复变函数单元测题集

第一章 复数与复变函数 测试题1
一、单项选择：
1、),1(2
2
i z -=
则150100++z z 的值（ ）。

A 、i - B 、i C 、1 D 、1- 2、设复数z 满足,3
)2arg(π
=
+z ,6
5)2arg(π
=
-z 那么=z （ ） A 、i 31+- B 、i +-3 C 、i 2321+-
D 、i 2
123+- 3、集合},10{<<=z z D 则D 是（ ）
A 、无界域
B 、多连域
C 、单连域
D 、闭区域
4、下列方程所表示的曲线中，（ ）是椭圆
A 、522=++-z z
B 、
21
1
=+-z z C 、1Re =+z z D 、2Re 2=z 5、=--→0
Im Im lim
z z z z z
z （ ）
A 、i
B 、i -
C 、0
D 、不存在
二、填空题
1、 设2
512
)
42()1)(23(i i i i z +++=，则=z 。

2、 已知方程i y i x i 31)53()21(-=-++，则=x =y 。

3、 已知i
z 312+-=
，则z 的辐角主值是 。

4、 满足不等式210<++<i z 的集合是 。

5、 映射z
i
+=
1ω将圆周422=+y x 映成ω平面上 。

三、求满足下列条件的点的存在范围
1、1Im 2
≤z 2、411<++-z z
四、求复数)1(11≠-+=
z z
z
ω的实部、虚部和模。

五、若θcos 21
=+-z z ，求证θn z z n n cos 2=+- 。

第一章 复数与复变函数 测试题2
一、单项选择：
1、当n 为3的倍数时，复数1
1[(1)][(12
2
n
n
z =-+-的值（ ）。

A 、1-
B 、1
C 、2-
D 、2 2、已知8
1(
)1i z i
-=+则663322z z +-的值为（ ） A 、i - B 、1 C 、i D 、1-
3、方程2
Re 1z =所代表的曲线是（ ）
A 、圆周
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、抛物线
4、下列函数中，都有(0)0f =。

则（ ）在原点不连续。

A 、Re ()1z f z z =+
B 、2
[Re ]()z f z z = C 、22Re ()z f z z = D 、222
[Re ]()z f z z
= 5、已知方程32
10z z z -+-=，（ ）不是它的根。

A 、i
B 、1-
C 、1
D 、i -
二、填空题
1、 设55
(1)1
(1)1
i z i --=++，则其实部为 虚部为 。

2、 一个复数对应的向量按逆针方向旋转
23
π
时对应的复数为1i +，则原复数 是 。

3、
设1z =
，2z i =，则12z z 的指数形式为 ，12z z 的指数
形式为 。

4、 21
22
lim
1
z zz z z z →+--=-。

5、 映射z
i +=
1ω将圆周42
2=+y x 映成ω平面上 。

三、已知,,,a b c d 为实数，试求二次方程2
()0x a ib x c id ++++=至少有一实根
的条件。

四、求复数)1(11≠-+=
z z
z
ω的实部、虚部和模。

五、在映射2
z ω=之下，z 平面上的双曲线22
4,6x y xy -==映射成ω平面上
的何种曲线？
六、若1,1,a b <<试证：
11a b
ab
-<-。

第二章解析函数 测试题1
一、判断题(每题2分,共10分)
1、若()z f 在0z 连续，则()0z f '存在； （ ）
2、若()y x u ,和()y x v ,偏导数存在，则()iv u z f +=可导； （ ）
3、设()iv u z f +=在区域D 内是解析的，若()z f 恒取实值，则()z f 在整个D 内是常数； （ ）
4、设()iv u z f +=在区域D 内是解析的，若()z f 在D 内解析，则()z f 在整个D 内是常数； （ ）
5、设()iv u z f +=在区域D 内是解析的，若c bv au =+，其中b a ,与c 为不全为零的实常数，则()z f 在整个D 内是常数； （ ） 二、选择题（每题3分，共18分）
1、函数()z f w =在0z 点可导是可微的（ ）。

