2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(一)(含答案)

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)
理科数学(一)
本试卷分必考和选考两部分．
必考部分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．已知复数z =
2i
1i
+ (i 为虚数单位)，则z·z =
A B ．2 C ．1 D ．
12
2．已知集合A ={x ∈Z |y ，B ={a ，1}，若A ∩B =B ，则实数a 的值为
A ．2
B ．3
C ．1或2或3
D ．2或3 3．已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，c =a +b ，c ⊥a ，则a ·b =
A ．−2
B ．−1
C ．1
D ．2
4．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九
韶算法求5次多项式()f x =5432
543210a x a x a x a x a x a +++++当0x x =(0x 是任意实数)时的值的过程，
若输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，则输出的v 的值为
A ．984
B ．985
C ．986
D ．987
5．若直线y kx =与圆2
2
(2)1x y -+=的两个交点关于直线2x +y +b =0对称，则点(k ，b )所在的圆为
A ．(x −
12)2+(y +5)2=1 B ．(x −1
2
)2+(y −5)2=1
C ．(x +
12)2+(y −5)2=1 D ．(x +1
2
)2+(y +5)2=1 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．8π+2
B ．8π+4
C ．7π+4
D ．8π
7．已知命题p ：“a =2”是“直线1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1)y +a 2−1=0平行”的充要条件，命题q ：“∀n ∈
N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*且0()f n ≤20n ”，则下列命题为真命题的是
A ．p ∧q
B ．(¬p )∧q
C ．p ∧(¬q )
D ．(¬p )∧(¬q )
8．已知实数x ，y 满足约束条件40
431208240
x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪--⎩
≥≥≤，则21y x -+的最大值是
A ．
56 B ．6
5
C ．1
D ．2 9．已知a ，b ，l 表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确
的命题序号为
①若a ⊥α，b ⊥β，l ⊥γ，a ∥b ∥l ，则α∥β∥γ； ②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β=l ，则l ⊥γ；
③若a ⊂α，b ⊂β，α∩β=a ，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥β；
④若a ，b 为异面直线，a ⊥α，b ⊥β，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，l ⊄β，则α与β相交，且交线平行于l ． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④ 10．已知函数()f x =sin()A x ωϕ+(A >0，ω>0， |ϕ|<
2
π
)的导函数()f x '的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移
12
π
个单位长度后所得图象对应的函数的单调递增区间是
A ．[−
12
π
+k π，512π+k π](k ∈Z) B ．[512π+k π，1112π+k π](k ∈Z)
C ．[−12
π
+2k π，512π+2k π](k ∈Z) D ．[512π+2k π，1112π+2k π](k ∈Z)
11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，
若(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018， (2017a −2)5+2017(2017a −2)3+2018(2017a −2)=−2018， 则下列四个命题中真命题的序号为
①2017S =4034；②2018S =4036；③2017S <2S ；④2017a −2a <0． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④
12．已知函数()f x =1,01,0e
x m x e
x m x --⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为
A ．(1
+1) B ．(1，1
e
+1) C ．
