安徽省芜湖市、马鞍山市2016届高三5月联考(模拟)理数试题解析(解析版)

一、选择题：共12题
1．集合错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】D
【解析】本题考查集合的基本运算.由条件可得，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，故选D.
2．复数错误！未找到引用源。

(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】D
【解析】本题考查复数的四则运算和复数的几何意义.错误！未找到引用源。

,所以该复数在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.学科*网
3．已知向量错误！未找到引用源。

,若错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

等于
A.80
B.160
C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】C
【解析】本题考查向量的数量积和向量垂直的坐标表示.因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，故选C.
4．执行如图所示的程序框图,输出的S值为-4时,则条件框内应填写
A.i>3?
B.i<4?
C.i>4?
D.i<5?
【答案】B
【解析】本题考查程序框图.由程序框图可知，输出的错误！未找到引用源。

，此时由错误！未找到引用源。

,因此条件框内应填写i<4?，故选B. 学科*网
5．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.24
B.28
C.30
D.32
【答案】A
【解析】本题考查空间几何体的三视图和体积的计算.由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱截掉一个三棱锥剩下的部分，其体积为错误！未找到引用源。

，故选A.
6．已知等比数列错误！未找到引用源。

的前n项和是错误！未找到引用源。

,且错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

为
A.7
B.9
C.63
D.7或63
【答案】A
【解析】本题考查等比数列的前n项和.因为数列错误！未找到引用源。

是等比数列，所以错误！未找到引用源。

也是等比数列，即错误！未找到引用源。

也是等比数列，所以错误！未找到引用源。

，解之得错误！未找到引用源。

，故选A. 学科*网
7．如图,茎叶图表示的是甲,乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污染,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】C
【解析】本题考查茎叶图和古典概型.由茎叶图可知，甲的平均成绩为错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，乙的平均成绩为错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

,即352+错误！未找到引用源。

得到错误！未找到引用源。

，又因为由题意可知错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

是整数，故基本事件共有从90到99共10个，而满足条件的有90到97共8个，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为错误！未找到引用源。

，故选C.
8．若双曲线错误！未找到引用源。

的一条渐近线与曲线错误！未找到引用源。

相切,则该双曲线的离心率为A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.2
【答案】A
【解析】本题考查双曲线的性质. 双曲线错误！未找到引用源。

的渐近线方程为错误！未找到引用源。

,根据题意，应是错误！未找到引用源。

与曲线错误！未找到引用源。

相切，联立方程消去错误！未找到引用源。

可得错误！未找到引用源。

,由错误！未找到引用源。

可得错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

,故选A. 学科*网
9．已知命题错误！未找到引用源。

,命题错误！未找到引用源。

,则
A.命题错误！未找到引用源。

是假命题
B.命题错误！未找到引用源。

是真命题
C.命题错误！未找到引用源。

是真命题
D.命题错误！未找到引用源。

是假命题
【答案】B
【解析】本题考查复合命题真假的判定.显然，错误！未找到引用源。

时错误！未找到引用源。

成立，所以命题错误！未找到引用源。

为真命题；设错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

.当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递减，在错误！未找到引用源。

上单调递增，所以错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，所以命题错误！未找到引用源。

为真命题，故命题错误！未找到引用源。

是真命题，故选B.
10．函数错误！未找到引用源。

的图象如图所示,若错误！未找到引用源。

,为了得到函数f(x)的图象只要把函数y=2sin x图象上所有的点
A.横坐标缩短到原来的错误！未找到引用源。

倍,纵坐标不变,再向左平移错误！未找到引用源。

个单位
B.横坐标缩短到原来的错误！未找到引用源。

倍,纵坐标不变,再向左平移错误！未找到引用源。

个单位
C.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移错误！未找到引用源。

个单位
D.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移错误！未找到引用源。

个单位
【答案】B
【解析】本题考查三角函数的图像及其变换.设错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

,又因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

，计算可得错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，因为函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

取得最大值，所以错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，因此，为了得到函数f(x)的图象，只要把函数y=2sin x图象上所有的点横坐标缩短到原来的错误！未找到引用源。

倍,纵坐标不变,再向左平移错误！未找到引用源。

个单位，故选B. 学科*网
11．已知点A,B,C,D均为球O的表面上,错误！未找到引用源。

,若三棱锥D-ABC体积的最大值为错误！未找到引用源。

,则球O的表面积为
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】B
【解析】本题考查球内接多面体，三棱锥的体积和球的表面积公式.由条件错误！未找到引用源。

可得错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，又由错误！未找到引用源。

可得错误！未找到引用源。

的外接圆的半径为错误！未找到引用源。

.因为三棱锥D-ABC体积的最大值为错误！未找到引用源。

,所以点D到平面ABC的最大距离为3.设球的半径为R,则错误！未找到引用源。

，解得R=2，所以球O的表面积为错误！未找到引用源。

，故选B. 学科*网
12．若函数错误！未找到引用源。

的图象上有且仅有两对点关于原点对称,则a的取值范围是
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】D
【解析】本题考查分段函数的图像的对称性和函数图像的应用.当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

