运动员最佳配对问题(习题514)

运动员最佳配对问题(习题5—14)
羽毛球队有男女运动员各n人.给定两个n×n得矩阵P和Q.
P[i][j]是男运动员i和女运动员j配对组成混合双打的运动员竞赛优势.
Q[i][j]是女运动员i和男运动员j配合的女运动员竞赛优势.
由于技术配合和心理状态等各种因素影响,P[i][j]不一定等于Q[i][j].
男运动员i女运动员j配合组成混合双打的男女双方竞赛优势为P[i][j]×Q[j][i].
设计一个算法,计算男女运动员最佳配对法,使各组男女双方竞赛优势的总和达到最大. 此题目的解空间显然是一棵排列树,可以套用搜索排列树的回溯法框架:
void backtrack(int t)
{
if(t>n)compute();
else
for(int j=i;j<=n;j++)
{
swap(r,t,j);
backtrack(i+1);
swap(r,t,j);
}
}
void compute()
{
int temp=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
temp+=p[i][r[i]]*q[r[i]][i];
if(temp>best)
{
best=temp;
for(int i=1;i<=n;i++)
bestr[i]=r[i];
}
}
无和集问题(习题5—16)
设S是正整数集合。

S 是一个无和集当且仅当x,y属于S, 蕴含x+y不属于S 。

对于任意正整数k ，如果可将{1,2... k} 划分为n个无和子集S1,S2...Sn，称正整
数k是n可分的。

记F(n) =max{ k | k 是n可分的}。

试设计一个算法，对任意给定的n，计算F(n) 的值。

该题是子集选取问题,解空间显然是一棵子集树,同样可以套用搜索子集树的回溯法框架. 但是由于搜索的空间很大,用搜索时间控制搜索深度:
Bool search(int dep)
{
t1=clock();
elapsed+=(t1-t2)/()double)clock_per_sec);
t0=t1;
If(elapsed>15.0)return false;
If(dep>k){out();return true;}
for(int i=1;i<=n;i++){
If(sum[i][dep]==0){
t[dep]=I;s[i][dep]=true;
for(int j=1;j<dep;j++)if (s[i][j])sum[i][dep+j]++;
If(search(dep+1) return true;
s[i][dep]=false;t[dep]=0;
for(j=1;j<dep;j++) if (s[i][j]) sum[i][dep+j]--;
}
}
Return false;
}
整数变换问题(习题5—18)
关于整数i的变换f和g。

f=3i,g=（i/2）向下取整。

对于给定的两个整数m，n.要求从n变换为m。

如15,4 4=ggfg(15)
首先分析:永远可以。

g操作就是对一个数字的二进制表示向右移动一位。

首先，任何数字都可以通过若干次连续的g操作成为1.
然后通过若干次f操作成为3^k,
如果存在k,使得3^k的前面若干位2进制数正好是n的二进制表示，那么我们就通过若干次右移(g操作）将3^k变成n.
所以我们只要能够证明得出：
对于任何一个w进制表示的数字n (s位数）,我们能够找到一个整数k,使得3^k的w进制表示的前面s位正好是n。

就可以了。

为了找最短路径,用逐步加深的回溯法搜索:
具体算法:
Void compute()
{
K=1;
While(! Search(1,n){
K++;
If(k>maxdep)break;
Init();
}
If(found)output();
Else cout<<”No solution!”<<endl;
}
Bool search(int dep, int n)
{
if(dep>k) return false;
For(int i=0;i<2;i++){
Int n1=f(n,i);t[dep]=I;
If (n1==n)||search(dep+1,n1){found=true;out();return true;}
}
Return false;
}
无优先级运算(习题5—27)
#include <iostream.h>
#include "stdio.h"
int n; //给定数字的个数
int a[999];//给定的数字
int m;//利用给定的数字运算求出的数字m int num[999];
int oper[999];
int flag[999];
int k;
found()
{
int x=num[0];
for(int i=0;i<k;i++)
{
switch(oper[i])
{
case 0: x+=num[i+1];break;
case 1: x-=num[i+1];break;
case 2: x*=num[i+1];break;
case 3: x/=num[i+1];break;
}
}
return(x==m);
}
search(int dep)
{
if(dep>k)
{
if(found())
return true;
else
return false;
}
for(int i=0;i<n;i++)
if(flag[i]==0)
{
num[dep]=a[i];
flag[i]=1;
for(int j=0;j<4;j++)
{
oper[dep]=j;
if(search(dep+1))
return true;
}
flag[i]=0;
}
return false;
}
main()
{
cout<<"输入给定的数字个数\n";
cin>>n;
for (int p=0;p<n;p++)
{
cout<<"输入第"<<p+1<<"个数字\n"; cin>>a[p];
flag[p]=0;
}
cout<<"输入要求的数字\n";
cin>>m;
for(k=0;k<n;k++)
if(search(0))
{
cout<<k<<"\n";
//out();
return;
}
cout<<"No Solution! \n";
}
运行:
0-1背包问题(及时删除不用的结点)
对物品的选取与否构成一棵解树，左子树表示不装入，右表示装入，通过检索问题的解树得出最优解，并用结点上界杀死不符合要求的结点。

具体源程序:
#include <iostream.h>
struct good
{
int weight;
int benefit;
int flag;//是否可以装入标记
};
int number=5;//物品数量
int upbound=0;
int curp=0, curw=0;//当前效益值与重量
int maxweight=12;
good *bag=NULL;
void Init_good()
{
bag=new good [number];
for(int i=0; i<number; i++)
{
cout<<"请输入第"<<i+1<<"件物品的重量:";
cin>>bag[i].weight;
cout<<"请输入第件"<<i+1<<"物品的效益:";
cin>>bag[i].benefit;
bag[i].flag=0;//初始标志为不装入背包
cout<<endl;
}
}
int getbound(int num, int *bound_u)//返回本结点的c限界和u限界
{
for(int w=curw, p=curp; num<number && (w+bag[num].weight)<=maxweight; num++)
{
w=w+bag[num].weight;
p=w+bag[num].benefit;
}
*bound_u=p+bag[num].benefit;
return ( p+bag[num].benefit*((maxweight-w)/bag[num].weight) );
}
void LCbag()
{
int bound_u=0, bound_c=0;//当前结点的c限界和u限界
for(int i=0; i<number; i++)//逐层遍历解树决定是否装入各个物品
{
if( ( bound_c=getbound(i+1, &bound_u) )>upbound )//遍历左子树upbound=bound_u;//更改已有u限界,不更改标志
if( getbound(i, &bound_u)>bound_c )//遍历右子树
//若装入，判断右子树的c限界是否大于左子树根的c限界，是则装入
{
upbound=bound_u;//更改已有u限界
curp=curp+bag[i].benefit;
curw=curw+bag[i].weight;//从已有重量和效益加上新物品
bag[i].flag=1;//标记为装入
}
}
}
void Display()
{
cout<<"可以放入背包的物品的编号为：";
for(int i=0; i<number; i++)
if(bag[i].flag>0)
cout<<i+1<<" ";
cout<<endl;
delete []bag;
}
int main()
{
Init_good();
int getbound(int a, int *b);
LCbag();
Display();
return 0;
}
运行结果:。