椭圆、双曲线、抛物线答案

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椭圆、双曲线、抛物线
1、答案 D 解析 由题意知:抛物线的焦点为(-2,0).又顶点在原点,所以抛物线方程为y 2=-8x .
2、答案 B 解析双曲线中c =3,e =32,故a =2,b =c 2-a 2=5, 故双曲线方程为x 24-y 25
=1. 3、答案 C 解析 ⎩
⎪⎨⎪⎧ 2k -1>2-k ,2-k >0,∴1<k <2. 4、答案 B 解析 由题知|AF 1|+|AF 2|=2a (设a 为椭圆的长半轴),|AF 1|-|AF 2|=2,而|F 1F 2|
=|F 1A |=4,因此可得2×|F 1A |=2a +2,∴8=2a +2,∴a =3,又c =2,故C 2的离心率e =23
. 5、答案 A 解析 由题意知e 1=c 1a ,e 2=c 2a
, ∴e 1·e 2=c 1a ·c 2a =c 1c 2a 2=32
. 又∵a 2=b 2+c 21,c 22=a 2+b 2,∴c 21=a 2-b 2,
∴c 21c 22a 4=a 4-b 4a
4=1-⎝⎛⎭⎫b a 4, 即1-⎝⎛⎭⎫b a 4=34,
解得b a =±22,∴b a =22. 令x 2a 2-y 2b
2=0,解得bx ±ay =0, ∴x ±2y =0.
6、答案 B 解析 联立已知条件和双曲线的定义,建立关于a ,b ,c 的方程,求离心率. 不妨设P 为双曲线右支上一点,|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2.
根据双曲线的定义,得r 1-r 2=2a ,
又r 1+r 2=3b ,故r 1=3b +2a 2,r 2=3b -2a 2
. 又r 1·r 2=94ab ,所以3b +2a 2·3b -2a 2=94
ab , 解得b a =43(负值舍去). 故e =c a = a 2+b 2a 2= ⎝⎛⎭⎫b a 2+1= ⎝⎛⎭⎫432+1=53
,故选B. 7、答案 9 解析 ∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,由椭圆方程知a =5,b =3,∴c
=4.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2=64,|PF 1|+|PF 2
|=2a =10. 解得|PF 1||PF 2|=18,
∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=12
×18=9. 8、答案 3-1 解析 由直线方程为y =3(x +c ),
知∠MF 1F 2=60°,
又∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,
所以∠MF 2F 1=30°,MF 1⊥MF 2,
所以|MF 1|=c ,|MF 2|=3c ,
所以|MF 1|+|MF 2|=c +3c =2a .
即e =c a
=3-1.
9、答案 433 解析 经过第一象限的双曲线的渐近线为y =33
x .抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0,p 2,双曲线的右焦点为F 2(2,0).y ′=1p x ,由题意知在M ⎝⎛⎭⎫x 0,x 202p 处的切线斜率为33,即1p x 0=33
,所以x 0=33p ,点F ⎝⎛⎭⎫0,p 2,F 2(2,0),M ⎝⎛⎭⎫3
3p ,p 6共线,所以p 2-00-2=p 6-p 233
p -0,即p =433. 10、答案 B 解析 设出直线AB 的方程,用分割法表示出△ABO 的面积,将S △ABO +S △AFO 表示为某一变量的函
数,选择适当方法求其最值.
设直线AB 的方程为x =ny +m (如图),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
∵OA →·OB →=2,∴x 1x 2+y 1y 2=2.
又y 21=x 1,y 22=x 2,∴y 1y 2=-2.
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2=x ,x =ny +m ,得y 2-ny -m =0, ∴y 1y 2=-m =-2,
∴m =2,即点M (2,0).
又S △ABO =S △AMO +S △BMO =12|OM ||y 1|+12
|OM ||y 2|=y 1-y 2, S △AFO =12|OF |·|y 1|=18
y 1, ∴S △ABO +S △AFO =y 1-y 2+18y 1=98y 1+2y 1≥2 98y 1·2y 1
=3, 当且仅当y 1=43
时,等号成立. 11、答案 5 解析 由已知可得,△PF 1F 2为直角三角形,且|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,又|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|=|PF 1|2+|PF 2|2,即2|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2,把|PF 1|=2|PF 2|代入得,|PF 2|=b ,|PF 1|=2b ,代入|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2得5b 2=5c 2-5a 2=4c 2,
∴c 2=5a 2,e =c a = 5.
