：（BD +BF ）=（BD -BF ）：（CF -CD ），故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的有关知识，证明相似是解题的关键．
3、50︒
【解析】
【分析】
根据切线长定理得等腰PAB ∆，运用内角和定理求解即可．
【详解】
解：根据切线的性质定理得90PAC ∠=︒，
90902565PAB BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．
根据切线长定理得PA PB =，
所以65PBA PAB ∠=∠=︒，
所以50P ∠=︒．
故答案为：50︒．
【点睛】
此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理的应用，解题的关键是主要考查学生的推理和计算能力．
4、【解析】
【分析】
先利用切线长定理求得OC D 运动到线段QA 上时，AD 取得最小值，
然后利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：⊙O 与Rt △ABC 三边的切点分别为E 、F 、G ，连接OE 、OF 、OG 、OC ，
∵⊙O 是Rt △ABC 内切圆，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，
∴CE =CF ，BE =BG ，AF =AG ，则四边形OECF 是正方形，AB ，
设正方形OECF 的边长为x ，则BE =BG =3-x ，AF =AG =4-x ，
依题意得：3-x +4-x =5，
解得：x =1，
∴OC
=
∵CD ⊥l ，即∠CDO =90°，
∴点D 在以OC 为直径的⊙Q 上，
连接QA ，过点Q 作QP ⊥AC 于点P ，
当点D 运动到线段QA 上时，AD 取得最小值，
∴CP =QP =12，AP =AC -CP =72，⊙Q 的半径为QD
∴QA =
∴AD 的最小值为AQ -QD =
故答案为：
【点睛】
本题考查了内心的性质，切线长定理，圆周角定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5、8cm
【解析】
【分析】
如图连接OA ，由题意知152
OC CD OA ===，在Rt AOM 中，AM =2AB AM =，计算求解即可．
【详解】
解：如图连接OA
由题意知152
OC CD OA ===
:3:5OM OC =
3∴=OM
在Rt AOM 中，4AM =
2AB AM =
8AB ∴=
故答案为：8cm ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理．解题的关键在于正确的求出线段长．
三、解答题
1、 (1)证明见解析；（2）12．
【解析】
【分析】
(1)根据圆周角的定义可得90ADB ︒∠=，再根据平行线的性质可知90AGO ADB ︒∠=∠=，再根据垂直平分线的性质得,DG AG AC DC ==，从而可得AOC DOC ∆∆≌，进而运用全等三角形的性质进行证明即可；
(2)设⊙O 半径为r ，在Rt DOE ∆中，利用勾股定理得2264(4)r r +=+，解得6r =，再根据平行线分线段成比例进行求解即可．
(1)
如图所示，连接OD ，
AB 为⊙O 的直径，
90ADB ︒∴∠=，
//BD OC ，
90AGO ADB ︒∴∠=∠=，
又OA OD =，
,DG AG AC DC ∴==，
在AOC ∆和DOC ∆中，
AC DC CO CO AO DO =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， AOC DOC ∴∆∆≌，
CAO CDO ∴∠=∠，
AC 为⊙O 的切线，
90CAO ︒∴∠=，
=90CDO ︒∴∠，
∴CD 为⊙O 的切线；
(2)
⊙O 半径为r ，
则在Rt DOE ∆中，2264(4)r r +=+，
解得6r =，
//BD OC ，
=BE DE OB CD
∴， 即48=
6CD ， 解得=12CD ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理,勾股定理及切线的判定和性质，解题的关键是结合图形得到三角形的全等关系，与此同时需要利用平行线的性质．
2、 (1)30°
(2)①证明过程见解析；②证明过程见解析．
【解析】
【分析】
(1)由“光学性质”定义得到∠DEC=∠FEA，由FE∥BC得到∠FEA=∠C=75°，最后在△DEC中由三角形内角和定理即可求解；
(2)①根据定义一和定义二，证明∠BDF=∠CDE，∠AEF=∠DEC，∠AFE=∠BFD即可；
②如下图所示，根据光线三角形的定义得到∠1+∠3+∠5=180°，再由∠1=30°，∠3=75°，
∠5=75°，全部已经唯一确定，进而得到△ABC的光线三角形是唯一的．
(1)
解：由题意知，∠A=30°，AB=AC，
∴∠C=∠B=(180°-30°)÷2=75°，
∵DE和FE关于AC满足“光学性质”，
∴∠DEC=∠FEA，
∵FE∥BC，
∴∠FEA=∠C，
∴∠DEC=∠C=75°，
∴在△DEC中，由三角形内角和定理可知：∠EDC=180°-∠C-∠DEC=180°-75°-75°=30°，
故∠EDC=30°；
(2)
证明：①如下图所示，设AB的中点为O，连接OD，
∵∠A=30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=(180°-30°)÷2=75°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB=75°=∠ACB，
∴OD∥AC，
又O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，D为BC的中点，
又已知CF⊥AB，
∴由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可知：DF=DB=DC，∴∠BFD=∠B=75°，
∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=30°，
又B、D、E、A四点共圆，由圆内接四边形对角互补可知：∠BDE=180°-∠A=150°，
又∠BDE=∠DCE+∠DEC=75°+∠DEC，
∴∠DEC=75°，
∴∠CDE=180°-∠ACD-∠DEC=180°-75°-75°=30°，
∴∠BDF=∠CDE=30°，
∴直线DF和DE关于直线BC满足“光学性质”；
∵∠BFD=∠B=∠ACD=∠DEC=75°，且D为BC中点，
∴FD=BD=CD=D E，
且∠EDF=∠BDE-∠BDF=150°-30°=120°，
∴∠DFE=∠DEF=(180°-∠EDF)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
∴∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-30°-75°=75°=∠DEC，
