2018-2019学年四川省成都七中高二下学期入学数学(文科)试题 解析版

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四川省成都七中2018-2019学年高二（下)入学数学（文科)
试题
一、单选题
1．抛物线4y x =的准线方程是 A.1x =- B.1x = C.2x =- D.2x = 【答案】A 【解析】
试题分析：抛物线2
4y x =的准线方程是12
p
x =-=- 考点：抛物线的基本性质
2．双曲线的焦距为 A ．4 B ．8
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
利用双曲线的标准方程及其性质即可得出． 【详解】
由双曲线，可得，故其焦距．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题． 3．过点的直线中被圆
截得的弦长最大的直线方程是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意直线经过圆心时弦长最大，由此能求出结果． 【详解】
∵过点的直线中被圆
截得的弦长最大的直线方程经过圆心，
其直线方程为过点和圆心的直线，
∴其方程为：，
整理，得．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．
4．已知，直线与圆相切，则是的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件.
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
当时，直线与圆相切成立，而当直线与圆
相切时，，所以不一定成立，所以是的充分不必要条件。

5．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知
A．＜，＜B．＞，＜
C．＜，＞D．＞，＞
【答案】B
【解析】
【分析】
根据茎叶图中数据的分布可得，班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，从而可得结果. 【详解】
班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，故；相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故
，故选B.
【点睛】
平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.
6．某高中在校学生2000人为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：
其中a：b：：3：5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取
A．6人B．12人C．18人D．24人
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得参与跑步的总人数，再乘以抽样比例，得出样本中参与跑步的人数，再根据高二的比例求得结果．
【详解】
根据题意可知样本中参与跑步的人数为人，所以高二年级参与跑步的学生
中应抽取的人数为人．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了分层抽样的概念及各层抽样比的计算问题，考查了分析问题、解决问题的能力，属于基础题． 7．在区间上随机取一个数x ，则事件“
”发生的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】 由条件得：，再由几何概型中的线段型得解． 【详解】 解不等式，
得：
，
由几何概型中的线段型可得： 事件“”发生的概率为
，
故选：C ． 【点睛】
本题考查了正弦函数图象性质的应用及几何概型中的线段型，属于简单题． 8．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和
两个空白
框中，可以分别填入( )
A ．1000A >和1n n =+
B ．1000A >和2n n =+
C ．1000A ≤和1n n =+
D ．1000A ≤和2n n =+ 【答案】D
【解析】由题意，因为321000n n ->，且框图中在“否”时输出，所以判定框
内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D.
点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.
9．双曲线的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行于双曲线的一条渐近线
的直线l ，则点A 到直线l 的距离为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
求得双曲线的a ，b ，c ，求得A ，F 的坐标和渐近线方程，设出过F 于渐近线平行的直线，运用点到直线的距离公式，可得所求值． 【详解】
由双曲线得：，，，
可得
，
，
双曲线的渐近线方程为，
可设过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线l 为，
即
，
则A 到直线l 的距离为．
故选：B ． 【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
10．已知椭圆的左焦点为，有一质点A从处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射无论经过几次反射速率始终保持不变，若质点第一次回到时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用椭圆的性质可得，由此即可求得椭圆的离心率．
【详解】
假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
球从沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是
；
球从沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到路程是
；
球从沿x轴斜向上或向下运动，碰到椭圆上的点A，
反弹后经过椭圆的另一个焦点，再弹到椭圆上一点B，
经反弹后经过点，此时小球经过的路程是4a．
综上所述，从点沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点时，
小球经过的最大路程是4a，最小路程是．
由题意可得，即，得．
椭圆的离心率为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了椭圆的定义及其性质，考查了椭圆的光学性质及应用，考查了分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的几何性质，求得的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给
等式转化为的形式.根据余弦函数的单调性可以求得的最大值.
【详解】
由题意得，准线，，，过作，垂足为，则由抛物线定义可知
，于是，在上为减函数，
当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），计算可得直线的斜率为，从而
，,故选C.
【点睛】
本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.
12．已知椭圆，圆在第一象限有公共点，设圆在点处的切
线斜率为，椭圆在点处的切线斜率为，则的取值范围为（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合两个曲线在第一象限有公共点，建立不等关系，设出公共点P坐标，用坐标计算
，相比，计算范围，即可。

【详解】
因为椭圆和圆在第一象限有公共点，所以，解得
.设椭圆和圆在第一象限的公共点，则椭圆
在点处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，所以
，，所以，故选D.
【点睛】
本题以椭圆为背景，考查圆和椭圆的相关知识，考查化简求解能力，考查数学运算素养，本道题考查了圆与椭圆的性质以及过曲线一点计算切线斜率问题，属于中档题。

