2024成都中考数学一轮复习 二次函数(含答案)

2024成都中考数学一轮复习二次函数（学生版）
目标层级图
课中讲解
1．二次函数的概念：一般地，形如2
y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做
二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数2
y ax bx c =++的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例1.下列函数中，是二次函数的是(
)
A ．21
y x =--B ．2
2y x
=C ．4y x
=
D ．2
y ax bx c
=++过关检测
1.下列y 关于x 函数中，一定是二次函数的有(
)
①2
y ax bx c =++②21y x =③21
2
x y x +=
-④22(1)y x x =+-⑤210025y x =-A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二.根据定义确定参数值
例1.函数()()2
2
23a
y a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；
当____a =，它为一次函数．
例2.若抛物线2
(1)m
m
y m x -=-开口向下，则______
m =过关检测
1.若函数2
32
(1)m
m y m x --=+是二次函数，则______
m =2.若2
(1)1m
m
y m x -=++是x 的二次函数，则m =
．
例1.二次函数2
23y x x =-+图象的对称轴是(
)
A ．直线1x =
B ．直线1x =-
C ．直线2
x =D ．直线2
x =-例2.二次函数(1)(3)y x x =+-的图象的对称轴是(
)
A ．直线1
x =B ．直线2
x =C ．直线3x =D ．直线1
x =-例3.已知二次函数2
y ax bx c =++的函数值y 与自变量x 的部分对应值如表：
x
⋯2-1-0123⋯y
⋯
83
1
-0
3
⋯
则这个二次函数图象的对称轴是直线
．
过关检测
1.二次函数2
243y x x =+-的图象的对称轴为(
)
A ．直线2x =
B ．直线4x =
C ．直线3
x =-D ．直线1
x =-2.若抛物线2
(2)3y x m x =+-+的对称轴是y 轴，则m =
．
四.二次函数顶点坐标及最值
例1.二次函数2
(1)2y x =--的顶点坐标是(
)
A ．(1,2)--
B ．(1,2)-
C ．(1,2)-
D ．(1,2)
例2.抛物线2
5y x ax =-+-的顶点在坐标轴上，则系数a 的值是
．
例3.二次函数2
21213y x x =-+的最小值是
．
例4.已知二次函数的图象2
(03)y ax bx c x =++ 如图．关于该函数在所给自变量取值范围
内，下列说法正确的是(
)
A ．有最小值0，有最大值3
B ．有最小值1-，有最大值0
C ．有最小值1-，有最大值3
D ．有最小值1-，无最大值
过关检测
1.抛物线2
1()22
y x =-+的顶点坐标是(
)
A ．1(,2)
2
B ．1(,2)
2
-C ．1(,2)
2
--D ．1(,2)
2
-2.下列抛物线中，与抛物线2
31y x =-+的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(1,2)-的
是(
)
A ．2
3(1)2
y x =-++B ．2
3(1)2
y x =--+C ．2
(31)2y x =--+D ．2
(31)2
y x =--+3.已知二次函数28y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值等于
．
4.如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为*2a b a b =+，则函数
2*(2)2*4(33)y x x x =+- 的最大值与最小值的和为
．
五.二次函数增减性
例1.由二次函数2
3(4)2y x =--可知(
)
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线4x =
C ．其顶点坐标为(4,2)
D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大
例2.已知二次函数2
28y x x =--+，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直
线1x =；③y 的最大值是9；④图象与y 轴的交点坐标为(0,8)-；⑤当1x >-时，y 的值随x 值的增大而减小．其中正确的是(
)
A ．①②③
B ．①③⑤
C ．②④⑤
D ．①④⑤
例3.若2
4
(2)k
k y k x +-=+是二次函数，且当0x >时，y 随的增大而增大．则(k =)
A ．3
-B ．2
C ．3-或2
D ．3
例4.若二次函数2
4y x x m =-+的图象经过1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(4,)C y 三点，则1y 、2y 、
3y 的关系是(
)
A ．123
y y y <<B ．321y y y <<C ．312y y y <<D ．231
y y y <<过关检测
1.对于二次函数2(1)(3)y x x =+-，下列说法正确的是(
)
A ．图象开口向下
B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小
C ．图象的对称轴是直线1
x =-D ．当1x <时，y 随x 的增大而减小
2.对于抛物线2
2(1)3y x =-++，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1x =：
③顶点坐标为(1,3)-；④1x >-时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.点11(2,)P y -、2P (2，2y )、3P (5，3y )均在函数2
21y x =-+的图象上，则1y 、2y 、3
y 的大小关系是(
)
A ．321y y y >>
B ．312y y y >>
C ．312y y y >=
D ．123
y y y =>六.二次函数的图象与性质综合
例1.二次函数2
y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y a x b =+的图象大致是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
例2.二次函数2
()y a x m n =--的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过(
)
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
