平面向量的正交分解和坐标表示及运算

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平面向量基本定理告诉我们，平面内所有向量可以用 平面的一组基底表示出来，那么恰当的选择基底（尽
可能特殊化的基底），将带来更加便利的向量 表示及运算。我非常期待,你们呢？……
课题： 平面向量的正交分解及坐标表示
高一数学
刘利
F1 G F2
重力 G产生两个效果，一是木块受平行于 斜面的力的作用F1，沿斜面下滑；一是木块产 生垂直于斜面的压力 F2.也就是说，重力G 的
效果等价于F1和F2 得合力效果，即 G F1 F2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
如图，向量 e1 , e2是两个互相垂直且长度分
别为2，1的向量，向量 a 与 e1的夹角是30°，
且 a 4，以向量 e1 , e2 为基底，向量 a如何表
示？
B
P
e2
a
O
e1
A
若该题中的基底e1, e2的长度都为1，a表示的结果是什么? 有何优越性？
解法2：由平行四边形法则可得
BD BA BC
y B
(2 (1),1 3) (3 (1), 4 3) A
(3, 1)
O
C D
x
而OD OB BD
(1,3) (3, 1) (2, 2)
？你能比较一下两种
所以顶点D的坐标为（2，2）
解法在思想方法上的异同 点吗
小结1 :平面向量的坐标表示
谢谢大家！
y
D
a
C
如图，i, j 是分别与x轴、y轴正方向相同 A
的单位向量，若以 i, j为基底，则
j
x

o iB
对于该平面内的任一向量 a，
有且只有一对实数x、y，可使
a = xi + y j.
这样，平面内的任一向量 a 都可由x，y唯
一确定，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）
坐标，记作
y
D
a
C
a (x, y)
例３.如图，已知 A(x1, y1), B(x2, y2 )，求 AB 的坐标。
y
解： AB OB OA
(x2 , y2 ) (x1, y1) A
(x2 x1, y2 y1)
B
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 p 的终点的坐标减去起点的坐标。
思考:你能在上图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的Ｐ点吗？
A
①j
o iB
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的 坐标，①式叫做向量的坐标表示. i =（1，0）
j =（0，1）
0 =（0，0）
概念理解
1、向量 a 在坐标平面内平移，其坐标不变。
向量a
一 一 对 应 向量 a 的坐标（x ，y）
y
a
2．以原点O为起点
y
A
作OA a，那么点
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
解法１：设点D的坐标为（x,y） AB (1,3) (2,1) (1, 2) DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y) 且AB DC
(1, 2) (3 x, 4 y) 13x
①式叫做向量的坐标表示。
• 小结2 : 平面向量的坐标运算：
a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
a (x1, y1)
探究：
已知 a (x1, y1),b (x2, y2) ，你能得出两个向量共线
的坐标表示吗？
作业：
• 习题2.3 A组 1 、 3 。
A的位置由谁确定?
j Oi x
x
由 a 确定
a = xi + yj
OA = xi + y j
y
a
y
A
j
Oi x
x
3．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
a xi y j a的坐标（x，y） a OA，A（x，y)
例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b 、c 、d ，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3); d 2i 3 j (2, 3).
思考：已知 a (x1, y1),b (x2, y2) ，你能得出 a b, a b, a
如图，i, j 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以 i, j 为基底，则
对于该平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数x、y，可使
y
D
a
C
A
j
x
o iB
a xi +y j
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的（直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
24 y
y B
A O
C D
x
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
y B
A O
C D
x
例4.如图，已知 ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是
（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
的坐标吗？
平面向量的坐标运算：
a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 ) 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的和（差）
a (x1, y1)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标
例2.已知 a (2,1),b (3, 4)，求 a b, a b, 3a 4b的坐标。
昨天的记忆 平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
实数1、2，可使 a 1e1 +2 e2
这里不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
如图：
这就是说平面内任 一向量a都可以表示
成1e1 +2 e2的形式