（A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
2、设()()()y x iv y x u z f ,,+=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是()z f 在000iy x z +=点可微的（ ）。

（A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 3、若()2
2ix xy z f -=，则（ ）。

（A ）()z f 处处可微 ； （B ）()z f 处处不可导； （C ）()z f 仅在原点可导 ； （D ）()z f 仅在x 轴上可导。

4、若()z z f =，则函数()z f （ ）。

（A ）处处不可导 ； （B ）仅在原点可导； （C ）处处解析 ； （D ）仅在虚轴上可导。

5、若()y ix xy z f 2
2
+=，则()z f （ ）。

（A ）仅在直线x y =上可导 （B ）仅在直线x y -=上可导 （C ）仅在()0,0点解析 （D ）仅在()0,0点可导 6、若21
z z e e
=，则（ ）。

（A ）21z z = （B ）πk z z 221+=（k 为任意整数） （C ） i k z z π+=21（k 为整数） （D ）πik z z 221-=（k 为任意整数） 三、计算题（每题10分，共 50分）
1、研究函数()22iy x z f +=的可导性与解析性。

2、研究()()(
)
222222y xy x i cy bxy ax z f γβα+++++=的解析性，其中γβα,,,,,c b a 是实的常数。

3、设()(
)
⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+++-=0,00,2
23
333z z y
x y x i y x z f ,讨论()z f 在原点的可微性。

4、解方程0cos sin =+z z 。

5、设3z w =确定在从原点0=z 起沿正实轴割破了的z 平面上，并且()i i w -=，试求
()i w -的值。

四、证明题：（每题11分，共 22分） 1、设()2
1z z
z f -=
，试证：()()0Re >⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'z f z f z ，()1<z 。

2、如果()iv u z f +=是解析函数，证明()()()22
2
z f z f y z f x '=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂
+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂。

第二章解析函数 测试题(2)
一、判断题（每题2分，共10分）
1、若()0z f '存在，则()z f 在0z 解析； （ ）
2、设()iv u z f +=在区域D 内是解析的，若()z f 在D 内解析，则()z f 在整个D 内是常数； （ ）
3、z
z
e e =； （ ） 4、z sin 在复平面上有界； （ ） 5、2121Lnz Lnz z Lnz +=； （ ） 二、选择题（每题3分，共18分）
1、()z f 在000iy x z +=点可导的充分必要条件是（ ）。

（A ）在()00,y x 点，v u ,的偏导数存在，且满足C-R 条件； （B ）()z f 在()00,y x 点的一个邻域内可导； （C ）在()00,y x 点，v u ,可微，且满足C-R 条件；
（D ）在()00,y x 点，v u ,具有连续的偏导数，且满足C-R 条件； 2、若()y ix xy z f 22+=，则()z f （ ）。

（A ）仅在直线x y =上可导 （B ）仅在直线x y -=上可导 （C ）仅在()0,0点解析 （D ）仅在()0,0点可导
3、若()()
322333y y x i xy x z f -+-=，则关于()z f 的导数问题是（ ）。

（A ）()z f 在全平面解析 ，且()xy i y x z f 63322+-=' （B ）()z f 在全平面解析 ，且()xy i y x z f 63322--=' （C ）()z f 在全平面解析 ，且()xy i x y z f 63322+-=' （D ）()z f 仅在原点可导且()00='f 。

4、()1-Ln 和它的主值分别是（ ）。

（A ）()i k Ln π⎪⎭
⎫
⎝⎛
+
=-211，（k 为整数），主值()01ln =- （B ） ()()i k Ln π121-=-，（k 为整数），主值()i π=-1ln （C ）()()i k Ln π121-=-，（k 为整数），主值()i π-=-1ln （D ）()()11ln 1-+=-iArg Ln ，主值()i π=-1ln
5、若k 为整数，则方程0sin =z 的根是（ ）。

（A ） i k z π= （B ） πk z 2= （C ） πk z = （D ）i k z π2= 6、若421-=z w ，并规定()2
10i w -=
，则()=2w （ ）。