例3.如图是二次函数2
y ax bx c =++的图象，对于下列说法：
①0ac >；②0a b c -+<；③24ac b <；④20a b +>；⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的说法个数有(
)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例4.在平面直角坐标系中，二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出以下结
论：①0abc >；②20b a +=；③930a b c -+=；
④2
(a b c am bm c m -+++ 为实数）．其中结论正确的有(
)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例5.已知二次函数2
(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，且0)a ≠的图象如图所示，则一次函数
2b y cx a =+
与反比例函数ab y x
=在同一坐标系内的大致图象是()
A ．
B ．
C ．
D ．
例6.在同一坐标系中，二次函数2
y ax bx =+与一次函数y b x a =-的图象可能是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
例7.函数2
y ax c =+和(0,0)a
y a c x
=
≠≠在同一坐标系里的图象大致是()
A ．
B ．
C ．
D ．
过关检测
1.已知抛物线2
y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法正确的是(
)
A ．0abc >
B ．2
a b c -+=C ．240
a c
b -<D ．当1x >-时，y 随x 增大而增大
2.二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，下列结论：①
0abc <；②24b a c >；③420a b c ++<；④20a b +=．其中正确的有(
)
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数2y kx k =-和二次函数2
24(y kx x k =-+-是常数且
0)
k ≠的图象可能是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
4.在同一坐标系中，函数2
y ax bx =+与b
y x
=
的图象大致为下图中的()
A ．
B ．
C ．
D ．
5.在同一直角坐标系中，函数2
y ax b =-与(0)y ax b ab =+≠的图象大致如图(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
七.二次函数图象的平移、翻折、旋转
（1）平移方法总结：
抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即a的值不变。

解决这类问题的关键是利用好平移特征，在图形的平移中，一个点的位置变化和一个图形的位置变化是一致的，只须抓住抛物线的顶点需要进行怎样的平移即可。

解答思路：（上加下减，左加右减）
先求出抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标进行平移改变，再利用顶点式求出平移后的抛物线解析式。

（平移前先把二次函数的解析式化成顶式）
（2）翻折方法总结：
二次函数图象的翻折对称有五种情况，常考的有以下四种，可以用一般式或顶点式来表达。

解答思路：
根据对称的性质，无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变。

求解表达式时，先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，最后再写出表达式。

（3）旋转方法总结：
1.图象绕原点旋转180，顶点的横纵坐标与a的符号全部变相反数
2.图象绕顶点旋转180，顶点坐标不变，a的符号变为相反数
例1.将二次函数2y x =的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为(
)A ．223y x =+B ．223y x =--C ．2(2)3y x =--D ．2(2)3
y x =++例2.在平直角坐标系中，如果抛物线2
4y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是(
)A ．24(2)2y x =-+B ．24(2)2y x =+-C ．24(2)2y x =--D ．24(2)2
y x =++例3.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先绕它的顶点旋转180︒，再向上平移3个单位长
度，得到抛物线256y x x =++，则原抛物线的解析式是()
A ．2513
()24
y x =---B ．2511()24y x =---
C ．2513(24y x =-+-
D ．2511()24y x =-+-例4.将抛物线21(1)2
y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，再关于顶点对称后得到的新抛物线的顶点坐标为(
)A ．(2,2)B ．(2,2)-C ．(2,2)-D ．(4,2)
-例5.将抛物线2:243l y x x =-+沿直线1y =-翻折得到抛物线l '，则抛物线l '的解析式为．
过关检测
1.将抛物线23y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式
为()
A ．2(2)2
y x =++B ．2(1)5y x =-+C ．2(2)4y x =++D ．2(2)2y x =-+
2.二次函数22(1)3y x =--+的图象如何平移就得到22y x =-的图象()
A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
3.已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为．
4.将抛物线223y x x =-+绕顶点旋转180︒后的图象的解析式为．
5.在同一平面直角坐标系中，若抛物线2(21)24y x m x m =+-+-与2(3)y x m n x n =-++关
于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为(
)A ．57m =，187n =-B ．5m =，6n =-C ．1m =-，6n =D ．1m =，2
n =-八.待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法求二次函数的解析式常用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式2.
