2011届高考物理二轮复习圆周运动、万有引力与航天

2011届高考物理二轮复习：圆周运动、万有引力与航天
专题讲解：
本专题包含两类问题或者说两大题型，无论是星体问题还是其他圆周运动的问题，往往都要运用牛顿运动定律和功能关系进行求解，但由于在高考中地位重要，因`而单独作为一个专题进行总结、分类和强化训练．
航天与星体问题是近几年各地高考卷中的必考题型．由于对这个小模块每年都考，各类题型都有，考得很细，所以历年高考试题往往与近期天文的新发现或航天的新成就、新事件结合，我们在平时学习的过程中应多思考这类天文新发现和航天新事件中可能用于命题的要素．
在高考卷中，关于航天及星体问题的大部分试题的解题思路明确，即向心力由万有引力提供，设问的难度不大，但也可能出现设问新颖、综合性强、难度大的试题．
知识点归纳： 一、圆周运动
1．描述匀速圆周运动的相关物理量及其关系
(1)物理量：线速度v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a 等等． (2)关系：v ＝2πr T ＝ωr ＝2πrf ，a ＝v 2r ＝ω2
r ＝4π2T
2r ＝4π2f 2r ．
2．匀速圆周运动的向心力
(1)向心力的来源：向心力是由效果命名的力，它可以由重力、弹力、摩擦力等力来充当，也可以是由这些力的合力或它们的分力来提供，即任何力都可能提供向心力，向心力的作用是只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．
(2)大小：F 向＝ma ＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2T
2r
＝4m π2f 2
r (牛顿第二定律) 3．圆周运动的临界问题
分析圆周运动的临界问题时，一般应从与研究对象相联系的物体(如：绳、杆、轨道等)的力学特征着手．
(1)如图3－1所示，绳系小球在竖直平面内做圆周运动及小球沿竖直圆轨道的内侧面做圆周运动过最高点的临界问题(小球只受重力、绳或轨道的弹力)．
图3－1
由于小球运动到圆轨迹的最高点时，绳或轨道对小球的作用力只能向下，作用力最小为零，所以小球做完整的圆周运动在最高点应有一最小速度v min ．当小球刚好能通过最高点时，有：
mg ＝m v min 2
r
解得：v min ＝
gr ．
又由机械能守恒定律有：12m v 下2＝1
2
m v 上2＋mg ·2R ，可得v 下≥5gR
所以，小球要能通过最高点，它在最高点时的速度v 需要满足的条件是v ≥gr ．当v ＞gr 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
(2)如图3－2所示，轻质杆一端的小球绕杆的另一端做圆周运动及小球在竖直放置的圆环内做圆周运动过最高点的临界问题．
图3－2
分析小球在最高点的受力情况：小球受重力mg 、杆或轨道对小球的力F ． 小球在最高点的动力学方程为：
mg ＋F ＝m v 2
r
．
由于小球运动到圆轨迹的最高点时，杆或轨道对小球的作用力可以向下，可以向上，也可以为零；以向下的方向为正方向，设小球在最高点时杆或轨道对它的作用力大小为F ，方向向上，速度大小为v ，则有：
mg －F ＝m v 2
r
当v ＝0时，F ＝mg ，方向向上；
当0＜v ＜gr 时，F 随v 的增大而减小，方向向上； 当v ＝gr 时，F ＝0；
当v ＞gr 时，F 为负值，表示方向向下，且F 随v 的增大而增大． 4．弯道问题
(1)火车的弯道、公路的弯道都向内侧倾斜，若弯道半径为r ，车辆通过速度为v 0，则弯道的倾角应为：
θ＝arctan v 02
rg
．
(2)飞机、鸟在空中盘旋时受力与火车以“v 0”过弯道相同，故机翼、翅膀的倾角θ＝
arctan v 2
rg
．
图3－3
(3)骑自行车在水平路面上转弯时，向心力由静摩擦力提供，但车身的倾斜角仍为θ＝arctan v 2
rg
．
二、航天与星体问题
1．天体运动的两个基本规律 (1)万有引力提供向心力
行星卫星模型：F ＝G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2
＝m 4π2T
2r
双星模型：G m 1m 2
L
2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2(L －r 1)
其中，G ＝6.67×10－
11 N·m 2/kg 2 2．万有引力等于重力 G Mm
R 2＝mg (物体在地球表面且忽略地球自转效应)； G Mm (R ＋h )2
＝mg ′(在离地面高h 处，忽略地球自转效应完全相等，g ′为该处的重力加速度)
2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系
F 万＝
G Mm
r
2＝F 向
＝⎩⎪⎨⎪⎧
ma →a ＝GM r 2→a ∝1r
2
m v 2r →v ＝GM r →v ∝
1
r
mω2
r →ω＝GM r 3
→ω∝
1
r
3
m 4π
2
T 2
r →T ＝4π2r
3
GM
→T ∝r 3
.