（A ） i 43- （B ）
i 4
3 （C ）
4
3 （D ）43-
三、计算题（每题10分，共 50分）
1、研究函数()2
3
3iy x z f -=的可导性与解析性。

2、设()()
2323lxy x i y nx my z f +++=解析，其中l n m ,,是实常数，求l n m ,,的值。

3、设()()()y x y y ie y y y x e z f x x sin cos sin cos ++-=，试求()z f '。

4、解方程i e z
31+=。

5、设3z w =确定在从原点0=z 起沿负实轴割破了的z 平面上，并且()11-=-w （这是边界上岸点对应的函数值），试求()i w 的值。

四、证明题：（每题11分，共 22分）
1、如果()iv u z f +=是解析函数，证明()()2
222224z f z f y x '=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂。

2、证明洛比达法则：若函数()z f 和()z g 在点0z 解析，且()()()0,0000≠'==z g z g z f ，则()()()()
000
lim
z g z f z g z f z z ''=
→。

第三章、复变函数的积分 测试题3
一、判断与填空：(每题2分,共20分)
1、设函数
)(z f 在区域D 解析，为C 内D 任一条闭简单曲线，则0)(=⎰C dz z f . 2、设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数。

3、若函数
)(z f 在区域D 解析，则积分与路径无关。

4、设
1|:|=z C ，则___)1(=-⎰C dz z 。

5、
___cos 1=⎰C dz z 。

6、若函数)(z f 在单连通区域
D 解析，为C 内D 任一条闭简单曲线，则
____)(=⎰
C
dz z f 。

7、
___=⎰C
z dz ze 。

8、设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则
___)(1=-⎰C n dz a z 。

9、设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则
___1
22=-⎰C dz a z 。

10、设函数)(z f 在区域D 解析，则它是任意阶可导的。

二、计算：(每题7分,共56分)
1、计算积分：
⎰-=i
i
z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的左半圆；
（2）单位圆的右半圆。

2、计算积分：
z z I L
d R
e ⎰=
在这里L 表示从1z 沿直线段到2z。

3、计算积分：
⎰=-2||4d 11
z z z 。

4、计算积分：
⎰=1||d z z z z
e 。

5、计算：
⎰=+2||22d z z z。

6、计算：
⎰=+1||22
d z z z 。

7、计算积分：
⎰=-+1||)2)(12(d z z z z
z 。

8、设⎰=-++=
3||2d 173)(ξζ
ζζζz z f ，求
)1('+i f 。

三、证明题：(每题6分,共24分)
1、通过计算
,...)2,1( ,d )1(1||2=+⎰=n z z
z z z n
证明
n
n n
2642)
12(5312d cos 20
2⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⎰
π
θθπ。

2、如果函数
)(z f 在00||r z z >-内解析，令)(r M 表示|)(|z f 在
00||r r z z >=-上的最大值，并且假定
0)(lim =+∞
→r M r
那么对任何
0r r >，
0d )(=⎰
r
K z z f
3、证明：
2|d )(|22≤+⎰C
z iy x ，C 为联-i 到i 的线段。

4、如果在
1||<z 内，)(z f 解析，并且
|
|11
|)(|z z f -≤，
证明
,...)2,1()!1()11()!1(|)0(|)
(=+<++≤n n e n
n f
n
n
第四章 解析函数的幂级数表示法 测试题4
一、判别下列函数是敛散性，若收敛，指出绝对收敛还是条件收敛。

1、∑∞
=⎪⎭⎫
⎝⎛+121n n i n ；2、∑∞
=13)sin(n n
in n ；3、∑∞=1n in n
e 。

二、填空题：
1、幂级数n
n n z n n ∑∞
=1!
的收敛半径 ；
2、幂级数()n
n n
n
z ∑∞
=-+1
211的收敛半径为 。

3、级数
∑∞
=+1
11
n n
a
当 时收敛，当 时发散；
4、函数1
22
+z z 在0=z 的幂级数展开式为 ；
5、0=z 是()24sin z z z f =的 级零点。

