新教材2024版高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角
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解:由题设知 ABCD 是正方形,连接 AC,BD,交于点 O,则 AC⊥BD. 连接 PQ,则 PQ 过点 O.
由正四棱锥的性质知 PQ⊥平面 ABCD,故以 O 为坐标原点,以直 线 CA,DB,QP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图),
则 P(0,0,1),A(2 2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2 2,0), ∴A→Q=(-2 2,0,-2),P→B=(0,2 2,-1). ∴cos 〈A→Q,P→B〉=|AA→→QQ|·|PP→→BB|= 93, ∴异面直线 AQ 与 PB 所成角的余弦值为 93.
0+0=1.
(2)不妨设 CA=CC1=2CB=2,所以 B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,
0,0),B1(0,2,1),则A→B1=(-2,2,1),C→1B=(0,-2,1),所以 cos
〈A→B1,C→1B〉=|AA→→BB11|··C|C→→11BB|=-3×4+51=- 55.所以直线 BC1 与直线 AB1 所
题型2 直线与平面所成的角 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面
PAB⊥ 底 面 ABCD , AD∥BC , ∠ ABC = 90° , ∠APB=90°.
(1)求证:AP⊥PC; (2)设AB=5,AP=BC=2AD=4,求直线CB 与平面PCD所成角的正弦值.
(1)证明:因为平面PAB⊥底面ABCD,∠ABC=90°,所以BC⊥平 面PAB,则BC⊥AP.
___[0_,__π_]_
【预习自测】
1.思维辨析(对的画“√”,错的画“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. ( )
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面
α所成的角.
()
(3)二面角α-l-β的大小为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2则θ=
2.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量,若
cos〈m,n〉=-12,则直线 l 与平面 α 所成的角为
()
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【答案】A 【解析】由于cos〈m,n〉=-12,所以〈m,n〉=120°,直线l与平
面α的法向量所在直线的夹角为180°-120°=60°,所以直线l与平面α所成
为 AD=AA1=1,AB=2,P 是 C1D1 的中点,所以 B1(1,2,1),C(0,2,
0),A1(1,0,1),P(0,1,1),所以B→1C=(-1,0,
-1),A→1P=(-1,1,0),设B→1C与A→1P所成的角为 α,
cos α=
1 2×
2=12,所以 α=60°,所以B→1C·A→1P=1+
〈n1,n2〉.
()
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)两异面直线所成的角的范围为0,2π,两直线的方向向量 所成角的范围为[0,π].
(2)当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是锐角时,其余角为线 面角;当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是钝角时,其补角的余 角是线面角.
(3)n1,n2 所成的角与二面角 α-l-β 的大小 θ 相等或互补.
(2)(2023年通化检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CC1= 2CB,∠ACB=90°,则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________.
【答案】(1)60° 1
5 (2) 5
【解析】(1)以 D 为坐标原点,以 DA 所在直线为 x 轴,D z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,因
(1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)求直线 BD 与平面 BEF 所成角的正弦值.
(1)证明:在梯形 ABCD 中 AB∥CD,AD=CD=CB=2,∠ABC=60°, ∴四边形 ABCD 是等腰梯形,∠ADC=120°. ∴∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120°. ∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°. ∴AC⊥BC. 又∵在矩形 ACFE 中,CF=AE=2, BF=2 2,CB=2,∴CB⊥CF. 又∵AC∩CF=C,∴BC⊥平面 ACFE.
角的分类
向量求法
异面直线 所成的角
设两异面直线所成的角为θ,它们的方
向向量为a,b,则cos θ=_|c_o_s_〈__a_,__b_〉__|
|a·b| =___|a_|_|b_|____
范围 __0_,__2π___
角的分类
向量求法
设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量
直线与平面 为a,平面α的法向量为n,则sin θ=
所以cos〈n1,n2〉=|nn11|·|nn22|=
3 21×
21=17,
所以二面角B1-A1B-C的余弦值为17.
探究2 有关二面角的探索性问题 如图1,在平面五边形ABCDE中,四边形ABCD是梯形,
AD∥BC,AD=2BC=2 2,AB= 3,∠ABC=90°,△ADE是等边三角 形.现将△ADE沿AD折起,连接EB,EC,得到如图2的几何体.
0-41-2
=
0+41+2× 34+41+2
23,∴直线
PA
与平面
α
所成的角
为π3.
|课堂互动|
题型1 异面直线所成的角 (1)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 AD=AA1=1,
AB=2,P 是 C1D1 的中点,则B→1C与A→1P所成角的大小为________,B→1C·A→1P =________.
所成的角
|a·n|
_|c_o_s_〈__a_,__n_〉__|=___|a_|_|n_|____
二面角
设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量 分别为n1,n2,则|cos θ|=_|_co_s_〈__n_1_,__n_2_〉_ |
|n1·n2| =___|n__1|_|n_2_| __
范围 ___0_,_2_π_ _
设平面BEF的法向量n=(x,y,z), ∴nn··EB→ →FF= =00, ,∴nn··EB→→FF==--22y+3x2=z=0,0. 令y=1,则x=0,z=1,∴n=(0,1,1),B→D=( 3,-3,0). ∴|cos〈B→D,n〉|=|BB→→DD|·|nn|= 46. ∴直线BD与平面BEF所成角的正弦值是 46.
