湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第9章平面解析几何 第2节两条直线的位置关系

l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2
l1:y=k1x+b1
两直线平行时,它们的斜率可能都不存在
l2:y=k2x+b2
l1与l2相交⇔k1≠k2
l1⊥l2⇔ k1k2=-1
当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,则 l1 与 l2 重
分别为2x+y-2=0,2x+y-2=0,此时l1与l2重合,当a=-1时,两条直线的方程分别
为2x-y+2=0,2x-y-2=0,此时l1与l2平行;当直线l1与l2相交时,2a2≠2,即a≠±1;当
直线l1与l2垂直时,4a+a=0,解得a=0.
考点二 距离问题
例3(1)在平面直角坐标系中,已知点A(cos 15°,sin 15°),B(cos 75°,
7 5
=
.
10
2
2
x-4y+3=0之间的距离为 2 + (-4)
|-4-3|
题组三连线高考
8.(2009·上海,文15)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,
则k的值是( C )
A.1或3
B.1或5
C.3或5
D.1或2
解析 当 k-3=0 时,两直线的方程分别为 y=-1 和
的坐标为(-2-x,4-y).因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x) +3(4y)-6=0,即2x+3y-2=0.
(2)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段恰
x+4y-4=0
好被点P平分,则直线l的方程为
.
l1:A1x+B1y+C1=0(12 +
12 ≠0)
l2:A2x+B2y+C2=0(22 +
22 ≠0)
1
合⇔
2
=
1
2
=
C1
C2
l1∥l2⇔ A1B2-A2B1=0
,且 B1C2B2C1≠0(或 A1C2-A2C1≠0)
l1 与 l2 相交⇔A1B2-A2B1≠0
l1⊥l2⇔ A1A2+B1B2=0
(k+y,x-k).
2.三种直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程为Ax+By+m=0(m∈R,且
m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0(12 + 12 ≠0)与 l2:A2x+B2y+C2=0(22 + 22 ≠0)的交点
3 9
,将点
5 7
- ,
3 9
代入 4x-3y+m=0,得 m=9.故所求直线的
方程为 4x-3y+9=0.
(方法三)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,λ∈R,即
(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以
3(2+λ)+4(3-3λ)=0,解得λ=2,所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.
10
10 或3
|3-8-2|
32 +(-4)2
.
=4,解得 a=10
(3)(2024·上海静安模拟)若直线x+2y+3=0与直线2x+my+10=0平行,则这两
条直线间的距离是
2 5
5
.
解析 由直线x+2y+3=0与直线2x+my+10=0平行,可知m-2×2=0,即m=4,故
2x+my+10=0可化为2x+4y+10=0,即x+2y+5=0,与直线x+2y+3=0平行.故这
(-2)=-(1+λ)·
1,故λ=-3,则有x-2y+11=0,此
时与直线x-2y-1=0平行.故所求直线为x-2y+11=0.
(2)当a分别取什么值时,直线l1:2ax+y-2=0与l2:2x+ay-2=0重合,平行,相交,垂
直?
解 当直线l1与l2平行或重合时,2a2=2,解得a=±1,当a=1时,两条直线的方程
2 5
=
.
两条直线间的距离为d= 12 + 22
5
|5-3|
[对点训练2](2024·重庆南开中学模拟)若两条平行直线l1:3x-4y-4=0与l2:3x4y+C=0间的距离为2,则C= 6或-14
.
解析 由题意可得
|-(-4)|
2
3 +(-4)
2
=
|+4|
=2,解得
5
C=6 或 C=-14.
.
解析 因为 2x+3y-m=0,令 x=0,得