y ax bx c =++2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式()2
.y a x h k =-+3．已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），
设两根式：()()12.y a x x x x =--（其中1x 、2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标）
例1.函数2y ax bx c =++中x ，y 为变量，a ，b ，c 为常量，当1x =时，0y =；当2x =时，
3y =；当3x =时，28y =．
（1）求a ，b ，c 的值；
例2.已知二次函数2y ax bx c =++图象经过点(1,0)，且其顶点为(2,3)-．求此抛物线的函数
解析式．
例3.抛物线2y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点．
（1）求该抛物线的解析式．
过关检测
1.已知抛物线的顶点坐标为(2,4)，且过点(3,5)，求这个函数的关系式．
2.对称轴为直线72
x =的抛物线经过点(6,0)A 和点(0,4)B ．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．
3.如图，已知抛物线2y ax bx =+的顶点为(1,1)C -，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，
直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A ．
（1）求该抛物线的表达式；
学习任务
1.下列函数是二次函数的是()
A ．1y x =+
B ．21y x =+
C ．21
y x x
=+D ．2y ax =2.若221(1)21m m y m x mx +-=-+-是二次函数，则m 的值是．
3.抛物线223y x x =+-的对称轴是．
4.抛物线262y x x =-+的对称轴为直线．
5.二次函数22(2)1y x =--的顶点坐标是．
6.抛物线223(2)(1)(y x m m =+-+为常数）的顶点在()
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7.点A ，点B 的位置如图所示，抛物线22y ax ax =-经过A ，B ，则下列说法不正确的是()
A ．点
B 在抛物线对称轴的左侧
B ．抛物线的对称轴是1x =
C ．抛物线的开口向上
D ．抛物线的顶点在第四象限
8.已知点11(2,)P y -，22(2,)P y 在二次函数2(1)2y x =+-的图象上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”)
9.如图所示的抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =，则下列结论中错误的是()
A ．0ac <
B ．240b ac ->
C ．20a b -=
D ．930
a b c ++=10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则点(a
c ，b c 在第象限．
11.已知二次函数22y ax bx c =+++的图象如图所示，顶点为(1,0)-．下列结论：①0abc >；
②()(a b m a m b m ->+为不等于1-的实数）；③240b ac -=；④a b >，其中正确的序号是．
12.同一坐标系中，一次函数2y a x =+与二次函数2y x a =+的图象可能是()
A ．
B ．
C ．
D ．
13.在同一直角坐标系中，函数1y ax =+与21(0)y ax bx a =++≠的图象可能是()
A ．
B ．
C ．
D ．
14.在同一直角坐标系中，函数2y ax b =+与(0)y ax b ab =+≠的图象大致是()
A ．
B ．
C ．
D ．
15．将二次函数22(3)1y x =+-的图象向上平移4个单位长度，得到的二次函数的表达式为
()
A ．22(7)1y x =+-
B ．22(1)1y x =--
C ．22(3)5y x =+-
D ．22(3)3
y x =++16.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，那么所得到的抛物线的
函数关系式是()
A ．2(2)3
y x =++B ．2(2)3y x =+-C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =--17．将抛物线22y x =向下平移1个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是．
18.抛物线222y x x =+-向右平移2个单位长度，所得抛物线的对称轴为直线．
2024成都中考数学一轮复习二次函数（解析版）
目标层级图
课中讲解
一.二次函数的定义
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例1.下列函数中，二次函数是()
A ．21
y x =--B ．2
2y x =C ．4
y x
=
D ．2y ax bx c
=++【分析】根据二次函数的定义逐一判断可得．