三、求幂级数
()()
1
31+∞
=-+∑n n z n 的收敛半径、收敛圆及和函数。

四、求函数()2
1
-=
z z f 在1-=z 的邻域的泰勒展式，并指出其收敛范围。

五、若()z f 为整函数，且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 与M ，使当R z >时，
()n
z M z f ≤。

试证明()z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

（2000年兰州大学数学系
《复变函数》考试题）
第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 测试题5
一、填空题 1、函数()z
e z
z f -=
11在+∞<-<10z 内的洛朗展式为 ； 2、()()z g z f ,分别以a z =为m 级极点及n 级极点，则a z =为()()z g z f ⋅ 级极点；对于()()z g z f ，当n m <时，a 是 级零点；当n m >时，a 是 级极点；当 时，a 是可去奇点。

二、求出下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点,要指出它们的级),对于无穷远点也要加以讨论.
(1)()()112
2+-+z z z z ; (2)()
()255sin --z z .
三、已知()2
312+-=z z z f ，求（1）在圆环域2>z 内将()z f 展成洛朗级数；（2）在圆环域120<-<z 内将()z f 展成洛朗级数。

四、将函数()321
+z z 在2,0-==z z 的去心邻域内展成罗朗级数，并指出其收敛范围。

五、问函数z
z 1sin 2
在0=z 的去心邻域内能否展为罗朗级数。

六、试证：在扩充z 平面上解析的函数()z f 必为常数（刘维尔定理）。

第四、五章、级数 测试题
一、判断与填空：（每题2分，共20分）
1、 若0)(,0)(0)(0==z f z f n ，则0z 为)(z f 的n 阶零点。

2、 若级数∑+∞=1
n n z
收敛，则∑+∞=1n n x 与∑+∞=1n n y 均收敛，其中n n n iy x z +=。

3、 若}{n x 与}{n y 至少一个不收敛，则}{n z 发散，其中n n n iy x z +=。

4、 若级数∑+∞=1n n z 与∑+∞=1n n w 至少一个发散，则
∑+∞=1n n n w z 发散。

5、 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则
D z z g z f ∈≡),()(。

6、
若函数)(z f 可以在0z 的某邻域内展开成幂级数，则)(z f 在点0z 解析。

7、 ∞=z 为z e 的____点。

8、 ∞=z 为z e 1
的____点。

9、 z
z sin 的孤立奇点为________。

10、 z e 1
的孤立奇点为________。

二、计算下列收敛半径：（每题5分，共15分）
1、求幂级数
∑+∞=0
2n n n z q ，其中1||<q 的收敛半径。

2、求幂级数∑+∞=0
n n p z n ，其中p 是一正数，的收敛半径。

3、求幂级数的∑+∞
=-+0
])1(3[n n n n z 收敛半径。

三、求解析函数z 2sin 在0=z 的泰勒展式。

（8分）
四、求下列解析函数的洛朗展式（每题7分，共21分）
1、求解析函数)
1(2+z z e z
在1||0<<z 内的洛朗展式。

2、求解析函数1
sin -z z 在1|1|0<-<z 内的洛朗展式。

3、求解析函数2+z z
e 在+∞<<||2z 内的洛朗展式。

五、问下列函数有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？（每题6分，共18分） （1）)4(12+-z z z ； （2）z cot ；（3）1
11
--z z e e ； 六、证明题：（每题6分，共18分）
1、设函数)(z f 在区域D 内解析。

证明：如果对某一点D z ∈0有
,...,2,1,0)(0)(==n z f n ，
那么)(z f 在区域D 内为常数。

2、设在
R z <||内解析的函数)(z f 有泰勒展式
......)(2110+++++=n n z z z z f αααα 试证：令|)(|max )(20θπ
θi re f r M ≤≤=，我们有 n n r
r M )(||≤α ， 在这里R r n <<=0,...;2,1,0。

