初中九年级数学教案-求根公式中根的判别式的应用-市赛一等奖

课题：求根公式中根的判别式的应用
教学目标：
1. 根的判别式是判断方程实根个数的公式，理解求根公式中根的判别式意义．
2. 在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。

3. 培养学生分类讨论的数学思想，培养思维的严密性。

教学重点：会用判别式判定根的情况，能求出符合题意的字母的取值范围。

教学难点：一元二次方程根的判别式的三种情况推导。

教学过程：
一、知识回顾：
1、解一元二次方程，已知a 2bc=0（a ≠0）且判别式Δ=b 2-4ac ≥0,它的求根公式=2b a
-±
2、一元二次方程的根的判别式
（1） 当Δ=b 2−4ac >0时，方程有两个不相等的实数根1=2b a -，2=2b a
-- （2） 当Δ=b 2−4ac =0时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=−b 2a
（3） 当Δ=b 2−4ac <0时，方程没有实数根
反过来也成立
（1）方程有两个不相等实数根Δ>0
（2）方程有两个相等实数根Δ=0
（3）方程没有实数根Δ<0
（4）方程有实数根Δ≥0（包括两种情况）
利用方程根的判别式来解决具体的问题是中考的一个热点
二、典例精讲
例1. 关于的方程mx 2+(m +3)x +3=0一定有实数根吗为什么
解：Δ=b 2−4ac
=(m +3)2−4m ×3
=(m −3)2
∵对于任意实数m ，(m −3)2≥0 即Δ≥0
∴不论m 为何值，方程mx 2+(m +3)x +3=0总有实数根
例2. 已知关于的方程x 2+(2m −1)x +4=0有两个相等实数根，求m−1
（2m−1）2+2m 的值
解： ∵关于的方程x 2+(2m −1)x +4=0有两个相等实数根
∴满足Δ=（2m −1）2−4×1×4=0
即2m −1=±4
解得m 1=52 ,m 2=−32
当m 1=52 时，m−1(2m−1)2+2m =52−1(2×52−1)2+2×52
=
114 当m 2=−32时，m−1(2m−1)2+2m =−32−1[2×（−32）−1])2+2×(−32)
=−5 26
例3.若t是非负整数，且一元二次方程(1−t2)x2+2(1−t)x−1=0有两个实数根，求t的值及对应方程的根解：∵关于的一元二次方程(1−t2)x2+2(1−t)x−1=0有两个实数根
∴满足1−t2≠0
Δ=[2(1−t)]2−4(1−t2)×(−1)≥0
即t≠±1, 4(1−2t+t2)+4−4t2≥0
解得t<1且t≠−1
又∵t是非负整数t<
∴t=0
当t=0时，原方程变为x2+2x−1=0
解得x1=√2−1，x2=−√2−1
课堂小结：根的判别式是判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。

是学生容易忽视的内容，设计本课题，强化训练用一元二次方程根的判别式确定字母的取值范围时，要考虑二次项系数不为零的条件。