，1) D ．(0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．若()f x =(21)2
21
x x a +-+是R 上的奇函数，则实数a 的值为 ．
14．已知cos(
2π
+α)=2cos(π−α)，则2sin()cos()3sin()cos()22
απαππαα--+-+-= ．
15．某校2017年元旦晚会对2个相声和5个小品安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后
一个节目不能排相声甲，则不同的排法有 种．
16．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为2
π
的直线l 过2F 且与双曲线
交于M ，N 两点，且1F MN ∆是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)
设数列{n a }的前n 项和为n S ，满足3S =9，n S =n 1n a +−n (n +1)，n ∈N *． (1)求数列{n a }的通项公式；
(2)记n b =n a ×1
n
a +，求数列{n
b }的前n 项和n T ．
18．(本小题满分12分)
某中学高三年级共有学生1 000人，将某次模拟考试的数学成绩(满分150分，所有成绩均不低于70分)按[70，80)，[80，90)，…，[140，150]分成8组，并制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求x 的值；
(2)试估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数；
(3)为了研究低分学生的失分情况，3位教师分别在自己电脑上从成绩在[80，100)内的试卷中随机抽取1份进行分析，每人抽到的试卷是相互独立的，ξ为抽到的成绩在[90，100)内的试卷数，写出ξ的分布列，并求数学期望． 19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P −ABCD 中，E 是棱PC 上一点，且2AE AC AP =+，底面ABCD 是边长为2的正方形，∆P AD 为正三角形，且平面P AD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点F ．
(1)求证：平面ABE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A −BE −C 的余弦值． 20．(本小题满分12分)
已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =12
，抛物线E ：2
4y x =的焦点恰好是椭圆C 的右焦点F ．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点F 作两条斜率都存在的直线1l ，2l ，1l 交椭圆C 于点A ，B ，2l 交椭圆C 于点G ，H ，若|AF |是|AH |−|FH |
与|AH |+|FH |的等比中项，求|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值． 21．(本小题满分12分)
已知函数()f x =ln x +
2
a 2
x −(a +1)x ． (1)判断()f x 的单调性；
(2)若函数()g x =()f x +x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 求证：g (1x )−g (2x )<
2
a
−ln a ． 选考部分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1cos 2sin 2
x t y t αα
⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数，0<α<2π)，以坐标原点O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2cos 30ρρθ--=． (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |的最小值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲
已知函数()|1|2|2|f x x x =++-． (1)解不等式()4f x ≥；
(2)设()f x 的最小值为M ，如果正实数a ，b 满足a +b =M ，试求24
a b
+的最小值．
2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)
理科数学(一)答案
1．B 【解析】通解 z =
2i 1i +=2i(1i)(1i)(1i)
-+-=1+i ，z =1−i ，z·z =2，故选B ．
优解 由题意知|z|=
|2i |
|1i |+，利用性质z·z =|z|2，得z·z =2，故选B ．
2．D 【解析】由题意知，A ={x ∈Z |y }={1，2，3}，且B ={a ，1}，由A ∩B =B ，知B ⊆A ，则实
数a 的值为2或3，故选D ．
3．B 【解析】由c ⊥a 得c ·a =0，又c =a +b ，∴c ·a =(a +b )·a =a 2+a ·b =1+a ·b =0，∴a ·b =−1，故选B ．