3、设是
z 任一复数，证明||||||1|1|z z z e z e e ≤-≤-。

第六章、残数理论及其应用数 测试题6
一、判断与填空：(每题2分,共20分)
1、若0z 是
)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f 。

2、若0z
是)(z f 的一阶奇点，则)()(lim )),((Res 000z f z z z z f z z -=→。

3若)(z f 在+∞<<||0z 内解析，则)),((Res )0),((Res ∞-=z f z f 。

4、若0z
是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z 。

5、若0z 是)(z f 的本性奇点，则___)(lim 0
=→z f z z 。

6、____)0,sin (Res =z
z 。

7、____)0,(Res 1=e 。

8、____)0,(Res =n z
z
e 。

9、____)1,1(Res 4=-z
z 。

10、____)0,1(Res =-z
e z 。

二、计算下列留数：（每题7分，共28分）
1、 试求解析函数222)
1(+z z ，在i z ±=点的留数。

2、 试求解析函数z e -11，在i n z π2=，（n 为整数）点的留数。

3、 试求解析函数1
1sin -z ，在i z ±=点的留数。

4、 试求函数)3)(1(15--z z 在无穷远点的留数。

三、 计算下列积分：（每题9分，共36分）
1、⎰--C z z z z 2)2)(1(d ，其中C 是21|2|=-z 。

2、计算下列积分：⎰-C z z z z e )9(d 22，其中C 是1||=z 。

3、求积分： ⎰
∞++0222)1(x dx x 。

4、求积分：⎰+2/02sin πθ
θa d ，其中a>0。

三、证明（每题8分，共16分）
1、应用儒歇定理求方程0154=+-z z 在|z|<1内根的个数。

2、试用儒歇定理证明代数基本定理。

第七章 保形变换 测试题7
一、单项选择：
1、映射2
iz e ω=在z i =处的伸缩率为（ ）。

.1A .2B 1.C e - .D e
2、若函数ln(1)z ω=-构成的映射将z 平面上区域G 扩大，那么该区域G 是（ ）
1.12A z +< 1.12B z -< 1.2
C z > .11
D z -< 3、映射3z i z i ω-=
+在02z i =处的旋转角为（ ） .0A .2
B π .
C π .2
D π- 4、2i +关于圆周:3c z i -=的对称点为（ ）
9.2A i + 9.2B i - 9.2C 9.2
D i 5、将点0,1,z =∞分别映射1,,1i ω=--的分式线性映射为（ ）
1.1z A z ω+=- 121.z i z B e πω+-= .z i C z i -+
2.i z i D e z i
π-+ 6、分式线性映射22
z i z ω+=-将2z >映射（ ） .1A ω< .1B ω> .Im 0C ω> .Im 0D ω<
7、函数44z i z i
ω-=+将角形域0arg 4z π<<映射为（ ） .1A ω< .1B ω> .Im 0C ω> .Im 0D ω<
二、填空题
1、若函数()f z 在点0z 解析且0()0f z '≠，那么映射()f z ω=在0z 处具有 ;
2、将点2,,2z i =-，分别映射为点1,,1i ω=-的分式线性变换为
3、单位圆1z <映射为圆域11ω-<且满足(0)1,
(0)0ωω'=>的分式线性变换()z ω= 。

4、将单位圆1z <映射为圆域R ω<的分式线性变换的一般形式为 。

5、把上半平面Im()0z >映射为单位圆()1z ω<且满足1(1)0,(12)3
i i ωω+=+=的分式线性变换()z ω= 。

三、求映射2()(1)f z z ω==+的等伸缩率几等旋转角的轨迹方程 四、求在分式线性变换1()1
z z z ω+=- 下，下列图形的像。

1、1z < ；2、1Re 1,Im 0z z -≤≤=； 3、虚轴。

五、求将上半单位圆1,Im 0z z <>映射为单位圆外域1ω>的一个保形映射。

六、求将21z -<映为22i ω-<，且满足(2),arg (2)0f i f '==的分式线性映射 ().f z ω=。