12、解 (1)根据c =a 2-b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ,b 2a ,b 2a 2c =34
,2b 2=3ac .将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac ,解得c a =12,c a =-2(舍去).故C 的离心率为12
. (2)由题意,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,
所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点,
故b 2a
=4,即b 2=4a .① 由|MN |=5|F 1N |得|DF 1|=2|F 1N |.
设N (x 1,y 1),由题意知y 1<0,
则⎩⎪⎨⎪⎧ -c -x 1=c ,-2y 1=2,即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1=-32c ,y 1=-1.
代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 将①及c =a 2-b 2代入②得a 2-4a 4a 2+14a
=1. 解得a =7,b 2=4a =28,故a =7,b =27.
13、解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0).
由|AB |=32
|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2. 又b 2=a 2-c 2,则c 2a 2=12
. 所以,椭圆的离心率e =22
. (2)由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2.
故椭圆方程为x 22c 2+y 2
c
2=1. 设P (x 0,y 0).由F 1(-c,0),B (0,c ),
有F 1P →=(x 0+c ,y 0),F 1B →=(c ,c ).
由已知,有F 1P →·F 1B →=0,
即(x 0+c )c +y 0c =0.又c ≠0,故有x 0+y 0+c =0.① 因为点P 在椭圆上,故x 202c 2+y 20c
2=1.② 由①和②可得3x 20+4cx 0=0.
而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=-43
c , 代入①得y 0=c 3
,即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫-4c 3,c 3. 设圆的圆心为T (x 1,y 1),
则x 1=-43c +02=-23c ,y 1=c 3+c 2=23
c , 所以圆的半径r =x 1-2+y 1-c 2=53
c . 由已知,有|TF 2|2=|MF 2|2+r 2,
又|MF 2|=22,故有⎝⎛⎭⎫c +23c 2+⎝⎛⎭⎫0-23c 2=8+59c 2,解得c 2=3.
所以,所求椭圆的方程为x 26+y 23
=1.
14、解 (1)设点C 的坐标为(x ,y ),则x 2a
+y 2=1, 连接CG ,由CA →=CG →+GA →,CB →=CG →+GB →=CG →-GA →,
又G (0,2),
可得CA →·CB →=CG →2-GA →2=x 2+(y -2)2-94=a (1-y 2)+(y -2)2-94=-(a -1)y 2-4y +a +74
,其中y ∈[-1,1].
因为a >1,故当y =4-a
≤-1,即1<a ≤3时, 取y =-1,得CA →·CB →有最大值-(a -1)+4+a +74=274
,与条件矛盾; 当y =4-a >-1,即a >3时,CA →·CB →的最大值是-a ⎝⎛⎭⎫a +74-16-a
, 由条件得-a ⎝⎛⎭⎫a +74-16-a
=314,即a 2-7a +10=0,解得a =5或a =2(舍去). 综上所述,椭圆Ω的方程是x 25
+y 2=1. (2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),PQ 的中点坐标为(x 0,y 0), 则满足x 215+y 21=1,x 225
+y 22=1,两式相减, 整理得y 2-y 1x 2-x 1=-x 2+x 1y 2+y 1
=-x 05y 0, 从而直线PQ 的方程为y -y 0=-x 05y 0
(x -x 0), 又右焦点F 2的坐标是(2,0),
将点F 2的坐标代入PQ 的方程得-y 0=-x 05y 0
(2-x 0), 因为直线l 与x 轴不垂直,
故2x 0-x 20=5y 20>0,从而0<x 0<2.
假设在线段OF 2上存在点M (m,0)(0<m <2),使得以MP ,MQ 为邻边的平行四边形是菱形,
则线段PQ 的垂直平分线必过点M ,而线段PQ 的垂直平分线方程是y -y 0=5y 0x 0
(x -x 0),将点M (m,0)代入得-y 0=5y 0x 0
(m -x 0), 得m =45
x 0,从而m ∈⎝⎛⎭⎫0,85.。

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