复变函数期末试卷及答案2套

1 复变函数与积分变换（B 卷）
（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设1z =，则（ ）
A ．
||1,arg 3
z z π
== B ．
||2,arg 3
z z π
==- C ．
||2,arg 3
z z π
== D ．
||4,arg 3
z z π
==-
2．下列等式成立的是（ ） A ．1i e π
=- B ．1i e
π
--=- C ．1i e π
-=- D ．2
1i
e
π=-
3．函数2()||f z z =在复平面上（ ）
A ．处处不连续
B ．处处连续，在点0z =解析
C ．处处连续，处处不可导
D ．处处连续，仅在点0z =可导 4．下列复数中为实数的是( )
A 3(1)i -
B ln i
C i
i D 5．设C 为从0z =到1z i =+的直线段，则积分C
zdz =⎰
（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．1i +
6. 设C 为正向单位圆周||1z =，则积分
z C
e dz =⎰
( ).
A ．1
B ．2π
C ．0
D ．2i π
7. 设C 是绕点0z 的正向简单闭曲线，则积分53
()C z dz z z =-⎰ ( ).
A ．0
B ．2i π
C ．502z i π
D ．3
020z i π
8．函数1
()2f z z
=
+ 在点00z =的泰勒展开式为 ( ) A.10
(1)2n n
n
n z +∞
=-∑ B. 1
(1)2n n
n n z ∞
+=-∑ C. 0
2n n n z ∞
=∑ D.
12n
n n z ∞
=∑ 9. 0z =是函数3
sin ()z z
f z z
-=
的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点
课程考试试题
学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:
10.设1()(2)z
f z z e =+，则Re [(),0]s f z =（ ） A ．
12 B ．32 C ．2 D ．52
二、填空题(每空3分，共15分)
1 设复数z 满足(2)3i z +=，则z =__________。

2 1i
=__________。

3．设C 为正向圆周||1z =，则
(2)C dz
z z =-⎰__________。

4．设21
()sin z
f z d ξξ=
⎰
，则()f z '=__________。

5．幂级数0(1)3
n n
n n z ∞
=-∑的收敛半径是__________。

三、计算题（5个小题，共35分）
1．（7分）设z x iy =+，()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，满足u v x y +=-，求()f z （可忽略一个常数）
2．（7分）设C 为正向圆周||1z =，求积分
23(2)C dz
z z -⎰。

3．（7分）求()(1)(2)
z
f z z z =
--在0z =处的泰勒级数展开式。

4 （7分）利用留数定理计算cos C z
dz z ⎰，其中C 为正向圆周||2z =。

5.（7分）求2
1
()3f z z z
=
-在圆环域||3z >上的洛朗级数展开式。

四、综合题（2个小题，共20分） 1．（10分）（1）求22
()(0)z
f z a z a =
>+在上半平面内的孤立奇点及其类型；
（2）求()iz
f z e 在以上孤立奇点处的留数； （3）利用以上结果计算实积分22
sin x x
I dx x a
+∞
-∞
=
+⎰
2．（10分）设D 是z 平面的右半平面：Re 0z >，求下列保形映射： （1）11()w f z =将D 映射为1w 平面的上半平面11:Im 0D w >；
（2）21()w f w =将1D 映射为w 平面上的单位圆盘2:||1D w <，且()0g i =；
（3）()w f z 将D 映射为2D
-
一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（B ）2．(A)；3．（D ）；4．（C ）；5. (C) 6．（C ）7． (D)；8．（B ）；9．（B ）；10. (D). 二、填空题(每空3分，共15分)
1．3
(2)5i -。

2. 2k e π
-。

3．12
-。

4．2
sin z 。

5．3。

三、计算题（5个小题，共35分）
1.解：由柯西-黎曼方程,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂，在u v x y +=-两边分别,x y 求偏导数，得 11
u v x x u v y y ∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=-∂∂⎪⎩，即11u u x y u u y x
∂∂⎧-=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩，解得01u x u y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=-∂⎪⎩ ……4分 ()u v f z i i x x
∂∂'=+=∂∂ ()()f z f z d z
i z ='=⎰ ……7分 2. 解：函数 2333
11
()(2)(2)
f z z z z z =
=--在||1z =内有一个奇点0，由柯西积分公式得 3
023331
213(2)[]|(2)2!(2)8z C C dz i z dz i z z z z ππ=-==''=--⎰⎰ ……7分 3.解： (1)(2)11
()()(1)(2)(1)(2)21z z z f z z z z z z z z z
-+-=
=-⋅=-+------ 11100001
11111()()(1)21222212
n n n n n
n n n
n n n n n z z z z z z z z z +∞∞∞∞∞++======--+=--+=-=---∑∑∑∑∑ （ ||1z <） ………7分
4．解：()cos z f z z =在||2z =内有一级极点2z π=和一级极点2z π
=-，且
2Re [(),]|2sin 2
z z s f z z πππ
===--
2Re [(),]|2sin 2
z z s f z z πππ
=--==-- ………5分
因此，
2
2()2cos 22
C z dz i i z ππππ=--=-⎰ ………7分 5.解：2222
00111133()31n n
n n n n f z z z z z z z z
∞∞
+======--∑∑ ………7分
四、综合题（2个小题，共20分） 1.解：（1）22
()z f z z a
=+ ，令22
0z a +=，得()f z 在上半平面内的孤立奇点有 z ai = 为一级极点 …2分
（2）
1
Re [(),]|22
iz z ai z s f z e ai z ==
= …4分 （3）2222sin 1
Im[]Im[2]2ix x x xe I dx dx i x a x a ππ+∞+∞-∞-∞===⋅=++⎰⎰ ……4分 2.解：（1）21i
w e z iz π
== ……4分 （2）11w i
w w i
-=
+ ……4分 （3）1
1
iz i z w iz i z --==++ ……2分。