4．C 【解析】执行程序框图，输入0a =2，1a =−5，2a =6，3a =−4，4a =7，5a =2，03x =，经过第1次循环
得v =13，n =2；经过第2次循环得v =35，n =3；经过第3次循环得v =111，n =4；经过第4次循环得v =328，n =5；经过第5次循环得v =986，n =6，退出循环．故输出的v 的值为986．故选C ． 5．A 【解析】由题意知直线y =kx 与直线2x +y +b =0互相垂直，所以k =
1
2．又圆上两点关于直线2x +y +b =0对称，故直线2x +y +b =0过圆心(2，0)，所以b =−4，结合选项可知，点(12，−4)在圆(x −1
2
)2+(y +5)2=1上，
故选A ．
6．B 【解析】依题意，该几何体是底面直径为2，高为4的圆柱截去一个底面直径为2，高为2的半圆柱后所
得到的几何体，其表面积为2π×1×2+π×1×2+2×2+2×π×12= 8π+ 4，故选B ．
7．D 【解析】由1l ∥2l 得a (a −1)=2，解得a =2或a =−1，故“a =2”是“直线 1l ：ax +2y −6=0与直线2l ：x +(a −1) y +a 2−1=0
平行”的充分不必要条件，则p 是假命题，¬p 是真命题；“∀n ∈N*，()f n ∈N*且()f n >2n ”的否定是“∃0n ∈N*，0()f n ∉N*或0()f n ≤20n ”，故q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，(¬p )∧q ，p ∧(¬q )均为假命题，(¬p )∧(¬q )为真命题，选D ．
8．D 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (0，4)，B (3，0)， C (4，8)．令k =
2
1
y x -+，k 的几何意义是可行域内的点M (x ，y )与定点P (−1，2)连线的斜率，故当直线y −2=k (x +1)过点A (0，4)时，k max =
42
01
-+=2，故选D ．
9．A 【解析】对于①，a ，b ，l 就相当于平面α，β，γ的法线，因为a ∥b ∥l ，所以α∥β∥γ，所以①正确；显
然②是正确的；对于③，若a ∥b ，由线面垂直的判定定理可知，直线l 不一定垂直于β，只有当a 与b 相交时，l ⊥β，所以③不正确；对于④，由a ⊥α，l ⊥a ，且l ⊄α，得l ∥α．又b ⊥β，l ⊥b ，l ⊄β，所以l ∥β．由直线a ，b 为异面直线，且a ⊥α，b ⊥β，得α与β相交，否则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l ，所以④正确．
10．A 【解析】∵()f x =sin()A x ωϕ+，∴()f x '=cos()A x ωωϕ+，
由题图知，()f x '的最小正周期为π， ∴ω=2，又A ω=1，∴A =12，又()3f π'=0，∴cos(2×3
π
+ϕ)=0，
∴2×
3π+ϕ=2π
+k π，k ∈Z ， 又|ϕ|<2π，∴ϕ=−6π，因此()f x =12sin(2x −6
π)．
将函数()f x =12sin(2x −6π)的图象向右平移12
π
个单位长度后所得图象对应的函数
为y=12sin(2x −3π)，由−2π+2k π2x −3π2
π+2k π(k ∈Z)，
解得−12
π
+k πx 512π+k π(k ∈Z)，
∴函数y=12sin(2x −3π)的单调递增区间为[−12
π
+k π，512π+k π](k ∈Z)，故选A ．
11．C 【解析】构造函数()f x =5
x +2 0173
x +2 018x ，∵()f x 为奇函数且单调递增，
依题意有2(2)f a -=2 018，2017(2)f a -=−2 018，∴(2a −2)+(2017a − 2)=0， ∴2a +2017a =4．又2m a =1m a -+1m a +(m ∈N*，m ≥2)，
∴数列{}n a 为等差数列，且公差d ≠0，∴1a +2018a =2a +2017a =4， 则2018S =
120182018()
2
a a +=4036，②正确；∵公差d ≠0，故2017a ≠2018a ，
2017S =120172017()2
a a +≠4034，①错误；由题意知2a >2，2017a <2，∴d <0，
2017S =2018S −2018a =4036−(4−1a )=4032+1a ，2S =1a +2a ，
若2017S <2S ，则2a >4032，而此时(2a −2)5+2017(2a −2)3+2018(2a −2)=2018不成立，因此③错误；∵2a >2，
2017a <2，∴2017a −2a <0，④正确．故选C ．
12．A 【解析】函数()f x
=1,01,0e
m x e
m x --⎧+>⎪⎨+≤⎪⎩有三个不同的零点等价于方程()f x =0有三个不同的实根，
当x ≤0时，()f x =x
e
-−m +1，
设()g x =x
e
-x ≤0，则()g x =x e
-为减函数，()g x min =g (0)=0；
当x >0时，()f x =x
e
-m +1，
设()h x =x
e
-，x >0，则()h x '
， 当x >
12时，()h x '<0，当0<x <12时，()h x '>0，故()h x 在(0，12)上单调递增，在(1
2