∴直线DE和FE关于直线AC满足“光学性质”；
同理：∠AFE=180°-∠BFD-∠DFE=180°-75°-30°=75°=∠BFD，
∴直线DF和EF关于直线AB满足“光学性质”，
由定义二可知：DEF为ABC的光线三角形．
证明：②如下图所示，△DEF是△ABC的光线三角形，下面证明唯一性：
由光线三角形的定义可知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，
又∠B=180°-∠1-∠6，
∠C=180°-∠2-∠3，
∠A=180°-∠4-∠5，
将上述三个式子相加，得到：
∠B+∠C+∠A=540°-(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6)，
整理得到：∠1+∠3+∠5=180°，
由①中可知：∠1=30°，∠3=75°，∠5=75°，全部已经唯一确定，
故△ABC的光线三角形是唯一的．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及判定、圆周角定理及其推论，本题属于新定义题，读懂题意，根据题意中的定义求解分析是解决本类题的关键．
3、3
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF，再判断出EF到BC的距离等于EF 的一半，取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，根据等腰直角三角形的性质，点Q即为所求的点，过点E作EG⊥BC于G，先求出EG，GQ，再解直角三角形求出BG，然后根据BQ=BG+GQ计算即可得解．
【详解】
解：∵E、F分别为边AB、AC的中点，
BC，
∴EF//BC，EF=1
2
∵BC=12，
∴EF=6，
取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，过点E作EG⊥BC于G，
∵AD是BC边上的高，AD=6，
×6=3，
∴OQ=EG=1
2
∴点Q即为所求的使∠EQF=90°的点，
∵EF∥BC，EG∥OQ，OE=OQ=3，
∴四边形OEQG是正方形，
∴GQ=OQ=3，
∵点E是AB的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
AD=3，
∴EG=1
2
∵∠ABC=60°，
∴3
BG===
∴BQ=BG+GQ=3
【点睛】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，解直角三角形，正方形的判定与性质，熟记定理并作辅助线构造出直角三角形和正方形是解题的关键．
4、∠P=50°．
【解析】
【分析】
根据切线性质得出PA=PB，∠PAO=90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴AC⊥AP，
∴∠CAP=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠PBA=∠PAB=90°-25°=65°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°-65°=50°．
【点睛】
本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．
5、(1)∠AEC=135°；
(2)①BE+EA，理由见解析；②4
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质得∠CDA=90°，CD=DA，再由等边三角形的性质得DE=DA，
∠DEA=∠EDA=60°，然后求出∠DEC=75°，即可求解；
（2）①过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H，证△ACH≌△BCE（SAS），得BE=AH=HE+EA
CE+AE；
②取AB的中点O，连接OC，由勾股定理得CF=5，再证A、B、C、E四点共圆，由圆周角定理得AB是圆的直径，AB的中点O是圆心，过点O作ON⊥CF于N，延长ON交圆O于点E，此时点E到CF的距
离最大，△CEF面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON=12
5
，则EN=OE-ON=
8
5
，即可求解．
(1)
解：∵∠BCA=90°，BC=AC，点D是AB的中点，
∴∠CDA=90°，CD=1
2
AB=DA，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=DA，∠DEA=∠EDA=60°，
∴DC=DE，∠CDE=∠CDA-∠EDA=90°-60°=30°，
∴∠DEC=1
2
（180°-∠CDE）=
1
2
×（180°-30°）=75°，
∴∠AEC=∠DEC+∠DEA=75°+60°=135°；
(2)
解：①线段BE，CE，EA之间的数量关系为：BE+EA，理由如下：过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H，如图2所示：
则∠CEH=180°-∠AEC=180°-135°=45°，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∴CH =CE ，HE
，
∵∠BCA =∠ECH =90°，
∴∠ACH =∠BCE ，
在△ACH 和△BCE 中，
AC BC ACH BCE CH CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACH ≌△BCE （SAS ），
∴BE =AH =HE +EA
+AE ；
②取AB 的中点O ，连接OC ，如图3所示：
∵∠BCA =90°，BC =AC ，
∴△ACB 是等腰直角三角形，
∴∠ABC =45°，
∵O 是AB 的中点，
∴OC ⊥AB ，OC =OA =12AB =12（AF +BF ）=12
×（1+7）=4，
∴OF =OA -AF =4-1=3，
在Rt △COF 中，由勾股定理得：CF
=，
∵CF是定值，
∴点E到CF的距离最大时，△CEF面积的面积最大，∵∠AEC=135°，
∴∠ABC+∠AEC=180°，
∴A、B、C、E四点共圆，
∵∠BCA=90°，
∴AB是圆的直径，AB的中点O是圆心，
过点O作ON⊥CF于N，延长ON交圆O于点E，
此时点E到CF的距离最大，△CEF面积的面积最大，
∵S△OCF=1
2
OC•OF=
1
2
CF•ON，
∴
4312
55
OC OF
ON
CF
⋅⨯
===，
∵OE=OC=4，
∴EN=OE-ON=4-12
5
=
8
5
，
∴△CEF面积的面积最大值为：1
2
CF•EN=
1
2
×5×
8
5
=4．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理，证明△ACH≌△BCE 是解题的关键．。