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v ＝gR ＝7.9_km/s ，是卫星发射的最小速度，也是卫星环绕地球运行的最大速度．
(2)第二宇宙速度：v ＝11.2 km/s (3)第三宇宙速度：v ＝16.7 km/s
注意：①三个宇宙速度的大小都是取地球中心为参照系； ②以上数据是地球上的宇宙速度，其他星球上都有各自的宇宙速度，计算方法与地球相同．
4．关于地球同步卫星
地球同步卫星是指与地球自转同步的卫星，它相对于地球表面是静止的，广泛应用于通信领域，又叫做同步通信卫星．其特点可概括为六个“一定”：
(1)位置一定(必须位于地球赤道的上空)
地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定与地球的赤道面重合．
假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合，而与某一纬线所在的平面重合，如图3－4所示．同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力F 的作用，绕地轴做圆周运动，F 的一个分力F 1提供向心力，而另一个分力F 2将使同步卫星不断地移向赤道面，最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力F 全部提供向心力)．
图3－4
(2)周期(T )一定
①同步卫星的运行方向与地球自转的方向一致．
②同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同，即T ＝24 h ． (3)角速度(ω)一定
由公式ω＝φt 知，地球同步卫星的角速度ω＝2π
T
，因为T 恒定，π为常数，故ω也一定．
(4)向心加速度(a )的大小一定
地球同步卫星的向心加速度为a ，则由牛顿第二定律和万有引力定律得： G Mm (R ＋h )2＝ma ，a ＝GM (R ＋h )2
． (5)距离地球表面的高度(h )一定
由于万有引力提供向心力，则在ω一定的条件下，同步卫星的高度不具有任意性，而是唯一确定的．
根据G Mm (R ＋h )
2＝mω2
(R ＋h )得： h ＝3GM ω2－R ＝3GM
(2πT
)2－R ≈36000 km ． (6)环绕速率(v )一定
在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速率也一定，且为v ＝
GM
r
＝R 2g
R ＋h
＝3.08 km/s ．
因此，所有同步卫星的线速度大小、角速度大小及周期、半径都相等． 由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件： ①卫星运行周期和地球自转周期相同； ②卫星的运行轨道在地球的赤道平面内； ③卫星距地面高度有确定值． 5：带电粒子在磁场中的圆周运动
高考电磁场中带电粒子的圆周运动试题，对于高三专题复习是很重要的。

可以看出确定圆心、圆心角和半径是解题的出发点，运用圆和三角形的几何关系是解题的固有模式，还要正确理解圆周运动的周期性和对称性等。

10．如图所示，在水平方向的匀强电场中，一绝缘细线的一端固定在O 点，另一端系一带正电的小球，小球在重力、电场力、绳子的拉力的作用下在竖直平面内做圆周运动，小球所受的电场力的大小与重力相等．比较a 、b 、c 、d 这四点，小球( )
A ．在最高点a 处的动能最小
B ．在最低点c 处的机械能最小
C ．在水平直径右端b 处的机械能最大
D ．在水平直径左端d 处的机械能最大
【解析】①由题意知，小球受的重力与电场力的合力沿∠bOc 的角平分线方向，故小球在a 、d 两点的动能相等；②小球在运动过程中，电势能与机械能相互转化，总能量守恒，故在d 点处机械能最小，b 点处机械能最大．
[答案] C
13．(10分)火星和地球绕太阳的运动可以近似看做是同一平面内同方向的匀速圆周运
动．已知火星公转轨道半径大约是地球公转轨道半径的3
2
．从火星、地球于某一次处于距离
最近的位置开始计时，试估算它们再次处于距离最近的位置至少需多少地球年．[计算结果
保留两位有效数字，⎝⎛⎭⎫323
2＝1.85]
【解析】由G Mm r 2＝m 4π2
T
2r 可知，行星环绕太阳运行的周期与行星到太阳的距离的二分
之三次方成正比，即T ∝r 3
2
所以地球与火星绕太阳运行的周期之比为： T 火T 地＝(r 火r 地)32＝(32)3
2
＝1.85 (3分) 设从上一次火星、地球处于距离最近的位置到再一次处于距离最近的位置，火星公转的圆心角为θ，则地球公转的圆心角必为2π＋θ，它们公转的圆心角与它们运行的周期之间应
有此关系：θ＝2πt T 火，θ＋2π＝2πt
T 地 (3分)
得：2π＋2πt T 火＝2πt
T 地
(2分)
最后得：t ＝T 火T 地T 火－T 地
＝1.85
0.85T 地≈2.2年 (2分)
[答案] 2.2
5、如右图所示，一足够长的矩形区域abcd 内，有磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场。

现从矩形区域ab 边的中点O 处垂直磁场射入一速度方向与ad 边夹角为30º、大小为v 的带电粒子。

已知带电粒子的质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，重力影响忽略。

试求粒子能从ab 边射出磁场的v 的范围。

解析 如图所示，作出O 点v 的垂线，速
