【2020】最新高中数学第2章推理与证明2-2直接证明与间接证明2-2-2反证法学案新人教A版选修1-2
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从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故 ， ， 不成等差数列．
[规律方法]
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
[跟踪训练]
1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
【2020】最新高中数学第2章推理与证明2-2直接证明与间接证明2-2-2反证法学案新人教A版选修1-2
编 辑：__________________
时 间：__________________
2.2.2 反证法
学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
反证法的定义及证题的关键
思考1：反证法的实质是什么？
[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？
[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
【导学号：48662085】
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
C[假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]
提示：
量词
含义
至少有一个
有n个，其中n≥1
至多有一个
有0或1个
至少有n个
大于等于n个
2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗？
提示：
量词
反设词
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有n－1个
已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．
∴b1－b2＝0，则b1＝b2.
∴假设不成立，从而原命题得证．
[规律方法]巧用反证法证明唯一性命题
1当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.
[证明]假设AC⊥平面SOB，如图
∵直线SO在平面SOB内，
∴SO⊥AC.
∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.
∴SO⊥平面SAB.
∴平面SAB∥底面圆O.
这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．
用反证法证明唯一性命题
求证方程2x＝3有且只有一个根.
【导学号：48662084】
[证明]∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
5. 设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．
[证明]假设数列{Sn}是等比数列，则S ＝S1S3，
即a (1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾．
所以数列{Sn}不是等比数列．
[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：
⇒
这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．
母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？
若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
用反证法证明“至多”“至少”问题
[探究问题]
1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________.
【导学号：48662086】
③①②[根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．]
[基础自测]
1．思考辨析
(1)反证法属于间接证明问题的方法．(( )
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )
[答案](1)√ (2)× (3)√
2．“a<b”的反面应是( )
【导学号：48662082】
A．a≠bB．a>b
C．a＝bD．a＝b或a>b
2用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.
3证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.
[跟踪训练]
2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．
[解]若方程没有一个有实根，
则 解得
故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是
2．(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．
[解]假设三个方程都有实数根，则
即
解得 即a∈∅.
所以实数a的取值范围为实数R.
[规律方法]当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、
3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
b与c平行或相交[∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．]
4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.
提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A．有两个内角是钝角
[合 作 探 究·攻 重 难]
用反证法证明否定性命题
已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证： ， ， 不成等差数列.
【导学号：48662083】
[证明]假设 ， ， 成等差数列，则 ＋ ＝2 ，即a＋c＋2 ＝4b.
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ ，
∴a＋c＋2 ＝4 ，∴( － )2＝0，即 ＝ .
[答案]D
3．用反证法证明“如果a＞b，那么 > ”，假设的内容应是________．
[答案] ≤
4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
①②③[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]
故 ， ， 不成等差数列．
[规律方法]
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
[跟踪训练]
1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
【2020】最新高中数学第2章推理与证明2-2直接证明与间接证明2-2-2反证法学案新人教A版选修1-2
编 辑：__________________
时 间：__________________
2.2.2 反证法
学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
反证法的定义及证题的关键
思考1：反证法的实质是什么？
[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？
[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
【导学号：48662085】
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
C[假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]
提示：
量词
含义
至少有一个
有n个，其中n≥1
至多有一个
有0或1个
至少有n个
大于等于n个
2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗？
提示：
量词
反设词
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有n－1个
已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．
∴b1－b2＝0，则b1＝b2.
∴假设不成立，从而原命题得证．
[规律方法]巧用反证法证明唯一性命题
1当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.
[证明]假设AC⊥平面SOB，如图
∵直线SO在平面SOB内，
∴SO⊥AC.
∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.
∴SO⊥平面SAB.
∴平面SAB∥底面圆O.
这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．
用反证法证明唯一性命题
求证方程2x＝3有且只有一个根.
【导学号：48662084】
[证明]∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
5. 设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．
[证明]假设数列{Sn}是等比数列，则S ＝S1S3，
即a (1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾．
所以数列{Sn}不是等比数列．
[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：
⇒
这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．
母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？
若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
用反证法证明“至多”“至少”问题
[探究问题]
1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________.
【导学号：48662086】
③①②[根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．]
[基础自测]
1．思考辨析
(1)反证法属于间接证明问题的方法．(( )
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )
[答案](1)√ (2)× (3)√
2．“a<b”的反面应是( )
【导学号：48662082】
A．a≠bB．a>b
C．a＝bD．a＝b或a>b
2用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.
3证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.
[跟踪训练]
2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．
[解]若方程没有一个有实根，
则 解得
故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是
2．(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．
[解]假设三个方程都有实数根，则
即
解得 即a∈∅.
所以实数a的取值范围为实数R.
[规律方法]当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、
3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
b与c平行或相交[∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．]
4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.
提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A．有两个内角是钝角
[合 作 探 究·攻 重 难]
用反证法证明否定性命题
已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证： ， ， 不成等差数列.
【导学号：48662083】
[证明]假设 ， ， 成等差数列，则 ＋ ＝2 ，即a＋c＋2 ＝4b.
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ ，
∴a＋c＋2 ＝4 ，∴( － )2＝0，即 ＝ .
[答案]D
3．用反证法证明“如果a＞b，那么 > ”，假设的内容应是________．
[答案] ≤
4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
①②③[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]