重庆市南开中学校2025届高三7月月考数学试题

重庆市南开中学校2025届高三7月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合{A x y ==，集合{}
2x B y y ==，则A B =I （ ）
A ．(](),50,-∞-+∞U
B ．[)1,+∞
C ．()
0,∞+
D ．[)[)5,01,-+∞U
2．函数()()
2
ln 1f x x =-的单调递增区间为（ ）
A ．()0,∞+
B ．(),0-∞
C ．()1,+∞
D ．(),1-∞
3．命题p ：“函数()31
3
f x x ax =-在区间[]1,1-上单调递增”是命题q ：“1a ≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不
充分也不必要条件
4．已知f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2
1f x x =+，则()2f '-=（ ）
A ．4
B ．4-
C ．5
D ．5-
5．若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则xy 的取值范围为（ ） A ．(]0,4
B ．[)2,+∞
C ．[)4,+∞
D ．[)16,+∞
6．若函数()()2e x
f x ax b =+在1x =时有极小值2e -，则ab =（ ）
A ．2-
B ．3-
C ．e -
D ．1-
7．已知函数()()ln f x x m =+的图象与函数()()ln g x x =--的图象有且只有一个交点，则实数m =（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
8．已知函数()1f x +是R 上的偶函数，且()()220f x f x ++-=，当(]0,1x ∈时，()25log 22f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，函数f （x ）在区间[]3,3-的零点个数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
二、多选题
9．下列关于幂函数()43
f x x -
=的说法正确的有（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 的值域为()0,∞+ C ．函数()f x 为偶函数
D ．不等式()1f x <的解集为()1,1-
10．已知函数()f x 在定义域 1,+∞ 内恒大于0，且满足()()ln 0f x xf x x '->，则下列不等式正确的是（ ）
A ．()()2ln33ln 2f f >
B ．()()2ln33ln 2f f <
C ．()()224f f >
D ．()()224f f <
11．已知函数()[)()[]cos ,0,2ππ2sin 1,2π,3πax x x g x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩
（R a ∈且0a >），则（ ） A ．当1a =时，函数()g x 有3个零点 B ．当12a =
时，函数()g x 在4π5π,33⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减 C ．当函数()g x 在P x 0,y 0 处的切线经过坐标原点时，有0001
sin cos 2
x x x +=或00tan 1x x ⋅=
D
．当12a ⎡∈⎢⎣⎦
时，若函数()()f x g x t =-恰有两个零点1x 、2x ，则122πx x +>
三、填空题
12．若()2
212f x x x -=-，则()f x 的解析式为．
13．已知函数()()sin 1202520252cos 3
x
f x x x =
+-≤≤-的值域为[],m M ，则M m +=．
14．已知函数()()1e ln x
f x x x x =--，若()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有
()()
1222
12
f x f x a x x ->-恒
成立，则实数a 的取值范围是．
四、解答题
15．已知函数()2
ln 1f x x x kx =+-+在点()()22f ,处的切线l 与直线320x y -=平行．
(1)求k 的值及切线l 的方程；
(2)求()f x 的单调区间和极值．
16．已知函数()()9R 3
x x
a
f x a +=∈为偶函数． (1)求a 的值及函数f （x ）的值域；
(2)设()()()()22R g x mf x f x m m =++∈，若R x ∀∈，都有()0g x <恒成立，求实数m 的取值范围．
17．2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小暑至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎． (1)由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率． (2)甲乙两人各自独立的参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p 和12112p p ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭
．
（i ）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X ，求X 的分布列；
（ii ）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p 的取值范围．
18．已知椭圆C ：()22
2210+=>>x y a b a b
，()11,0F -、()21,0F 分别为椭圆C 的左、右焦点，
过2F 作与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．当l 垂直于x 轴时，3AB =． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点D 、E 分别为线段1F A 、1F B 的中点，点M 、N 分别为线段AE 、BD 的中点．
（i ）求证：MN AB
为定值；
（ii ）设1F MN △面积为S ，求S 的取值范围． 19．定义可导函数p （x ）在x 处的函数()()()
x
q x p x p x '=⋅
为p （x ）的“优秀函数”，其中()p x '为p （x ）的导函数．若x D ∀∈，都有()1q x >成立，则称p （x ）在区间D 上具有“优秀性质”
且D 为（x ）的“优秀区间”．已知()()e 10x
f x x =-≠．
(1)求出f （x ）的“优秀区间”；
(2)设f （x ）的“优秀函数”为g （x ），若方程()()ln e x
x m g x +=有两个不同的实数解1x 、
()212x x x <．
（ⅰ）求m 的取值范围；
（ⅱ）证明：121
ln e
x x m ++<（参考数据：e 2.718≈）．。