【解答】解：A 、21y x =-是一次函数，不符合题意；B 、22y x =是二次函数，符合题意；C 、4
y x
=
是反比例函数，不符合题意；D 、2y ax bx c =++当0a ≠时才是二次函数，不符合题意；故选：B ．
过关检测
1.下列y 关于x 函数中，一定是二次函数的有(
)
①2
y ax bx c =++②21
y x
=③212x y x +=-④22(1)y x x =+-⑤210025y x =-A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如2(y ax bx c a =++、b 、c 是常数，0)a ≠的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解答】解：根据二次函数的定义知：③⑤是二次函数，故选：A ．
二.根据定义确定参数值
例1.函数()()2
2
23a y a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；当____a =，它为
一次函数．
2a =;2
a =-例2.若抛物线2
(1)m
m
y m x -=-开口向下，则______
m =1
m =-
1.若函数2
32
(1)m
m y m x --=+是二次函数，则______
m =4
m =2.若2(1)1m m
y m x
-=++是x 的二次函数，则m =
2．
【解答】解：根据题意，得：2
2m m -=，且10m +≠，解得：12m =，21m =-，且1m ≠-，则2m =．故答案为：2．
三.二次函数对称轴
例1.二次函数223y x x =-+图象的对称轴是()
A ．直线1
x =B ．直线1
x =-C ．直线2x =D ．直线2
x =-【分析】利用二次函数的对称轴公式2b
x a
=-，可求对称轴．【解答】解：已知1a =，2b =-，3c =由对称轴公式可知，对称轴是12b
x a
=-
=．故选：A ．
例2.二次函数(1)(3)y x x =+-的图象的对称轴是()
A ．直线1x =
B ．直线2x =
C ．直线3x =
D ．直线1
x =-【分析】先根据二次函数的解析式求出函数图象与x 轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出结论．
【解答】解：二次函数的解析式为：(1)(3)y x x =+-，∴此抛物线与x 轴的交点为(1,0)-，(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线13
12
x -+=
=．故选：A ．例3.已知二次函数2y ax bx c =++的函数值y 与自变量x 的部分对应值如表：
x
⋯2-1-0123⋯y
⋯
83
1
-0
3
⋯
则这个二次函数图象的对称轴是直线1x =．
【分析】由图表可知，0x =和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．【解答】解：0x =、2x =时的函数值都是0相等，∴此函数图象的对称轴为直线02
12
x +=
=．故答案为：1x =．
1.二次函数2
243y x x =+-的图象的对称轴为()
A ．直线2
x =B ．直线4
x =C ．直线3
x =-D ．直线1
x =-【解答】解：配方，得2
2(1)5y x =+-，图象得对称轴是1x =-，故选：D ．2.若抛物线2(2)3y x m x =+-+的对称轴是y 轴，则m =
2
．【分析】直接利用对称轴公式求得对称轴方程，令其为0可求得m 的值．【解答】解：
2(2)3y x m x =+-+，∴其对称轴方程为2
2
m x -=-
，其对称轴为y 轴，2
02
m -∴-
=，解得2m =，故答案为：2．四.二次函数顶点坐标及最值
例1.二次函数2(1)2y x =--的顶点坐标是()
A ．(1,2)
--B ．(1,2)
-C ．(1,2)-D ．(1,2)
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为2(1)2y x =--是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为(1,2)-．故选：C ．
例2.抛物线25y x ax =-+-的顶点在坐标轴上，则系数a 的值是±或0．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，然后根据抛物线25y x ax =-+-的顶点在坐标轴上，从而可以解答本题．
【解答】解：2
2
25(524
a a y x ax x =-+-=--+
-，∴抛物线2
5y x ax =-+-的顶点坐标是(2a ，
25)4
a -，抛物线25y x ax =-+-的顶点在坐标轴上，
∴当顶点在x 轴上时，2
504a -=，得a =±，当顶点在y 轴上时，02
a
=，得0a =，
故答案为：±或0．
例3.二次函数221213y x x =-+的最小值是
5-．
【分析】把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解．【解答】解：22212132(3)5y x x x =-+=--，
当3x =时，函数值y 有最小值，最小值为5-，故答案为5-．
例4.已知二次函数的图象2(03)y ax bx c x =++ 如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(