，+∞)上单调递减，所以()h x 极大值=h (
1
2
2e ．
分别画出()g x =x
e -x -x ≤0)与()h x =x e -x (x >0)的大致图象如图所示，由题意得0<m −
，即1<m
，故选A ．
13．1【解析】∵函数()f x 是R 上的奇函数，∴(0)f =0，∴22
2
a -=0，解得a =1． 14．3【解析】通解 由cos(
2
π
+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，又cos 2α+sin 2α=1，
所以sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或sin cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，
则
2sin()cos()3sin()cos()22
απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αα
αα-+-=3．
优解 由cos(2
π
+α)=2cos(π−α)得sin α=2cos α，
所以2sin()cos()3sin()cos()22
απαππαα--+-+-=2sin cos cos sin αααα-+-=3cos cos αα--=3．
15．1 320【解析】若第一个节目排相声甲，有6
6A =720种排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能
排相声甲，有1
5
55A A =600种排法．根据加法计数原理可得共有720+600=1 320种排法． 16
．y =【解析】由题意知，2F (c ，0)，c
M (c ，M y )，
由2
222M y c a b -=1得2M y =2b ×(22c a −1)=42b a ，|M y |=2b a
．因为1F MN ∆是等边三角形，所以2c =3|M y |
，即222b c a ac ac -==，即223
c a --
=0，得3c a =2c =32a ，又2a +2b =2c ，所以2b =22a ，双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±
，故双曲线的渐近线方程为y =． 17．【解析】(1)由题意得，12123123
2269S a a a a a a a =-⎧⎪
+=-⎨⎪++=⎩，解得1a =1，2a =3，3a =5，（1分）
当n ≥2时，1n S -=(n −1)n a −(n −1)n ， 所以n a =n 1n a +−n (n +1)−(n −1)n a +(n −1)n ， 即1n a +−n a =2．（3分）
又2a −1a =2，因而数列{n a }是首项为1，公差为2的等差数列， 从而n a =2n −1． （5分） (2)由(1)知n b =n a ×
)
1
n a +=(2n −1)×2n
，
n T =1×21+3×22+5×23+…+(2n −3)×12n -+(2n −1)×2n ，
2n T =1×22+3×23+5×24+…+(2n −3)×2n +(2n − 1)×12n +． 两式相减得
−n T =1×21+ 2×22+ 2×23+…+2×2n −(2n −1)×12n +
=−2+2×(21+22+23+…+2n )−(2n − 1)×12n +
=−2+2×2(12)
12
n ⨯--−(2n −1)×12n +
=−2+22n +−4−(2n −1)×12n +=−6−(2n −3)×12n +． 所以n T =6+(2n −3)×1
2
n +．（12分）
【备注】高考对数列的考查难度不大，以基本题型为主，常常围绕等差数列、等比数列的定义、通项公式、
前n 项和公式等进行设置，而求和类型以错位相减法、裂项相消法为考查热点，数列的递推关系以及n S 与
n a 的关系(即11,
1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩)更是常考常新，对考生分析与转化能力有较高的要求，对于基本运算
能力的要求更为突出．
18．【解析】(1)由(0.002+ 0.005+0.008+2x + 2×0.02+0.025)×10=1，得x =0.01．（2分）
(2)由(1)得成绩在[130，150]内的频率为(0.01+0.008)×10=0.18，估计本次模拟考试数学成绩在[130，150]内的学生人数为1 000×0.18=180． （6分）
(3)由图得成绩在[80，100)内的试卷数为1 000×(0.01+0.005)×10=150，其中成绩在[80，90)内的试卷数为50，成绩在[90，100)内的试卷数为100，从中任取1份试卷，则成绩在[80，90)内的概率为501
1503
=，成绩在[90，100)内的概率为
1002
1503
=．
（8分） 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
故P(ξ=0)=0
3C ×0
2()3
×31()3=
1
27
，
P(ξ=1)=1
3C ×23×21()3=29，
P(ξ=2)=2
3C ×22()3
×13=49，
P(ξ=3)=3
3C ×32()3×01()3=827
．（10分）
所以ξ的分布列为
由于ξ~B (3，
23)，所以Eξ=3×3