第II卷（非选择题)
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二、填空题
13．若椭圆的焦点分别是，，点P是C上任意一点，则
______．
【答案】12
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义即可得出．
【详解】
椭圆的焦点分别是，，点P是C上任意一点，
．
则．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为______米
【答案】
【解析】
【分析】
先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把代入抛物线方程求得，进而得到答案．
【详解】
如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为，
将代入，
得
，代入得，
故水面宽为
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的应用，考查了利用抛物线解决实际问题的能力，属于基础题．15．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线
的焦点相同，则此双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得双曲线的渐近线方程，可得，求得抛物线的焦点，可得，解方程可得a，b，即可得到双曲线的方程．
【详解】
双曲线的渐近线方程为，
由题意可得，
抛物线的焦点为，
可得，
解得，，
则双曲线的方程为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16．已知直线l过椭圆C：的左焦点F且交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点若，过点O作直线AB的垂线，垂足为H，则点H为______．
【答案】，或
【解析】
【分析】
对直线l的斜率分类讨论，可得直线l的方程，与椭圆方程联立，利用数量积运算性质可得直线l的斜率，进而得出答案．
【详解】
由椭圆C：，可得，
若直线l无斜率，直线l方程为，此时，，
∴，不符合题意．
若直线l有斜率，设直线l的方程为，
联立方程组，消元得：，
设，，则，，
，
，
，
∴，
化为：．
解得．
∴直线l的方程为，或，
经过O且与直线l垂直的直线方程为：
联立，．
解得，或．
故答案为：，或．
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积的运算，考查了分类讨论方法及计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．命题p：方程表示椭圆；命题q：双曲线C：的虚轴长大于实轴长．
当简单命题p为真命题时，求实数m的取值范围；
当复合命题“”为真命题时，求实数m的取值范围．
【答案】（1）且；（2）且
【解析】
【分析】
根据椭圆方程的特点进行求解即可；
求出命题p，q为真命题的等价条件，取交集进行求解即可.
【详解】
若p是真命题，则，得，得且，
即实数m的取值范围是且．
当q是真命题时，，得，
若“”为真命题，则p，q同时为真命题，即，
得且
【点睛】
本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．
18．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点求：
被抛物线截得的弦长；
线段AB的中点到直线的距离．
【答案】（1）16；（2）8
【解析】
【分析】
由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，由直线的倾斜角及过抛物线的焦点，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得，，由弦长公式可求
；
由中点坐标公式求得线段AB的中点坐标，结合抛物线的定义，即可求得所求距离．【详解】
抛物线，焦点为，，
∴直线l方程为，
直线AB即为，
设，，
：整理得：
由韦达定理可知：，，
弦长，
被抛物线截得的弦长；
（2）中点满足：，，
∴AB的中点为，
到直线，即到抛物线的准线的距离为
∴线段AB的中点到直线的距离为8．
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，弦长公式及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
19．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些据四川电视台“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：
就诊人数
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；
若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
参考公式：，
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
根据数据求出，以及，的值，即可求出y关于x的线性回归方程；
分别计算出1月份和6月份对应的预测值，和22作差，进行比较即可得到结论．【详解】
由表中2月至5月份的数据，
得，，
故有，
，
由参考公式得，由得，
∴y关于x的线性回归方程．
由1月份数据得当时，．
，
由6月份数据得当时，．
，
则该小组所得线性回归方程是理想的．
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求解，根据条件求出，以及，的值是解决本题的关键考查学生的运算能力．
20．已知圆C：，点P坐标为，过点P作圆C的切线，切点为A，B．
求直线PA，PB的方程；
求过P点的圆的切线长；
求直线AB的方程．
【答案】（1）或；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）设过点P的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求其斜率即可（2）在△
中利用勾股定理求PA的长（3）利用AB与PC垂直的性质求出其斜率，由点斜式写出直线方程.
【详解】
(1).由已知得过点的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为,即.
则圆心到直线的距离为,
即,
∴,∴或.
∴所求直线的切线方程为或,
即或.
(2).在△中,
∵,,
∴,
∴,
∴过点的圆的切线长为.
(3).直线的方程为.
【点睛】
本题考查直线与圆相切的性质，以及切线的相关平面几何性质，属于中档题.解决此类
问题要注意对初中学习的圆的平面几何性质灵活使用.
21．某电视台为了宣传本区，随机对本区内岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：
分别求出n，a，b，x，y的值．
根据频率分布直方图估计这组数据的中位数保留小数点后两位和平均数．
若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知
，由此可求出a，b，x，y．
设中位数为x，由频率分布直方图可知，且有
，得，由此能估计这组数据的中位数和平均数．
第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分
别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率．【详解】
由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为，
再结合频率分布直方图可知，
，
，
，
，
设中位数为x，由频率分布直方图可知，
且有，
解得，
∴估计这组数据的中位数为，
估计这组数据的平均数为：
，
由知，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，
男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，
共有：，，，，，，，，，个基本事件，
记“至少抽中一名女性”为事件A，
共有，，，，，，个基本事件，
∴至少抽中一名女性的概率．
【点睛】
本题考查了中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，涉及列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22．已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为.（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的内切圆半径为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．
试题解析：（Ⅰ）由，所以，
将点的坐标代入椭圆方程得，
故所求椭圆方程为；
（Ⅱ）设直线的方程为,代入椭圆方程得，显然判别式大于0恒成立，设，的内切圆半径为，则有
，，
所以
而
所以解得,
因为所求圆与直线相切，所以半径=，
所以所求圆的方程为.
考点：本题主要考查：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.。