)
A ．有最小值0，有最大值3
B ．有最小值1-，有最大值0
C ．有最小值1-，有最大值3
D ．有最小值1-，无最大值
【分析】根据二次函数的最值问题解答即可．【解答】解：由图可知，03x 时，
该二次函数1x =时，有最小值1-，3x =时，有最大值3．故选：C ．过关检测
1.抛物线21
()22y x =-+的顶点坐标是(
)
A ．1(,2)
2
B ．1(,2)
2
-C ．1(,2)
2
--D ．1(,2)
2
-【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．【解答】解：抛物线21
(22
y x =-+，
∴抛物线21()22y x =-+的顶点坐标是：1
(2
，2)，故选：A ．
2.下列抛物线中，与抛物线231y x =-+的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(1,2)-的是(
)
A ．23(1)2y x =-++
B ．23(1)2y x =--+
C ．2(31)2
y x =--+D ．2(31)2
y x =--+
【解答】解：
抛物线顶点坐标为(1,2)-，∴可设抛物线解析式为2(1)2y a x =++，
与抛物线231y x =-+的形状、开口方向完全相同，3a ∴=-，∴所求抛物线解析式为23(1)2y x =-++，故选：A ．
3.已知二次函数28y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值等于17．
【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m 的等式，解方程求出m 的值即可．【解答】解：原式可化为：2(4)16y x m =--+，
函数的最小值是1，161m ∴-+=，解得17m =．故答案为：17．
4.如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为*2a b a b =+，则函数
2*(2)2*4(33)y x x x =+- 的最大值与最小值的和为37．
【分析】根据“*”为一种运算，定义为*2a b a b =+，把函数2*(2)2*4(33)y x x x =+- 化简后根据配方法即可得出答案．【解答】解：*2a b a b
=+22222*(2)2*422224410446(2)6y x x x x x x x x x ∴=+=+⨯++⨯=++=+++=++，
当33x - 时，最大值为2(32)631max y =++=，最小值为2(22)66min y =-++=，因此31637max min y y +=+=．故答案为：37．
五.二次函数增减性
例1.由二次函数23(4)2y x =--可知()
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线4x =
C ．其顶点坐标为(4,2)
D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，可求得答案．【解答】解：
23(4)2y x =--，
∴抛物线开口向上，故A 不正确；
对称轴为4x =，故B 正确；
当4x =时，y 有最小值2-，故C 不正确；
当4x >时，y 随x 的增大而增大，故D 不正确；故选：B ．
例2.已知二次函数228y x x =--+，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直线1x =；③y 的最大值是9；④图象与y 轴的交点坐标为(0,8)-；⑤当1x >-时，y 的值随x 值的增大而减小．其中正确的是(
)
A ．①②③
B ．①③⑤
C ．②④⑤
D ．①④⑤
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式2()(0y a x h k a =-+≠，且a ，h ，k 是常数），开口方向，它的对称轴是直线x h =，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大．
【解答】解：二次函数2228(1)9y x x x =--+=-++，∴抛物线的对称轴是直线1x =-，故说法②错误，
当1x =-时，y 的最大值为9，故说法③正确，10a =-<，∴抛物线的开口向下，故说法①正确，
当1x >-时，y 的值随x 值的增大而减小，故说法⑤正确，针对于二次函数228y x x =--+，令0x =，则8y =，
∴图象与y 轴的交点坐标为(0,8)，故说法④错误，即正确的有①③⑤，故选：B ．
例3.若2
4
(2)k
k y k x +-=+是二次函数，且当0x >时，y 随的增大而增大．则(k =)
A ．3
-B ．2
C ．3-或2
D ．3
【分析】是二次函数，那么x 的指数为2；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，那么二次函数图象的开口向上，可得二次项的系数大于0．【解答】解：由题意得：242k k +-=；20k +>；解得：3k =-或2k =；2k >-；2k ∴=．
故选：B ．
例4.若二次函数24y x x m =-+的图象经过1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(4,)C y 三点，则1y 、2y 、