,于是当错误！未找到引用源。

时，函数错误！未找到引用源。

单调递减，当错误！未找到引用源。

时，函数错误！未找到引用源。

单调递增，且错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，又当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，函数错误！未找到引用源。

恒过定点错误！未找到引用源。

，由此可作出函数图像，由图像可知，要使函数错误！未找到引用源。

的图象上有且仅有两对点关于原点对称,则函数错误！未找到引用源。

关于原点对称的函数错误！未找到引用源。

的图像与直线错误！未找到引用源。

有且仅有两个交点.由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

,则函数错误！未找到引用源。

在点错误！未找到引用源。

的切线斜率为1，由此可得实数a的取值范围是错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

，故选D.
二、填空题：共4题
13．已知错误！未找到引用源。

展开式中含x项的系数为2017,则实数a=_____.
【答案】-1
【解析】本题考查二项式定理.错误！未找到引用源。

的展开式中，错误！未找到引用源。

,令错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

；令错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

.因为错误！未找到引用源。

展开式中含x项的系数为2017,所以错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

，故答案为错误！未找到引用源。

14．已知函数错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

_____.
【答案】1
【解析】本题考查函数的求值和对数的运算.因为错误！未找到引用源。

，而错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，故答案为1.
15．设x,y满足约束条件错误！未找到引用源。

若目标函数z=x+y的最小值为错误！未找到引用源。

,则实数a的值为_____.
【答案】2
16．已知数列错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

,若不等式错误！未找到引用源。

恒成立,
则整数m的最小值是______.
【答案】3
【解析】本题考查数列的递推公式.由递推公式可得错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，归纳猜想错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

,所以错误！未找到引用源。

,所以整数m的最小值是3，故答案为3.
三、解答题：共8题
17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足错误！未找到引用源。

.
(1)求角B的大小;
(2)若点M为BC中点,且AM=AC=2,求a的值.
【答案】解(1)错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

.
∴错误！未找到引用源。

,∴错误！未找到引用源。

,所以错误！未找到引用源。

,得错误！未找到引用源。

.
(2)取CM中点D,连AD,则AD⊥CM,设错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

.
由(1)知错误！未找到引用源。

,在直角△ADB中,错误！未找到引用源。

,∴错误！未找到引用源。

.
在△ABC中,由余弦定理:错误！未找到引用源。

,
即错误！未找到引用源。

,得错误！未找到引用源。

.
【解析】本题考查正弦定理和余弦定理. (1)利用正弦定理将边化角，再利用错误！未找到引用源。

进行化简，即可求出角B的大小；(2) 取CM中点D,连接AD,则AD⊥CM,设错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

. 在直角△ADB利用错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

得到错误！未找到引用源。

.然后在△ABC中,由余弦定理解出错误！未找到引用源。

即可.
18．2016年春节,“抢红包”成为社会热议的话题之一.某机构对春节期间用户利用手机“抢红包”的情况进行调查,如果一天内抢红包的总次数超过10次为“关注点高”,否则为“关注点低”,调查情况如下表所示:
(1)填写上表中x,y的值并判断是否有95%以上的把握认为性别与关注点高低有关?
(2)现要从上述男性用户中随机选出3名参加一项活动,以X表示选中的同学中抢红包总次数超过10次的人数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).
下面的临界值表供参考:
独立性检验统计量错误！未找到引用源。

,其中n=a+b+c+d.
【答案】解:(1)根据题意列出2×2列联表如下:
错误！未找到引用源。

,所以有95%以上的把握认为性别与关注点高低有关.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
错误！未找到引用源。

,
错误！未找到引用源。

,
得X的分布列为
错误！未找到引用源。

.
19．如图,在矩形ABCD中,错误！未找到引用源。

,点E,H分别是所在边靠近B,D的三等分点,现沿着EH将矩形折成直二面角,分别连接AD,AC,CB,形成如图所示的多面体.
(1)证明:平面BCE∥平面ADH;
(2)证明:EH⊥AC;
(3)求二面角B-AC-D的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明:由折叠前、后图形对比可知,在矩形ABCD中有AH∥BE, DH∥EC,
又∵AH∩DH=H,BE∩CE=E,∴平面BCE∥平面ADH.
(2)证明:在多面体中,过点A作EH的垂线交EH于点O,连接OC.
∵二面角A-EH-C为直二面角,∴AO⊥平面EHC.
由对称性可知CO⊥EH,又AO∩CO=O.
∴EH⊥平面AOC,而错误！未找到引用源。

