置信区间(详细定义及计算)

即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 ˆ2 ˆ1
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的
条件下尽可能提高精度.
16
已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布 X ~ N (,1), 其中μ未知,现在抽取
25个样品做试验， 得数据后计算得
t
2
(n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
[X
S n
t
2
(n
1)]
19
为了调查某地旅游者的消费额为X， 随机访问了
40名旅游者。得平均消费额为 x 105 元，样本方差
s2 282 设 X ~ N (, 2 )求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。 0.05 解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
0.04
X
P{ z0.04 P{X


n
2 z0.01}
n
z0.01 X
0.95

n z0.04}


0.95
z0.04
0.01
z0.01
则μ的置信度为0.95的置信区间为


[ X n z0.01 , X n z0.04 ]
与上一个置信区间比较，同样是 1 0.95
[ X n t 2 (n 1)]
则所求μ的2 置信区间为 [1259 24.58 , 1259 24.58] 21
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位
kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验，由试验所得数据得
x 6720 s2 282 设钢索所能承受的张力X， X ~ N (, 2 ) 分别估计这批钢索所能承受的平均张力
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，特别是很多产品的 指标服从正态分布，我们重点研究一个正态总体情形
数学期望和方差 2的区间估计。 5
设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X ~ N (, 2 ) 的样本，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。 对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
2 2 ( X1, X 2,, X n )
(1 2 )
则称 [1,2 ] 为随机区间。
随机区间与常数区间 (a, b) 不同，其长度与在数轴上
的位置与样本 X1, X 2 ,, X n 有关。
当一旦获得样本值 x1 , x2 , xn 那么， 1( x1, x2 , xn ), 2 ( x1, x2 , xn ) 都是常数。
0.05. 115.
由样本值算得：
9
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：

2
[ X n z 2, X n z 2 ]
115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9 110.43 , 119.57
18
当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
22
已知总体 X ~ N (, 2 )
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间，这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
σ2差多少？容易看出把 S 2 看成随机变量，又能找到
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8


2
2


[ X n z 2 , X n z 2 ]
z
z
2
2
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
其置信度为 1－α。
置信下限
X


n
z
2
置信上限

X n z 2
[1,2 ] 为常数区间。
3
设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1 则称区间 [1,2 ]是 的置信水平（置信度）为 1
的置信区间.1 和2 分别称为置信下限和置信上限

2
其区间长度不一样，上例
2

n
z0.025
3.92 1 4
0.98
比此例
1
1
4 (z0.04 z0.01) 4.08 4 1.02
短。
14
第一个区间为优
（单峰对称的）。可见，像 N(0,1)分布那样概率密度
的图形是单峰且对称的情况。当n固定时以[ X


n
z
2]
的区间长度为最短，我们一般选择它。
已知 T X ~ t(n 1)
S2
n
则对给定的α，令 P{
X
S2
n
t (n 1)} 1
2
查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。
P{X
S n
t
2 (n
2
1)


X

S n
t
2
(n
1)}

1
则μ的置信度为1－ α的置信区间为
[X
S n


n
z 2 ] [105
5 1.96] 40
20
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 12500 12650 12450 12600 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解 设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个
正态随机变量 EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。由公式
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95. 注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N (, 2)的前提下提出的。
分布，都近似有
当 n 充分大时，无论X服从什么
Z X EX ~ N (0,1) DX n
中随机地抽查了9人，其高度分别为：
115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;
假设标准差 0 7，置信度为 95%；
试求总体均值 的置信区间。
解：已知 x 1 (115
0 7, n 9,
120 110 )
若以L为区间长度，则
L

2
n
z
2
可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值，可以得到不同的置信区间。
15
可见，对参数 作区间估计，就是要设法找出两个
只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
ˆ1 ˆ1( X1, X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 [ˆ1,ˆ2 ] 内.
这里有两个要求:
1. 要求 很大的可能被包含在区间 [ˆ1,ˆ2 ]内，
就是说，概率 P{ˆ1 ˆ2} 要尽可能大.
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96) 即 (x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。
[X


n
z 2 ,
X


n
z 2 ]
均可看作EX的置信区间。
12
设总体X ~ N(μ,0.09)， 有一组样本值：
12.6，13.4，12.8，13.2，
求参数μ的置信度为0.95的置信区间.
解
μ的置信区间为
[X
z
2
0
n
,
X
z
2
0 ]
n
有 1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
代入样本值算得 x 13, z z0.025 1.96
[13 1.96 0.3 , 13 1.96 0.3] 2
2
2
得到μ的一个区间估计为 [12.706，13.294].
注：该区间不一定包含μ. 13
0.05 可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。

S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2

(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)

2

2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)

(n 1)S 2
2


2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
P{
2
z } 1
2


n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{

n
z
2

X




n
z
2}
1
P{X


n
z 2

X


n
z 2} 1
这就是说随机区间


[ X n z 2 , X n z 2 ]
x 1250 1 [0 15 510 25] 1259
s2
1
5 [(1250
1259)2

(1275
1259)2 ]

570
5 1
4
s2 5

28.5 5.339
n 1 4 0.01
S
查表 t0.01 (4) t0.005(4) 4.6041
x

1 25
n k 1
xk

6
取 0.05 (1 0.95), 求μ的置信区间。
解 z z0.025 1.96 n 25 x 6
2
[x

n
z
2
]

[6

1 5
1.96]

[6

0.392]
所求为 [5.608, 6.392].
17
已知幼儿身高 X ~ N (, 2 ), 现从5～6岁的幼儿
（双侧置信区间）.
1 为置信度， 为显著水平.
4
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
例如，通常可取显著水平 0.025, 0.05, 0.1, 等. 即取置信水平 1 0.975 或 0.95，0.9 等.
根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间 ，使 [1,2 ]
第七章
置信区间的概念
一、置信区间的概念 二 、数学期望的置信区间 三 、方差的置信区间
1
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的
一个值去估计未知个近似值的误差范围， 使用起来把握不大. 范围通常用区间的形式给出的。 这种形式的估计称为区间估计.
置信区间也可简记为

[ X n z 2 ]
9


[ X n z 2 , X n z 2 ]
0.05 1 0.95 1 n 16
查表得 z z0.025 1.96
2
若由一个样本值算得样本均值的观察值 x 5.20
则得到一个区间 (5.20 0.49) (4.71, 5.69)
的范围与所能承受的平均张力。 0.05
解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
置信区间。由公式知μ的置信区间为 [ X
S n
t
2
(n
1)]
x 6720 s2 282 查表 t0.05 (8) t0.025(8) 2.306
则所求μ的置信区间为
2
[6720

28
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比 较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 1 ，这里 是一个很小
的正数，称为显著水平。
2
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的 两个统计量
1 1( X1, X 2 ,, X n ),
置信区间。选取统计量为 T X ~ t(n 1)
S2
n
由公式知μ的置信区间为 [ X
查表 t0.05 (39) t0.025(39) 2.0227
S n
t
2
(n
1)]
则所求μ2 的置信区间为 [96.05 , 113.95]
若σ2＝25 μ的置信区间为[ X
即 [103.45 , 106.55]
个区间，它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间
设 X ~ N(, 2)
X ~ N(, 2 )
EX DX 2
n
n
则随机变量 令 P{ X
2
n
X
Z
~ N (0,1)
2
n

z } 1
2
2
z
2

2
z
2
7
X