北京市朝阳外国语学校来广营校区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北京市朝阳外国语学校来广营校区2023-2024学年九年级上
学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题1．一元二次方程2250x x +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．2，1，5B ．2，1，－5C ．2，0，－5
D ．2，0，52．下列四个图形中，是中心对称图形的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．将抛物线2y x =向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（
）A ．23y x =+B ．23y x =-C ．()23y x =+D ．()
23y x =-4．在平面直角坐标系中，点()2,3关于原点对称的点的坐标是（）
A ．()2,3-
B ．()2,3-
C ．()
3,2D ．()2,3--5．用配方法解方程x 2＋4x ＝1，变形后结果正确的是（
）A ．(x ＋2)2＝5B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝2
6．已知二次函数24y x x c =-+（c 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程240x x c -+=的两个实数根是（）
A ．x 1=1，x 2=-1
B ．x 1=-1，x 2=2
C ．x 1=-1，x 2=0
D ．x 1=1，x 2=3
7．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列四个说法中：
①20a b +=；②0a b c ++<；③20ax bx c ++=的两个解是12x =-，24x =；④当0x ≤时，y 随x 的增大而减小；正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．下面的四个问题中都有两个变量：
①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y；
②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y；
③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y；
④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，利润为y元．
其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
二、填空题
绕点A
13．如图，将ABC
16．已知1(,),M x m N 211x x -=，总有|n m -三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
(1)280
x x -=(2)2640
x x ++=18．若1x =是关于x 的一元二次方程22420x mx m -+=的根，求代数式()()()2211m m m -++-的值．
19．如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB ）
，点O 是这段弧所在圆的圆心.100m AB =,C 是 AB 上一点，OC AB ⊥，垂足为D ，=10m CD ，求这段弯路的半径．
20．已知二次函数经过点()1,0-，()3,0，且最大值为4．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数的图象；
(3)当03x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．
21．如图，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．
22．
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，将线段CA 绕点C 逆时针旋转60°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC =1，求线段BD 的长．
23．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-+-=．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若0m ＜，方程的两个实数根为1x 、2x ，且12x x <，若2123x x -=，求m 的值．24．如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为2m y （铝合金条的宽度不计）．
(1)求出y 与x 的函数关系式；
(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．25．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁.其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道.图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引.他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD,两个索塔均与桥面垂直.主桥AC 的长为600m ，引桥CE 的长为124m.缆索最低处的吊杆MN 长为3m ，桥面上与点M 相距100m 处的吊杆PQ 长为13m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D 与锚点E 的距离.
图2
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2﹣2x （a≠0）与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．
（1）当a=﹣1时，求A ，B 两点的坐标；
（2）过点P （3，0）作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ．
①当a=2时，求PB+PC 的值；
②若点B 在直线l 左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．
27．在菱形ABCD 中，BAD ∠=α，E 为对角线AC 上的一点（不与A ，C 重合）
，将射线EB 绕点E 顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD 交于F 点，试探究线段EB 与EF 的数量关系，小字发现点E 的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．
(1)如图1，当90a β==︒时，菱形ABCD 是正方形．小宇发现，在正方形中，AC 平分BAD ∠，作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N ．由角平分线的性质可知EM EN =，进而可得EMF ENB △≌△，并由全等三角形的性质得到EB 与EF 的数量关系为__________．
(2)如图2，当60α=︒，120β=︒时，
①依题意补全图形；
②请帮小字继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；
28．在平面直角坐标系xOy 中，对于第一象限的P ，Q 两点，给出如下定义：若y 轴正半轴上存在点P '，x 轴正半轴上存在点Q '，使PP QQ '' ，且1=2=∠∠α（如图1），则称点P 与点Q 为α-关联点．
(1)在点()13,1Q ，()25,2Q 中，与()1,3为45︒关联点的是___________________；
(2)如图2，()6,4M ，()8,4N ，()(),81P m m >．若线段MN 上存在点Q ，使点P 与点Q 为45︒-关联点，结合图象，求m 的取值范围；
(3)已知点()1,8A ，(),6B n ()1n >﹒若线段AB 上至少存在一对30︒-关联点，直接写出n 的取值范围．。