平面AOC,∴EH⊥AC.
(3)解:过点B在平面ABEH内作BP⊥AO垂足为P,过点P在平面AOC内作PQ⊥AC垂足为Q,连接BQ.∵△ABO 是边长为3的等边三角形,∴点P为中点,错误！未找到引用源。

.
∵△AOC是直角边长为3的等腰直角三角形错误！未找到引用源。

,∴错误！未找到引用源。

.
又∵CO⊥平面ABEH,∴CO⊥BP,BP⊥AO,AO∩CO=O,∴BP⊥平面AOC.
∴错误！未找到引用源。

BQP为二面角B-AC-O的平面角,在直角三角形BPQ中错误！未找到引用源。

,
∴错误！未找到引用源。

.
设二面角B-AC-D的平面角为错误！未找到引用源。

,∴错误！未找到引用源。

.
所以二面角B-AC-D的平面角的余弦值为错误！未找到引用源。

.
【解析】本题考查空间几何体中平面与平面平行的判定、异面直线垂直的证明和二面角大小的求解. (1)易得AH∥BE,DH∥EC,即可证得平面BCE∥平面ADH；(2) 在多面体中,过点A作EH的垂线交EH于点O,连接
OC.由二面角A-EH-C为直二面角可得AO⊥平面EHC，又CO⊥EH，可证得EH⊥平面AOC，从而得到EH ⊥AC；(3) 过点B在平面ABEH内作BP⊥AO垂足为P,过点P在平面AOC内作PQ⊥AC垂足为Q,连接BQ.可证得错误！未找到引用源。

BQP为二面角B-AC-O的平面角，计算求得错误！未找到引用源。

，设二面角B-AC-D的平面角为错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

.
20．如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆错误！未找到引用源。

的半焦距为c,且过点错误！未找到引用源。

,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为错误！未找到引用源。

.
(1)求椭圆E的方程;
(2)A为椭圆E上异于顶点的一点,点P满足错误！未找到引用源。

,过点P的直线交椭圆E于B,C两点,且错误！未找到引用源。

,若直线OA,OB的斜率之积为错误！未找到引用源。

,求证:错误！未找到引用源。

.
【答案】解:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到直线的距离为错误！未找到引用源。

,
得a=2b.又椭圆过点错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

,联立得a=2,b=1,
所以椭圆方程为错误！未找到引用源。

.
(2)证明:设错误！未找到引用源。

因为错误！未找到引用源。

,
又错误！未找到引用源。

,得错误！未找到引用源。

,
故错误！未找到引用源。

,代入椭圆方程得:错误！未找到引用源。

,
整理得错误！未找到引用源。

.①
因为A,B在椭圆E上,所以错误！未找到引用源。

,②
又直线OA,OB的斜率之积为错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

.③
将②③两式代入(1)得错误！未找到引用源。

.
【解析】本题考查椭圆方程的求解和直线与椭圆方程的计算. (1) 利用条件：原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为错误！未找到引用源。