=2．（12分） 【备注】高考对概率与统计的考查常以对立事件、互斥事件、相互独立事件等知识为载体，综合考查事件发
生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望，有时也与抽样方法(系统抽样、分层抽样)、频率分布直方图等知识结合构成综合性问题来考查．求解时要分清事件的类型以及事件之间的关系，正确选用公式． 19．【解析】(1)在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴
CD ⊥平面P AD ．又AF ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AF ．（2分） ∵底面ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，
又AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD ． 又A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD =EF ， ∴AB ∥EF ，∴CD ∥EF ．
又2AE AC AP =+，∴E 为棱PC 的中点，F 是棱PD 的中点． ∵△P AD 是正三角形，∴AF ⊥PD ．
又PD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD ， ∵AF ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD ．（5分）
(2)取AD 的中点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，
则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (−1，2，0)，P (0，0，E (−
12，1，AE =(−32，1，BE =(−3
2
，
−1，CB =(2，0，0)．（7分） 设平面ABE 的法向量为m =(1x ，1y ，1z )，则m ⊥AE ，m ⊥BE ，
∴m ·AE =−
3
2
1x +1y 1z =0，
m ·BE =−
3
2
1x −1y
1z =0，
解得1y =0，1z
1x ，
令1x =1，则m =(1，0
为平面ABE 的一个法向量．（9分） 设平面BEC 的法向量为n =(2x ，2y ，2z )，则n ⊥BE ，n ⊥CB ， ∴n ·BE =−
3
2
2x −2y
+22z =0，n ·CB =22x =0，得2x =0，2y
=
22z ， 令2z =2，则n =(0
2)为平面BEC 的一个法向量．（11分） ∴cos<m ，n
>=
||||7
⋅=
m n m n ， 由图知二面角A −BE −C 为钝角， ∴二面角A −BE −C 的余弦值为
−
7
．（12分） 20．【解析】(1)依题意得椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，即c =1，
又e =
c a =12
，∴a =2，2
b =3， 故椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．（3分） (2)∵|AF |是|AH |−|FH |与|AH |+|FH |的等比中项，
∴|AF |2=|AH |2−|FH |2，即|AF |2+|FH |2=|AH |2，∴直线1l ⊥2l ．（5分） 又直线1l ，2l 的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零， 故可设直线1l ：x =ky +1(k ≠0)，直线2l ：x =−
1
k
y +1，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，G (3x ，3y )，H (4x ，4y )， 由22
1431x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去x ，得(32
k +4)2y +6ky −9=0， ∴122122634
934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，同理得3422
342634934k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
，（8分） ∴|AF |·|FB
2
k )|12y y |，
|GF |·|FH
|=21
k
)|34y y |， ∴|AF |·|FB |+|GF |·|FH |=(1+2
k )|12y y |+(1+
2
1
k )|34y y | =(1+2
k )·2934k ++(1+21
k
)·22934k k +
=9(1+2
k )·(
2134k ++2
1
34k
+) =222
2222263(1)6312(1)12(1)k k k k
k +=++++=22
63
11212k k
+++， 又2
k >0，∴2
k +
2
1k
≥2，当且仅当2
k =1时取等号，（11分） 故|AF |·|FB |+|GF |·|FH |的最小值为36
7
．（12分）
【备注】解决此类问题的一般步骤：(1)利用定义、各基本量之间的关系与圆锥曲线的性质，得到关于基本量