度大小不同的粒子所作圆周运动的圆心都在这条直线上。

① 粒子速度最大时运动轨迹与cd 相切，由图
中可知
L R =1，1211R v m B qv =，得 m
B q L m B q R v ==1
1 ② 粒子速度最小时运动轨迹与ab 相切，可知32L
R =，22
22R v m B qv =，得 m
BqL m BqR v 322=
= 粒子能从ab 边射出磁场的v 的范围是
m
BqL
v m BqL <
<3
●例1 如图3－5 所示，两个3
4
圆弧轨道固定在水平地面上，半径R 相同，A 轨道由金
属凹槽制成，B 轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A 和B 由静止释放，小球距离地面的高度分别用h A 和h B 表示，则下列说法正确的是(
)
图3－5
A ．若h A ＝h
B ≥2R ，则两小球都能沿轨道运动到最高点
B ．若h A ＝h B ＝3R 2，由于机械能守恒，两个小球沿轨道上升的最大高度均为3R
2
C ．适当调整h A 和h B ，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D ．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A 小球的最小高度为5R
2
，B 小球在h B >2R
的任何高度均可
【解析】当h B ＝2R 时，B 小球能沿圆管运动到达最高点，且由机械能守恒定律知到达最高点时速度减为零，故当h A ＝2R 时，A 小球到达最高点前已离开圆弧轨道；同理，当h A
＝h B ＝32R 时，B 小球能恰好上升至32R ，A 小球上升至3R
2
前已离开圆弧，故选项A 、B 错误．
要使小球从轨道最高点飞出后恰好落在轨道右端口，在最高点的初速度应为v 0＝
R
2R g
＝Rg 2
又因为A 小球沿凹槽到达最高点的条件为m v 2
R ≥mg ，即v ≥gR ，故A 小球不可能从轨
道最高点飞出后恰好落在轨道右端口处．
又由机械能守恒定律，A 小球能到达凹槽轨道高点的条件为：
mgh a ≥mg ·2R ＋1
2
m (gR )2
得h a ≥5
2
R ．故选项C 错误、D 正确．
[答案] D
【点评】除了天体问题和带电粒子在匀强磁场中运动外，竖直方向的圆周运动问题是较常出现的题型．本例题较典型地包含这类问题中的动力学关系和动能关系． 二、天体质量、密度及表面重力加速度的计算
1．星体表面的重力加速度：g ＝G M
R
2
2．天体质量常用的计算公式：M ＝r v 2G ＝4π2r 3
GT
2
●例2 假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星．已知该卫星贴着火星表面运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为T ，引力常量为G ，那么( )
A ．可以计算火星的质量
B ．可以计算火星表面的引力加速度
C ．可以计算火星的密度
D ．可以计算火星的半径
【解析】卫星绕火星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有：G Mm r 2＝m 4π2
T
2r
而火星的质量M ＝ρ4
3
πr 3
联立解得：火星的密度ρ＝3π
GT
2
由M ＝4π2r 3GT 2，g ＝G M r 2＝4π
2T 2r 知，不能确定火星的质量、半径和其的表面引力加速度，
所以C 正确．
[答案] C
【点评】历年的高考中都常见到关于星体质量(或密度)、重力加速度的计算试题，如2009年高考全国理综卷Ⅰ第19题，江苏物理卷第3题，2008年高考上海物理卷1(A)等． ★同类拓展1 我国探月的嫦娥工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为l 的单摆做小振幅振动的周期为T ，将月球视为密度均匀、半径为r 的球体，则月球的密度为( )
A ．3πGT 2
B ．3πl GrT 2
C ．16πl 3GrT 2
D ．3πl 16GrT 2
【解析】设月球表面附近的重力加速度为g 0． 有：T ＝2π
l
g 0
又由g 0＝G M r 2，ρ＝3M
4πr 3
可解得ρ＝3πl
GrT 2
．
[答案] B
三、行星、卫星的动力学问题
不同轨道的行星(卫星)的速度、周期、角速度的关系在“要点归纳”中已有总结，关于这类问题还需特别注意分析清楚卫星的变轨过程及变轨前后的速度、周期及向心加速度的关系．
●例3 2008年9月25日到28日，我国成功发射了神舟七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是[2009年高考·山东理综卷]( )
A ．飞船变轨前后的机械能相等
B ．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C ．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D ．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
【解析】飞船点火变轨，反冲力对飞船做正功，飞船的机械能不守恒，A 错误．飞船在圆形轨道上绕行时，航天员(包括飞船及其他物品)受到的万有引力恰好提供所需的向心力，
处于完全失重状态，B 正确．神舟七号的运行高度远低于同步卫星，由ω2∝1
r 3知，C 正确．由
牛顿第二定律a ＝F 引m ＝G M