，建立方程得到a=2b.又椭圆过点错误！未找到引用源。

,得到错误！未找到引用源。

,联立得a=2,b=1，从而得到椭圆方程；(2) 设错误！未找到引用源。

由错误！未找到引用源。

可得错误！未找到引用源。

，又由错误！未找到引用源。

,可得错误！未找到引用源。

,解之得到错误！未找到引用源。

，代入椭圆方程整理得到错误！未找到引用源。

.又由A,B在椭圆E上,得到错误！未找到引用源。

，由直线OA,OB的斜率之积为错误！未找到引用源。

得到错误！未找到引用源。

，将式子整合即可证得错误！未找到引用源。

.
21．已知函数错误！未找到引用源。

.
(1)当错误！未找到引用源。

>0时,求函数错误！未找到引用源。

的极值点;
(2)证明:当错误！未找到引用源。

时,错误！未找到引用源。

对错误！未找到引用源。

恒成立.
【答案】解:(1)错误！未找到引用源。

.
①当错误！未找到引用源。

时,h(x)在错误！未找到引用源。

单调递增,在错误！未找到引用源。

单调递减,
函数有极小值点-2,极大值点错误！未找到引用源。

;
②当错误！未找到引用源。

时,h(x)在R单调递增,无极值点;
③当错误！未找到引用源。

时,h(x)在错误！未找到引用源。

单调递增,在错误！未找到引用源。

单调递减,
函数有极小值点错误！未找到引用源。

,极大值点-2.
(2)错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

.
因此f(x)在(0,1)单调递减,在错误！未找到引用源。

单调递增,∴错误！未找到引用源。

.①
要证错误！未找到引用源。

对错误！未找到引用源。

恒成立,即证错误！未找到引用源。

对错误！未找到引用源。

恒成立,
令错误！未找到引用源。

,
当错误！未找到引用源。

时,错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

(舍去)
由错误！未找到引用源。

知错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

单调递增,在错误！未找到引用源。

单调递减,…
错误！未找到引用源。

,即错误！未找到引用源。

,
所以在错误！未找到引用源。

上,错误！未找到引用源。

,
又错误！未找到引用源。

知错误！未找到引用源。

,∴错误！未找到引用源。

.②
由①②知,对错误！未找到引用源。

,不等式错误！未找到引用源。

恒成立.
【解析】本题考查导数在研究函数中的应用. (1)先求导得到错误！未找到引用源。

，对错误！未找到引用源。

分情况讨论求出函数错误！未找到引用源。

的极值点；(2) 要证错误！未找到引用源。

对错误！未找到引用源。

恒成立,即证错误！未找到引用源。

对错误！未找到引用源。

恒成立,因此先求出f(x)的导函数错误！未找到引用源。

，确定f(x)单调性，从而求得错误！未找到引用源。

. 令错误！未找到引用源。

,求导错误！未找到引用源。

，令错误！未找到引用源。

，求出根错误！未找到引用源。

(舍去)，由错误！未找到引用源。

知错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

单调递增,在错误！未找到引用源。

单调递减,从而得到错误！未找到引用源。

，利用条件证得错误！未找到引用源。

成立，问题即可得证.
22．如图,AB是⊙O的直径,弦DB,AC的延长线相交于点P,PE垂直于AB的延长线于点E.
(1)求证:错误！未找到引用源。

;
(2)若错误！未找到引用源。

,求PE的长.
【答案】解:(1)连接BC,∵AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°.
又PE⊥AE,∴P、C、B、E四点共圆,∴错误！未找到引用源。

.
(2)设PE=a,∵错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

.
连接AD.∵∠ABD=∠PBE,∴RT△ADB~RT△PEB,
∴错误！未找到引用源。

,即错误！未找到引用源。

,
∴错误！未找到引用源。

,解得错误！未找到引用源。

.
【解析】本题考查平面几何中四点共圆及三角形相似的证明和应用. (1) 连接BC,因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°,又PE⊥AE,∴P、C、B、E四点共圆,∴错误！未找到引用源。

; (2) 连接AD.由∠ABD=∠PBE,可得RT△ADB~RT△PEB,所以错误！未找到引用源。

,即错误！未找到引用源。

. 设PE=a,因为错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

.所以错误！未找到引用源。

,解得错误！未找到引用源。

.
23．已知直线错误！未找到引用源。

的参数方程为:错误！未找到引用源。

,以平面直角坐标系xOy的原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为错误！未找到引用源。

.
(1)求直线错误！未找到引用源。

和曲线C的普通方程;
(2)在直角坐标系中,过点B(0,1)作直线错误！未找到引用源。

的垂线,垂足为H,试以错误！未找到引用源。

为参数,求动点H轨迹的参数方程,并指出轨迹表示的曲线.
【答案】解:(1)由错误！未找到引用源。

,
消去t得,直线错误！未找到引用源。

的普通方程:错误！未找到引用源。

.
由错误！未找到引用源。

得,错误！未找到引用源。

,
即错误！未找到引用源。

,得曲线C的普通方程:错误！未找到引用源。

.
(2)∵直线错误！未找到引用源。

的普通方程:错误！未找到引用源。

,又BH⊥错误！未找到引用源。

,
∴直线BH的方程为错误！未找到引用源。

,
由上面两个方程解得:错误！未找到引用源。

,
即动点H的参数方程为:错误！未找到引用源。

表示圆心在原点,半径为1的圆.
【解析】本题考查直线的参数方程，曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化. (1)将直线的参数方程消去参数错误！未找到引用源。

，即可得到直线错误！未找到引用源。

的普通程:错误！未找到引用源。

； (2)利用条件求出直线BH的方程，与直线错误！未找到引用源。

的方程联立得到动点H的参数方程.
24．已知函数错误！未找到引用源。

.
(1)若a=1,存在错误！未找到引用源。

使f(x)<c成立,求c的取值范围;
(2)若a=2,解不等式错误！未找到引用源。

.
【答案】解:(1)∵a=1,∴错误！未找到引用源。

,
故函数错误！未找到引用源。

的最小值为6.
又∵存在错误！未找到引用源。

使f(x)<c成立,错误！未找到引用源。

.
(2)∵a=2,∴错误！未找到引用源。

由错误！未找到引用源。

,解得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

或x<-2.
故不等式错误！未找到引用源。

的解集为错误！未找到引用源。

.
【解析】本题考查绝对值不等式的性质和绝对值不等式的解法. (1)利用绝对值不等式的性质求出函数错误！未找到引用源。

，即可得到错误！未找到引用源。

；(2)分段讨论去掉绝对值号，然后分段求解即可.。