平行四边形与特殊的平行四边形及梯形

专题复习：平行四边形与特殊的平行四边形
一、知识梳理
1.平行四边形性质定理与判定定理
（1）性质定理：
边：两组对边分别相等，两组对边分别平行；
角：两组对角分别相等；
对角线：互相平分.
（2）判定定理:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.矩形的性质定理和判定定理
（1）性质定理：
角：矩形的四个角都是直角;
对角线：矩形的对角线互相平分且相等.
（2）判定定理:
有三个角是直角的平行四边形是矩形;
有一个角是直角的平行四边形是矩形;
对角线相等的平行四边形是矩形.
3.菱形的性质定理和判定定理
（1）性质定理:
边：菱形的四条边都相等;
对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （2）判定定理:
四边都相等的四边形是菱形;
有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
4.正方形的性质定理和判定定理
（1）性质定理: 边：正方形四边都相等; 角：正方形四个角都是直角;
对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角. （2）判定定理:
有一组邻边相等的矩形是正方形; 有一个角是直角的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形.
二、课堂精讲例题
（一）平行四边形的性质
例题1.平行四边形一边长为 10 ,则它的两条对角线可以是( )
A 、6 ,8
B 、8, 12
C 、8, 14
D 、6, 14
（二）平行四边形的判定
例题2 如图：在平行四边形 ABCD 中，E,F 是对角线AC 上的两个点；
G,H 是对角线B,D 上的两点.已知AE=CF,DG=BH 求证：四边形EHFG 是平行四边形.
课堂训练：1、 如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F.
求证：四边形AECF 是平行四边形.
O H
G
F
E
D
C
B A
2、在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE=CF ；
（2）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．
（三）平行四边形与动点
例题3 已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边
形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标．
课堂练习：1.如图，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，动点M
从点D 出发，按折线DCBAD 方向以2cm/s 的速度运动，动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以1cm/s 的速度运动． （1）若动点M 、N 同时出发，经过几秒钟两点相遇？
（2）若点E 在线段BC 上，且BE ＝3cm ，若动点M 、N 同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形？
N
M
D C
B
A
2.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD =12cm ，AC =6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动．
（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗？为什么？
（二）菱形
例1、如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sinA= 3/5，则下列正确的个数有（ ）
①DE=3cm ；②BE=1cm ；③菱形的面积为15cm2；④BD=2 cm ． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
2、如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．50°
D ．55°
3、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F .（1）求证：AM =DM ； （2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．
第21题图
A B
C
D
E
F
M
A D
E P C
B
F
矩形．(课堂例题)
例1、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点'
B 处，点A 落在点'
A 处.（1）求证：'
B E BF =；
（2）若4,10,A B BC F
==恰好是BC 的中点时，求AE 的长.
课堂练习
1、如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．
2、如图所示，在矩形ABCD 中，12AB AC =，=20，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形
1121O B B C ……依次类推．
（1）求矩形ABCD 的面积；
（2）求第1个平行四边形1OBB C 、第2个平行四边形111A B C C 和第6个平行四边形的
面积．
3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM.
（1）当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
3 时，求正方形的边长.
（3）当AM＋BM＋CM的最小值为1
正方形(课堂精讲习题)：
1、如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA7恰好与6)0相切于点A′(△EF A′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长F A′交CD边于点G，则A′G的长是
2、如图，A、B、C三点在同一条直线上AB=2BC，分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.. 求证：FN=EC
3、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

4 (10日照)如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（课本变形） （1）证明：∠BAE =∠FEC ；
（2）证明：△AGE ≌△ECF ； （3）求△AEF 的面积．
5.（2011山东枣庄）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=6，DE ⊥DC
交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ． （1）证明：EF=CF ； （2）当tan ADE ∠=
3
1
时，求EF 的长．
6.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是BC 的中点。

（1）求证：⊿MDC 是等边三角形
（2）将⊿MDC 绕点M 旋转，当MD （即MD ′）与AB 交于一点E ，MC 即MC ′）
同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成⊿AEF ，试探究⊿AEF 的周长是否存在最小值。

如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF 周长的最小值。

梯形
考点一：梯形的基本概念和性质
例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= ．
考点二：等腰梯形的性质
例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）
A．25 B．50 C．25 2D．302 4
3．（2012•丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是；
（2）若射线EF经过点C，则AE的长是．。