3y 的关系是(
)
A ．123y y y <<
B ．321y y y <<
C ．312y y y <<
D ．231
y y y <<
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线2x =，根据2x <时，
y 随x 的增大而减小，即可得出答案．
【解答】解：
24y x x m =-+，∴图象的开口向上，对称轴是直线4
221
x -=-
=⨯，3(4,)C y 关于直线2x =的对称点是3(0,)y ，102-<<，231y y y ∴<<，
故选：D ．
过关检测
1.对于二次函数2(1)(3)y x x =+-，下列说法正确的是()
A ．图象开口向下
B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小
C ．图象的对称轴是直线1
x =-D ．当1x <时，y 随x 的增大而减小
【解答】解：二次函数2(1)(3)y x x =+-可化为22(1)8y x =--的形式，此二次函数中20a =>，∴抛物线开口向上，对称轴为1x =，
∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，故选：D ．
2.对于抛物线22(1)3y x =-++，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1x =：③顶点坐标为(1,3)-；④1x >-时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．【解答】解：抛物线22(1)3y x =-++，20a =-<，∴抛物线的开口向下，故①正确，
对称轴是直线1x =-，故②错误，顶点坐标为(1,3)-，故③正确，1x >-时，y 随x 的增大而减小，故④正确，
故选：C ．
3.点11(2,)P y -、2P (2，2y )、3P (5，3y )均在函数221y x =-+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是()
A ．321
y y y >>B ．312y y y >>C ．312y y y >=D ．123
y y y =>【分析】求出函数的对称轴0x =，由于函数开口向下，所以点到对称轴的距离大对应的函
数值反而小，判断已知三个点到对称轴的距离即可．【解答】解：函数221y x =-+的对称轴为0x =，20-<，点到对称轴的距离大对应的函数值反而小，
11(2,)P y -、2P (2，2y )、3P (5，3y )，123P P P ∴=>，
故选：D ．
六.二次函数的图象与性质综合
例1.二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y ax b =+的图象大致是(
)
A．B．C．D．
【分析】可先根据二次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：由二次函数图象，得出0a <，02b
a
-
<，0b <，A 、一次函数图象，得0a >，0b >，故A 错误；
B 、一次函数图象，得0a <，0b >，故B 错误；
C 、一次函数图象，得0a >，0b <，故C 错误；
D 、一次函数图象，得0a <，0b <，故D 正确；故选：D ．
例2.二次函数2()y a x m n =--的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过()
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
【分析】由抛物线的顶点坐标在第四象限可得出0m >，0n >，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数y mx n =+的图象经过第一、二、三象限．【解答】解：观察函数图象，可知：0m >，0n >，
∴一次函数y mx n =+的图象经过第一、二、三象限．故选：A ．
例3.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，对于下列说法：
①0ac >；②0a b c -+<；③24ac b <；④20a b +>；⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的说法个数有(
)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解答】解：①由图象可知：0a >，0c <，0ac ∴<，故①错误；②由图象可知：1x =-时，0y a b c =-+>，故②错误；
③由于抛物线与x 轴有两个交点，∴△240b ac =->，故③正确；④由于对称轴可知：12b
a
-<，20a b ∴+>，故④正确；⑤当2b
x a
>-
时，y 随着x 的增大而增大，故⑤错误；故选：B ．
例4.在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出以下结论：①0abc >；②20b a +=；③930a b c -+=；
④2(a b c am bm c m -+++ 为实数）．其中结论正确的有()
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解答】解：①由抛物线可知，0a >，0c <，对称轴02b