3
=
12
,即


y= ,因为
3
x-my+12=0,令 x=0,得
m2=36,解得 m=±6,经检验,m=±6 符合题意.
12
y= ,所以

6.(湘教版选择性必修第一册习题2.3第9题改编)已知直线l1:(a-2)x+3y+a=0
与l2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直,则a= 2或-3 .
|3+2×0-8|
直线 x+2y-8=0 的距离 d=
12 +22
= 5.
2 研考点 精准突破
考点一 两条直线的平行与垂直(多考向探究预测)
考向1两条直线平行与垂直的判断及应用
例1(1)(2024·安徽黄山模拟)“a=4”是“直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y
+a+5=0平行”的( C )
= -4.
4-2 + = 0,
考向2由两条直线位置关系求直线方程
例2过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直
线的方程为 4x-3y+9=0
.
=
2 + 3 + 1 = 0,
解析 (方法一)由
解得
-3 + 4 = 0,
=
为所求直线与直线 3x+4y-7=0
解析 因为直线l1与l2互相垂直,所以(a-2)a+3(a-2)=0,即(a-2)(a+3)=0,解得
a=2,或a=-3.
7.(湘教版选择性必修第一册第87页练习第3题改编)直线x-2y-2=0与直线
2x-4y+3=0之间的距离为
7 5
10
.
解析 直线x-2y-2=0的方程可化为2x-4y-4=0,所以直线x-2y-2=0与直线2
当 k-3≠0
-3
时,由
2(-3)
=
4-
-2
≠
1
,可得
3
3
y= ,显然两直线平行;
2
k=5.综上,k 的值是 3 或 5.
2 2
−
9.(2021·全国乙,文14)双曲线
=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离
4
5
为
5
.
解析 由双曲线方程可得 c= 4 + 5=3,即双曲线的右焦点为 F(3,0).则点 F 到
y+1=0,x-y+1=0,两直线重合,不符合题意.综上所述,a=4.故“a=4”是“直线
ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y+a+5=0平行”的充要条件.
(2)(2024·内蒙古赤峰模拟)已知直线mx+4y-2=0与直线4x-2y+n=0互相垂直,
垂足为(1,p),则m-n+p等于( A )
[对点训练1](1)经过直线l1:2x-y+4=0与直线l2:x-y+5=0的交点M,且与直线xx-2y+11=0
2y-1=0平行的直线的方程是
.
解析 设所求直线为(2x-y+4)+λ(x-y+5)=0,故(2+λ)x-(1+λ)y+4+5λ=0,因为此
直线与直线x-2y-1=0平行,故(2+λ)·
解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)
在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所
A.6
B.2
C.-2
D.-6
解析 因为直线mx+4y-2=0与直线4x-2y+n=0互相垂直,所以m×4+4×(-2)
=0,解得m=2.所以mx+4y-2=0可化为2x+4y-2=0,即x+2y-1=0,又因为垂足
(1,p)在两直线上,所以代入得
= 0,
1 + 2-1 = 0,
解得
所以 m-n+p=2+4+0=6.
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 ∵直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y+a+5=0平行,∴a×(a-3)-1×4=0,解
得a=4或a=-1,当a=4时,两直线的方程分别为4x+y+4=0,4x+y+9=0,两直线
平行,符合题意;当a=-1时,两直线的方程分别为-x+y-1=0,4x-4y+4=0,即为x-
3.直线外一点与直线上的点的距离的最小值就是点到直线的距离.(
4.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 |k0 + | .( × )
1 + k2
)
题组二回源教材
5.(湘教版选择性必修第一册第81页练习第2题改编)已知直线l1:2x+3y-m=0
与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,则m= ±6
的方程为
7
y-9
=
4
3

5
+3
5
-3,
故交点的坐标为
7
.
9
5 7
- ,
3 9
.因
4
垂直,所以所求直线的斜率为3,所以所求直线
,即 4x-3y+9=0.
2 + 3 + 1 = 0,
(方法二)由垂直关系可设所求直线方程为 4x-3y+m=0.由
可
-3 + 4 = 0,
解得交点的坐标为
5 7
- ,
2.两条直线的交点
1 + 1 + C1 = 0,
直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组
2 + 2 + C2 = 0
的解.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相交⇔方程组有 唯一解
平行⇔方程组 无解 ;
重合⇔方程组有 无数个解
;
.
微点拨虽然利用方程组解的情况可以判断两直线的位置关系,但是由于运
算量较大,一般较少使用.
程必须是一般式
d=
|C 1 -C 2 |
2 + 2
两条平行直线 Ax+By+C1=0 与
线线 Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)间的距
应用两平行直线的距离公式时,直线
离
距
方程必须是一般式,且 x,y 的对应系
可以转化为点到直线的距离
数分别对应相等
常用结论
1.五个关于对称的结论
(1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
考点三 对称问题(多考向探究预测)
考向1中心对称问题
例4(1)直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是( D )
A.3x-2y-10=0
B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0
D.2x+3y-2=0
解析 设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点
的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2.
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1.当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )
2.若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × )
sin 75°),则|AB|=(
A.1
A)
B. 2
C. 3
D.2
解析 ∵点 A(cos 15°,sin 15°),B(cos 75°,sin 75°),
∴|AB|= (cos15°-cos75°)2 + (sin15°-sin75°)2 =
cos2 15°-2cos15°·cos75°+ cos 2 75°+ sin2 15°-2sin15°·sin75°+ sin2 75°
3.三种距离
此公式与两点的先后顺序无关
点点
P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
距
点 P0(x0,y0)到直线
点线
l:Ax+By+C=0 的距离(A2+B2≠
距
0)
|P1P2|= (2 -1 )2 + (2 -1 )2
d=
| 0 +0 +C|
2 + 2
应用点到直线的距离公式时,直线方
(2)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(5)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为
= 2-2(cos15°·cos75°+ sin15°·sin75°)
= 2-2cos(15°-75°)= 2-2cos60°=1.
(2)已知点A(a,2)到直线3x-4y-2=0的距离等于4,则a的值为
解析 由点 A(a,2)到直线 3x-4y-2=0 的距离等于 4,则 d=
或
10
a=- 3 .
第2节 两条直线的位置关系
课标解读
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直
线间的距离.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.两条直线的位置关系