第八章8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

2020-2021学年高一数学必修二第8章《立体几何初步》8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积思考将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？答案将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. 棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝13ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝13(S′＋S′S＋S)hS′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(×)2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.( × )3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ )4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.( √ )一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.解 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，体对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64， ∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S 侧＝4×8×5＝160. ∴直四棱柱的底面积S 底＝12AC ·BD ＝207.∴直四棱柱的表面积S 表＝160＋2×207＝160＋407. 反思感悟 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.跟踪训练1 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S －ABCD 如图所示，求它的侧面积、表面积.解 ∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5， ∴各侧面都是全等的正三角形.设E 为AB 的中点，连接SE ，则SE ⊥AB ， ∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12AB ×SE ＝2×5×52－⎝⎛⎭⎫522＝253，S 表＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1).二、棱柱、棱锥、棱台的体积例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( )A.14 B.12 C.36D.34答案 D解析 设三棱锥B 1－ABC 的高为h ，则1B ABC V －三棱锥＝13S △ABC h ＝13×34×3＝34.(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面面积为780 cm 2.求其体积.解 正四棱台的大致图形如图所示，其中A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm ，取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 为斜高.设O 1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1为直角梯形. ∵S 侧＝4×12×(10＋20)×EE 1＝780(cm 2)，∴EE 1＝13 cm.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 cm ，OE ＝12AB ＝10 cm ，∴O 1O ＝132－(10－5)2＝12(cm).故该正四棱台的体积为V ＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3).反思感悟 求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.跟踪训练2 如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为________.答案 13解析 由题意可知四棱锥A 1－BB 1D 1D 的底面是矩形，边长为1和2，四棱锥的高为12A 1C 1＝22， 则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为V ＝13×1×2×22＝13.几何体体积的求法典例1 等积变换法如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积.解 由1111A D EF F A D E V V 三棱锥－三棱锥－＝，∵11A D E S＝12EA 1·A 1D 1＝14a 2， 又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ， ∴11F A D E V 三棱锥－＝13×a ×14a 2＝112a 3，∴11A D EF V 三棱锥－＝112a 3.典例2 分割法如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积.解 如图，连接EB ，EC ，AC .V 四棱锥E －ABCD ＝13×42×3＝16.∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF . ∴V 三棱锥F －EBC ＝V 三棱锥C －EFB＝12V 三棱锥C －ABE ＝12V 三棱锥E －ABC ＝12×12V 四棱锥E －ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E －ABCD ＋V 三棱锥F －EBC ＝16＋4＝20. [素养提升] (1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( ) A.27 cm 3 B.60 cm 3 C.64 cm 3 D.125 cm 3 答案 B解析 V 长方体＝3×4×5＝60(cm 3).2.正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A.48 6 B.64 C.16 D.96 答案 B3.正四棱锥底面正方形的边长为4，侧面是等边三角形，则该四棱锥的侧面积为( ) A.16 3 B.48 3 C.64 3 D.323答案 A解析 如图所示，在正四棱锥P －ABCD 中，连接AC ，BD ，交于O 点，连接PO ，取BC 的中点E ，连接PE ，OE ，易知PO 为正四棱锥P －ABCD 的高，PE 为等边三角形PBC 边BC 上的高，所以PE ＝23，则S 侧＝4×12×4×23＝16 3.4.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________. 答案 6＋2 2解析 V 棱台＝13×(2＋4＋2×4)×3＝13×3×(6＋22) ＝6＋2 2.5.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________.答案 16解析 11A DED E DD A V V 三棱锥－三棱锥－＝＝13×12×1×1×1＝16.1.知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. (2)棱柱、棱锥、棱台的体积. 2.方法归纳：等积法、割补法.3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( ) A.22 B.20 C.10 D.11 答案 A解析 所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.2.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是( )A.8B.16 2C.8＋12 2D.8＋16 2 答案 D3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( ) A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2答案 A4.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( ) A.1∶9 B.1∶8 C.1∶4 D.1∶3 答案 B解析 两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8.5.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12 C.23 D.34答案 C解析 ∵V 三棱锥C －A ′B ′C ′＝13V 三棱柱ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V 四棱锥C －AA ′B ′B ＝1－13＝23.6.棱长都是3的三棱锥的表面积S 为________. 答案 9 3解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形， 所以S ＝4×34×32＝9 3. 7.正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为______. 答案 1解析 ∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点， ∴底面B 1DC 1的面积为12×2×3＝ 3.A 到底面的距离就是底面正三角形的高 3. 三棱锥A －B 1DC 1的体积为13×3×3＝1.8.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是________. 答案 56解析 易知V ＝1－8×13×12×12×12×12＝56.9.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求点A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1是三棱锥A 1－ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， ∴A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵11A ABD A A BD V V 三棱锥－三棱锥－＝，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴点A 到平面A 1BD 的距离为33a . 10.如图所示，正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积.解 ∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴侧面等腰梯形的高为4－⎝⎛⎭⎫4－222＝3，∴一个侧面等腰梯形的面积为12×(2＋4)×3＝33，∴四棱台的表面积为4＋16＋33×4＝20＋12 3.11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________.答案 36解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1， ∴S 表＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36. ∴该几何体的表面积为36.12.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________.答案112解析 连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ， ∵E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点， ∴EH ∥AC ，EH ＝12AC .∵F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，∴FG ∥AC ，FG ＝12AC ，∴EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴四边形EHGF 为平行四边形， 又EG ＝HF ，EH ＝HG ，∴四边形EHGF 为正方形. 又点M 到平面EHGF 的距离为12，∴四棱锥M －EFGH 的体积为13×⎝⎛⎭⎫222×12＝112.13.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点.设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析 设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为V 2＝Sh . ∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点， ∴△ADE 的面积等于14S .又∵F 为AA 1的中点，∴三棱锥F －ADE 的高等于12h ，于是三棱锥F －ADE 的体积V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh ＝124V 2，故V 1∶V 2＝1∶24.14.三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，三棱锥P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案 14解析 设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵D ，E 分别为PB ，PC 的中点，∴S △BDE ＝14S △PBC ，∴V 1V 2＝V A －DBE V A －PBC ＝13S △BDE ·h13S △PBC ·h ＝14.第 11 页 共 11 页15.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________.答案 8解析 如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.16.如图，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O ′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO ′和较小的棱锥PO ′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱长为12 cm ，小棱锥的底面边长为4 cm ，求截得的棱台的侧面面积和表面积.解 (1)由题意知S 小棱锥侧∶S 大棱锥侧＝1∶4，则S 大棱锥侧∶S 小棱锥侧∶S 棱台侧＝4∶1∶3.(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm ，∴大棱锥的底面边长为8 cm ，又P A ＝12 cm ，∴A 1A ＝6 cm.又梯形ABB 1A 1的高h ′＝62－22＝42(cm)，∴S 棱台侧＝6×4＋82×42＝1442(cm 2)， ∴S 棱台表＝S 棱台侧＋S 上底＋S 下底＝1442＋243＋963＝(1442＋1203)(cm 2).。