x a
=-<，0b ∴>，0abc ∴<．故①错误；
②由对称轴可知，12b
x a
=-
=-，2b a ∴=，20b a ∴-=，故②错误；③(1,0)关于1x =-的对称点为(3,0)-，∴当3x =-时，930y a b c =-+=，故③正确；
④当1x =-时，y 的最小值为a b c -+，∴当x m =时，2y am bm c =++，2am bm c a b c ∴++-+ ，即2a b c am bm c -+++ ，故④正确．
综上可知，正确的结论有③④两个．故选：B ．
例5.已知二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，且0)a ≠的图象如图所示，则一次函数
2b y cx a =+
与反比例函数ab y x
=在同一坐标系内的大致图象是()
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：抛物线对称轴在y 轴右侧，0ab ∴<，
抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，对于一次函数2b y cx a =+，0c <，图象经过第二、四象限；02b a
<，图象与y 轴的交点在x 轴下方；对于反比例函数ab y x =，0ab <，图象分布在第二、四象限．故选：B ．
例6.在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图象可能是()
A．B．C．D．
【解答】解：由方程组2y ax bx y bx a
⎧=+⎨=-⎩得2ax a =-，0a ≠21x ∴=-，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B ．A ：二次函数开口向上，说明0a >，对称轴在y 轴右侧，则0b <；但是一次函数b 为一次项系数，图象显示从左向右上升，0b >，两者矛盾，故A 错；
C ：二次函数开口向上，说明0a >，对称轴在y 轴右侧，则0b <；b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，0b <，两者相符，故C 正确；
D ：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D 错．
故选：C ．
例7.函数2y ax c =+和(0,0)a y a c x =≠≠在同一坐标系里的图象大致是()
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：由A ，D 中的二次函数图象可得0a >，0c =，因为(0,0)a y a c x =
≠≠，故A ，D 错误；
由B ，C 中的二次函数图象可得0a <，0c >，所以(0,0)a y a c x
=≠≠的图象在二，四象限
内，故C 错误，B 正确．故选：B ．
过关检测
1.已知抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法正确的是()
A ．0
abc >B ．2a b c -+=C ．240ac b -<D ．当1x >-时，y 随x 增大而增大
【解答】解：根据抛物线2y ax bx c =++的图象可知：
A 、0a >，0b >，0c <0abc ∴<，所以A 选项错误；
B 、当1x =-时，0y <，即0a b c -+<，所以B 选项错误；
C 、因为抛物线与x 轴有两个交点，所以△0>，即240b ac ->，所以240ac b -<，所以C 选项正确；
D 、当1x >-时，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，所以D 选项错误．故选：C ．
2.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②24b ac >；③420a b c ++<；④20a b +=．其中正确的有()
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【解答】解：抛物线的开口向下，0a ∴<，
02b x a
=->，0b ∴>，抛物线与y 轴交于正半轴，0c ∴>，0abc ∴<，①正确；
抛物线与x 轴有两个交点，24b ac ∴>，②正确；
2x =时，0y >，420a b c ∴++>，故③错误；
对称轴为直线1x =，∴12b x a
=-
=，2b a ∴=-，即20a b +=，④正确．故选：B ．3.在同一平面直角坐标系中，一次函数2y kx k =-和二次函数224(y kx x k =-+-是常数且0)k ≠的图象可能是()
A．B．C．D．
【解答】解：A 、由一次函数图象可知，0k >，0k ∴-<，∴二次函数的图象开口应该向下，故A 选项不合题意；
B 、由一次函数图象可知，0k >，0k ∴-<，2102k k
-=>-，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x 轴的正半轴，故B 选项不合题意；
C 、由一次函数图象可知，0k <，0k ∴->，2102k k
-=<-，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x 轴的负半轴，一次函数必经过点(2,0)，当2x =时，二次函数值40y k =->，故C 选项符合题意；