r
2知，变轨前后过同一点的加速度相等．
[答案] BC
【点评】对于这类卫星变轨的问题，特别要注意比较加速度时不能根据运动学公式a ＝v 2r ＝ω2r ，因为变轨前后卫星在同一点的速度、轨道半径均变化，一般要通过决定式a ＝F m 来比较．
四、星体、航天问题中涉及的一些功能关系
1．质量相同的绕地做圆周运动的卫星，在越高的轨道动能E k ＝12m v 2＝G Mm
2r
越小，引力
势能越大，总机械能越大．
2．若假设距某星球无穷远的引力势能为零，则距它r 处卫星的引力势能E p ＝－G Mm
r
(不
需推导和记忆)．在星球表面处发射物体能逃逸的初动能为E k ≥|E p |＝G Mm
R
．
●例4 2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A *
”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A *做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A *就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运动周期为15.2年．
(1)若将S2星的运行轨道视为半径r ＝9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A *
的质量M A 是太阳质量M S 的多少倍．(结果保留一位有效数字)
(2)黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚．由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有的势
能为E p ＝－G Mm
R
(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M 、R 分别表示黑洞的质量
和半径．已知引力常量G ＝6.7×10－
11 N·m 2 /kg 2，光速c ＝3.0×108 m/s ，太阳质量M S ＝2.0×1030 kg ，太阳半径R S ＝7.0×108 m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A *的半径R A 与太阳半径R S 之比应小于多少．(结果按四舍五入保留整数)
[2009年高考·天津理综卷]
【解析】(1)S2星绕人马座A *做圆周运动的向心力由人马座A *对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m S2，角速度为ω，周期为T ，则有： G M A m S2
r 2＝m S2ω2r
ω＝2πT
设地球质量为m E ，公转轨道半径为r E ，周期为T E ，则： G M S m E r E 2＝m E (2πT E
)2r E 综合上述三式得：M A M S ＝(r r E )3(T E
T )2
上式中T E ＝1年，r E ＝1天文单位
代入数据可得：M A
M S
＝4×106．
(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远处，此时粒子的势能为零．“处于黑洞表面
的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零．根据能量守恒定律可知，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有：
12mc 2－G Mm R
＜0 依题意可知：R ＝R A ，M ＝M A
可得：R A ＜2GM A
c 2
代入数据得：R A ＜1.2×1010 m 故R A
R S
＜17． [答案] (1)4×106 (2)R A
R S
<17
【点评】①“黑洞”问题在高考中时有出现，关键要理解好其“不能逃逸”的动能定理方程：12mc 2－G Mm R
<0．
②E p ＝－G Mm
R 是假定离星球无穷远的物体与星球共有的引力势能为零时，物体在其他
位置(与星球共有)的引力势能，同样有引力做的功等于引力势能的减少．
心加速度逐渐增大，又由于轨道变化的缓慢性，即在很短时间可当做匀速圆周运动，由
G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2
r ＝m 4π2T 2r 知，其线速度逐渐增大，动能增大，由此可知飞船动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，由空气阻力做负功知机械能逐渐减少． 五、双星问题
●例5 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G )
[2008年高考·宁夏理综卷]
【解析】设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有：
ω1＝ω2 r 1＋r 2＝r
根据万有引力定律和牛顿定律，有： G m 1m 2
r 2＝m 1r 1ω12 G m 1m 2
r
2＝m 2r 2ω22 联立解得：r 1＝m 2r
m 1＋m 2
根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝2π
T
联立解得：m 1＋m 2＝4π2r
3T 2G
．
[答案] 4π2r
3T 2G
【点评】在双星系统中，当其中一星体质量远远大于另一星体时，它们的共同圆心就在大质量星球内部且趋近于球心．