的方程(组)，解方程(组)，求出基本量的值，从而得到圆锥曲线的方程；(2)对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解． 21．【解析】(1)由已知得()f x 的定义域为(0，+∞)，
()f x '=1
x
+ax −(a +1)=
2(1)1ax a x x -++． 当a =0时，()f x '=
1
x x
-+，当x ∈(0，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减． 当a <0时，由()f x '=
(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1
a
<0，
因而当x ∈(0，1)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（3分）
当0<a <1时，由()f x '=
(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1
a >1，
因而当x ∈(0，1)与x ∈(1
a
，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增，
当x ∈(1，1
a
)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（5分）
当a =1时，()f x '=2
(1)x x
-≥0，因而当x ∈(0，+∞)时，()f x 单调递增．
当a >1时，由()f x '=(1)(1)ax x x --=0，得x =1或x =1
a
<1，
因而当x ∈(0，1
a
)与x ∈(1，+∞)时， ()f x '>0，()f x 单调递增， 当x ∈(
1
a
，1)时，()f x '<0，()f x 单调递减．（7分） 综上所述，当a ≤0时，()f x 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减； 当0<a <1时，()f x 在(0，1)与(
1a ，+∞)上单调递增，在(1，1
a
)上单调递减； 当a =1时，()f x 在(0，+∞)上单调递增；
当a >1时，()f x 在(0，
1a )与(1，+∞)上单调递增，在(1
a ，1)上单调递减． (2)()g x = ()f x +x =ln x +2
a 2
x −ax ，则()g x 的定义域为(0，+∞)，
()g x '=1
x
+ax −a =
21ax ax x -+． 若()g x 有两个极值点1x ，2x (1x <2x )， 则方程a 2
x −ax +1=0的判别式Δ=2
a −4a >0， 且1x +2x =1，1x 2x =
1
a
>0，（8分） 因而a >4，又
1x <2x ，∴2
1x <1x 2x =1
a ，即0<1x g (1x )−g (2x )=ln 1x +212a x −a 1x −ln 2x −22
2a x +a 2x =ln 1x +ln(a 1x )+2a
−a 1x ．（10分） 设()h t =ln t +ln(at )+
2a
−at ，其中t =1x ∈(0，
由()h t '=
2
t −a =0得t =2a ，由于2a 2a <0，
∴()h t 在(0，
2
a )上单调递增，在(2
a 上单调递减， 即()h t 的最大值为h (2a )=2ln 2−ln a +2a −2<2
a
−ln a ， 从而g (1x )−g (2x )<
2
a
−ln a 成立． （12分）
22．【解析】(1)
将1cos 2sin x t y t αα
⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数，0<α<2π)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y
−2=(x −12)tan
α，即x tan α−y −
12tan α
α<2
π
)．
将cos sin x y ρθθ
=⎧⎨=⎩代入22cos 30ρρθ--=，得22
230x y x +--=， 即曲线C 的直角坐标方程为2
2
(1)4x y -+=．（5分）
(2)设直线l 的普通方程为y
k (x −1
2
)，其中k =tan α， 又0<α<
2
π
，∴k >0， 则直线l 过定点M (
12
，
∵圆C 的圆心C (1，0)，半径r =2，|CM 22
1
3(1)(0)22
-+-， 故点M 在圆C 的内部．
当直线l 与线段CM 垂直时，|AB |取得最小值，
∴|AB |min =2|AM
（10分）
23．【解析】(1)由题意()|1|2|2|
f x x x =++-4，
当x −1时，−3x +34，即x −
1
3
，所以x −1； 当−1<x <2时，−x +54，即x 1，所以−1<x 1； 当x 2时，3x −34，即x 7
3
，所以x 73
． 综上，不等式()
f x 4的解集为{x |x 1或x 7
3
}．（5分）
(2)()f x =33,15,1233,2x x x x x x -+-⎧⎪
-+-<<⎨⎪-⎩
≤≥，画出函数()f x 的图象如图所示，由图可知，
当x =2时，()f x 取得最小值3，所以M =3，a +b =3．
又a >0，b >0，所以
24a b +=(24a b +)·
3
a b +=2+23b a +43a
b ，
当且仅当a −3，b 时，等号成立，
所以24
a b
+的最小值为．（10分）。