题型 3 二面角 探究 1 向量法求二面角
如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知∠A1AC=60°,∠BAC=45°,A1B= A1A=AC=2,AB= 2.
(1)求证:平面 ACC1A1⊥平面 ABC; (2)求二面角 B1-A1B-C 的余弦值.
(1)证明:如图,取 AC 中点 O,连接 A1O,BO,在△A1AC 中,A1A =AC=2,∠A1AC=60°,
所以△A1AC 为正三角形. 因为 O 为 AC 中点, 所以 A1O⊥AC,A1O= 3. 在△OAB 中,AB= 2,AO=12AC=1,∠BAC=45°,
由余弦定理,得 OB= AO2+AB2-2AO·ABcos 45°=1. 所以 A1B2=A1O2+OB2=4, 所以 A1O⊥OB. 又因为 A1O⊥AC,OB∩AC=O,OB⊂平面 ABC,AC⊂平面 ABC, 所以 A1O⊥平面 ABC. 因为 A1O⊂平面 ACC1A1, 所以平面 ACC1A1⊥平面 ABC.
成角的余弦值为
5 5.
两异面直线所成的角的求法 (1)平移法:通过平移其中一条(也可两条同时平移),使它们转化为 两条相交直线,然后通过解三角形求解. (2)取定基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用 取定基底的方法,这是小技巧.在利用公式 cos 〈a,b〉=|aa|·|bb|求向量 a,b 的夹角时,关键是求出 a·b 及|a|与|b|,一般是把 a,b 用一个基底表 示出来,再求有关的量.
又因为AP⊥PB,且PB∩BC=B, 故AP⊥平面PBC,所以AP⊥PC.
(2)解:如图,作 PM⊥AB 于点 M,则建立空间直角坐标系 Mxyz, 则 P0,0,152,B0,95,0,C4,95,0,D2,-156,0, C→B=(-4,0,0), C→D=(-2,-5,0), C→P=-4,-59,152.
设平面PDC的法向量m=(x,y,z),
则CC→→DP··mm==00,,即22x0+x+5y9=y-0,12z=0,
令x=1,解得y=-25,z=4310,则m=1,-25,3401.
所以|cos〈C→B,m〉|=|C→→B·m|=6 |CB||m|
101909.
故直线CB与平面PCD所成角的正弦值为6 101909.
(1)若 M 是 ED 的中点,求证:CM∥平面 ABE. (2)若 EC=3,在棱 EB 上是否存在点 F,使得二面角 E-AD-F 的余 弦值为2 3 2?若存在,求EEFB的值;若不存在,请说明理由.
令 z1= 3,解得 x1=3,y1=-3,所以 n1=(3,-3, 3).
设平面A1BC的法向量n2=(x2,y2,z2), 所以nn22··AB→→C1B==00,,即x-2-x2+3yz22==00,,
令z2= 3,解得x2=3,y2=3,所以n2=(3,3, 3).
所以|n1|= 21,|n2|= 21,n1·n2=3.
4.已知平面 α 的一个法向量 n=0,-12,-
2,A∈α,P∉α,且P→A
=-
23,12,
2,则直线 PA 与平面 α 所成的角为________.
【答案】π3
【解析】设直线 PA 与平面 α 所成的角为 θ,则 sin θ=|cos〈n,P→A〉
→ |= |n·P→A| =
|n||PA|
(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法 ①建立恰当的空间直角坐标系; ②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式; ③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角; ④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.
1.如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2, AB=4,求异面直线AQ与PB所成角的余弦值.
利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量. (3)求平面的法向量 n.
(4)计算:设线面角为 θ,则 sin θ=|cos〈n,m〉|=|nn11|·|nn22|.
2.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD= CD=CB=2,∠ABC=60°,在矩形 ACFE 中,AE =2,BF=2 2.
的角为30°.
3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两
平面所成的二面角的大小为
()
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.90°
【答案】C
【解析】cos〈m,n〉=|mm|·|nn|=1×1
= 2
22,即〈m,n〉=45°,其
补角为 135°,所以两平面所成的二面角为 45°或 135°.
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 空间中的夹角问题
学习目标
素养要求
1.理解线线、线面、面面夹角的向量表示
直观想象、抽象数学
2.会用向量方法求直线与直线、直线与平面、平面 直观想象、数学运算
与平面的夹角
|自学导引|
空间三种角的向量求法
(2)解:以 C 为坐标原点,CA 所在直线为 x 轴, CB 所在直线为 y 轴,CF 所在直线为 z 轴,建立空间 直角坐标系,如图,
则 C(0,0,0),B(0,2,0),F(0,0,2),D( 3, -1,0),E(2 3,0,2).
∴E→F=(-2 3,0,0),B→F=(0,-2,2).
(2)解:在△OAB 中,AB= 2,AO=OB=1, 故 AB2=AO2+OB2,所以 AO⊥OB. 又因为 A1O⊥AC,A1O⊥OB, 分别以 OB,OC,OA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图, 则 A(0,-1,0),B(1,0,0), A1(0,0, 3),C(0,1,0).
因为A→A1=B→B1=(0,1, 3),所以O→B1=O→B+B→B1=(1,1, 3).
所以A→1B=(1,0,- 3),B→C=(-1,1,0).
设平面 A1B1B 的法向量 n1=(x1,y1,z1),
所以nn11··AB→ →11BB= =00, ,即xy11-+
3z1=0, 3z1=0,