经典考题
1．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是
地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运行的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10
－
11
N·m 2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约为[2009年高考·全国理综卷Ⅰ]( ) A ．1.8×103 kg/m 3 B ．5.6×103 kg/m 3 C ．1.1×104 kg/m 3 D ．2.9×104 kg/m 3
【解析】由G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，ρ＝3M 4πR 3可得，地球密度ρ＝3π
GT 2
，再由质量和体积关系得该行星的密度ρ′＝2.9×104 kg/m 3． [答案] D
2．2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km 处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运行的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是[2009年高考·安徽理综卷Ⅰ]( )
A ．甲的运行周期一定比乙的长
B ．甲距地面的高度一定比乙的高
C ．甲的向心力一定比乙的小
D ．甲的加速度一定比乙的大
【解析】由v ＝GM
r
可知，甲碎片的速率大，轨道半径小，故B 错误；由公式T ＝
2πR 3
GM
可知，甲的周期小，故A 错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，
故C 错误；碎片的加速度是指引力加速度，由G Mm R 2＝ma ，可得a ＝GM
R 2，甲的加速度比乙
大，D 正确．
[答案] D
【点评】高考对星体航天问题的考查以圆周运动的动力学方程为主，具体常涉及求密度值、同步卫星的参量、变轨的能量变化等．在具体解题时要注意运用好几个常用的代换． 4．我国发射的嫦娥一号探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化，卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R 和R 1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和r 1，月球绕地球转动的周期为T ．假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间．(用M 、m 、R 、R 1、r 、r 1和T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)．[2008年高考·全国理综卷Ⅱ]
【解析】如图所示，设O 和O ′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A 是地月连心线OO ′与地月球表面的公切线ACD 的交点，D 、C 和B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点．过A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E 点．卫星在圆弧BE 上运动时发出的信号被遮挡．
设探月卫星的质量为m 0，引力常量为G ，根据万有引力定律有： G Mm r 2＝m (2πT )2r G mm 0r 12＝m 0(2π
T 1
)2r 1(其中T 1表示探月卫星绕月球转动的周期) 由以上两式可得：(T 1T )2＝M m (r 1
r
)3
设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，有： t T 1＝α－β
π，其中α＝∠CO ′A ，β＝∠CO ′B 由几何关系得：r cos α＝R －R 1，r 1cos β＝R 1 联立解得：t ＝
T πMr 13mr 3(arccos R －R 1r －arccos R 1
r 1
)． [答案]
T
π
Mr 13mr 3(arccos R －R 1r －arccos R 1
r 1
) 【点评】航体星体问题有时在高考中也以计算题出现，解答的关键仍是做圆周运动的动力学方程．另外，还需要同学们具有丰富的想象力，描绘情境图、难图化易、化整为零等能力．
能力演练
一、选择题(10×4分)
1．在越野赛车时，一辆赛车在水平公路上减速转弯，从俯视图可以看到，赛车沿圆周由P 向Q 行驶．下列图中画出了赛车转弯时所受合力的四种方式，其中正确的是( )
【解析】将F 向切向和径向分解，切向分力使其减速，径向的分力产生向心加速度，故D 正确．
[答案] D
2．备受关注的京沪高速铁路预计在2010年投入运营．按照设计，乘高速列车从北京到上海只需4个多小时，由于高速列车的速度快，对轨道、轨基的抗震动和抗冲击力的要求都很高．如图所示，列车转弯可以看成是做匀速圆周运动，若某弯道的半径为R ，列车设计时速为v ，则该弯道处铁轨内外轨的设计倾角θ应为( )
A ．arctan v 2Rg
B ．arcsin v
2
Rg
C ．arccot v 2Rg
D ．arccos v 2
Rg