D 、由一次函数图象可知，0k <，0k ∴->，2102k k
-=<-，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x 轴的负半轴，一次函数必经过点(2,0)，当2x =时，二次函数值40y k =->，故D 选项不合题意；故选：C ．
4.在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与b y x =的图象大致为下图中的()
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：当0b >时，函数b y x
=的图象应该在一、三象限，排除C ；函数2y ax bx =+的图象又因a 取值的不同而不同：
0a >时，开口向上，对称轴02b x a =-
<，排除A ；0a <时，开口向下，对称轴02b x a
=->，排除B ；D 符合．故选D ．
5.在同一直角坐标系中，函数2y ax b =-与(0)y ax b ab =+≠的图象大致如图()
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、由抛物线可知，0a >，由直线可知，0a <，故本选项错误；
B 、由抛物线可知0a <，由直线可知0a >，故本选项错误；
C 、由抛物线可知，0a >，0b >，由直线可知，0a >，0b >，故本选项正确；
D 、由抛物线可知，0a <，0b >，由直线可知，0a <，0b <，故本选项错误．故选：C ．
七.二次函数图象的平移、翻折、旋转
（1）平移方法总结：
抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即a的值不变。

解决这类问题的关键是利用好平移特征，在图形的平移中，一个点的位置变化和一个图形的位置变化是一致的，只须抓住抛物线的顶点需要进行怎样的平移即可。

解答思路：（上加下减，左加右减）
先求出抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标进行平移改变，再利用顶点式求出平移后的抛物线解析式。

（平移前先把二次函数的解析式化成顶式）
（2）翻折方法总结：
二次函数图象的翻折对称有五种情况，常考的有以下四种，可以用一般式或顶点式来表达。

解答思路：
根据对称的性质，无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变。

求解表达式时，先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，最后再写出表达式。

（3）旋转方法总结：
1.图象绕原点旋转180，顶点的横纵坐标与a的符号全部变相反数
2.图象绕顶点旋转180，顶点坐标不变，a的符号变为相反数
y x 的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函例1.将二次函数2
数的表达式为(
)A ．223y x =+B ．223y x =--C ．2(2)3y x =--D ．2(2)3
y x =++【分析】抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0)，向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为(2,3)-，根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(2,3)-，又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：2(2)3y x =++．
故选：D ．
例2.在平直角坐标系中，如果抛物线24y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是(
)A ．24(2)2y x =-+B ．24(2)2y x =+-C ．24(2)2y x =--D ．24(2)2
y x =++【分析】将x 轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，将y 轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，据此根据平面直角坐标系中函数图象的平移规律求解可得．
【解答】解：将x 轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，
将y 轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，
∴在新坐标系下抛物线的解析式为24(2)2y x =+-，故选：B ．
例3.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先绕它的顶点旋转180︒，再向上平移3个单位长度，得到抛物线256y x x =++，则原抛物线的解析式是(
)A ．2513(24
y x =---B ．2511()24y x =---C ．2513()24y x =-+-D ．2511(24
y x =-+-【分析】先求出抛物线256y x x =++的顶点坐标，再求得向下平移3个单位长度后的顶点，最后求出绕原点旋转180︒的抛物线解析式顶点即可．
【解答】解：抛物线的解析式为：225156()24
y x x x =++=+-，。