【解析】设计的倾角θ应使列车过弯道时重力与支持力的合力提供向心力：mg tan θ＝
m v 2R ，解得：θ＝arctan v 2
Rg ． [答案] A
5．假设太阳系中天体的密度不变，天体的直径和天体之间的距离都缩小到原来的 1
2
，
地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( )
A ．地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的 1
2
B ．地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的 1
16
C ．地球绕太阳公转的周期与缩小前的相同
D ．地球绕太阳公转的周期变为缩小前的 1
2
【解析】天体的质量M ＝ρ43πR 3，各天体质量变为M ′＝1
8
M ，变化后的向心力F ′＝
G 164Mm (r 2
)2＝116F ，B 正确．又由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ′＝T ．
[答案] BC 6．假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200 km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400 km ，地球同步卫星距地面高为36000 km ，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时．宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )
A ．4次
B ．6次
C ．7次
D ．8次
【解析】设宇宙飞船的周期为T 有： T 2
242＝(6400＋42006400＋36000)3 解得：T ＝3 h
设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t 1，有： (2πT －2πT 0)·t 1
＝π 解得t 1＝12
7 h
再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t 2，有：
(2πT －2πT 0)·t 2
＝2π 解得：t 2＝24
7
h
由n ＝24－t 1
t 2
＝6.5(次)知，接收站接收信号的次数为7次．
[答案] C
8．均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星够实现除地球南北极等少数地区外的全球通信．已知地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，地球的自转周期为T ．下列关于三颗同步卫星中，任意两颗卫星间距离s 的表达式中，正确的是( )
A ．3R
B ．23R
C ．3
3
4π2
gR 2T 2 D ．33gR 2T 24π2
【解析】设同步卫星的轨道半径为r ，则由万有引力提供向心力可得：G Mm r 2＝m 4π2
T 2r
解得：r ＝3gR 2T 2
4π2
由题意知，三颗同步卫星对称地分布在半径为r 的圆周上，故s ＝2r cos 30°＝33gR 2T 2
4π2
，
选项D 正确．
[答案] D
9．发射通信卫星的常用方法是，先用火箭将卫星送入一近地椭圆轨道运行；然后再适时开动星载火箭，将其送上与地球自转同步运行的轨道．则( )
A ．变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，动能增大
B ．变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，动能减小
C ．变轨后卫星运行速度一定比变轨前卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度要大
D ．变轨后卫星运行速度一定比变轨前卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度要小
【解析】火箭是在椭圆轨道的远地点加速进入同步运行轨道的，故动能增大，机械能增大，A 正确．
设卫星在同步轨道上的速度为v 1，在椭圆轨道的近地点的速度为v 2，再设椭圆轨道近地点所在的圆形轨道的卫星的速度为v 3．
由G Mm
r 2＝m v 2r ，知v 3>v 1；又由向心力与万有引力的关系知v 2>v 3．故v 1<v 2．选项C 错
误，D 正确． [答案] AD
16．(13分)如图所示，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为q (q ＞0)、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ′．球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直
方向的夹角为θ(0＜θ＜π
2
)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度B 的最小值及小
球P 相应的速率．(已知重力加速度为g )
【解析】据题意可知，小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O ′．P 受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力F N 和磁场的洛伦兹力f 洛，则：。