2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市四校联考高二上学期11月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年湖南省长沙市宁乡市四校联考高二上学期11月月考数
学试题
一、单选题
1．已知向量(2,3,1),(2,0,3),a b =-=则()a a b ⋅+=（ ） A ．21 B ．－21 C ．20 D ．－20
【答案】A
【解析】先求a b +的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求数量积. 【详解】()4,3,4a b +=-，所以()
()()24331421a a b ⋅+=⨯+-⨯-+⨯=. 故选：A
2．圆()2
224x y -+=与圆()()2
2
219x y +++=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．相离
【答案】C
【解析】计算出两圆的圆心距离，比较与半径之和、半径之差的大小关系即可得解. 【详解】由题意，圆()2
224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，
圆()()2
2
219x y +++=的圆心为()2,1--，半径为3，
因为两圆心的距离d ==3232d -<<+，
所以两圆相交. 故选：C.
3．已知椭圆C ：22
194
x y +=的左右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且
118AF BF +=，则AB =（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】A
【解析】利用椭圆的定义得到 114AF BF AB a ++=，再根据118AF BF +=求解. 【详解】由椭圆22
:194
x y C +
=知：a =3， 由椭圆的定义得：121226,26AF AF a BF BF a +==+==，
所以11412AF BF AB a ++==， 又因为118AF BF +=， 所以AB 4=， 故选：A 4．“1
4
a =
”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先根据直线平行的充要条件求出a ，然后可得. 【详解】若1
4
a =
，则1:240l x y +-=，2:220l x y +-=，显然平行； 若直线12l l ∥，则2(21)a a a -=-且()2a a --≠，即14
a =. 故“1
4
a =
”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的充要条件. 故选：C
5．已知a ，b 为空间向量，若已知a b a b ==+，则,a b =（ ） A ．
3
π B ．
2
π C ．
56
π D ．
23
π 【答案】D
【分析】根据向量的模的公式与夹角公式计算求解即可.
【详解】解：因为a b a b ==+，平方可得22222
2a b a b a b a b ==+=++⋅，
所以2
2
b
a b ⋅=-
，
所以2
2
12cos ,2b
a b a b a b b
-
⋅===-⋅，
因为[],0,a b π∈，所以2,3
a b π=． 故选：D
6．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，0
1112,2,3,60AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=，
则1BC 与1CA 所成角的余弦值为（ ）
A ．12
B 2
C 3
D ．0
【答案】D
【分析】设1,,AB A b c a D AA ===，利用空间向量的线性运算结合空间向量数量积的定义，得到
11BC CA ⊥，从而得到答案．
【详解】解：设1,,AB A b c a D AA ===， 则111BC BC CC AD AA b c =+=+=+，
111CA CA AA CB BA AA a b c =+=++=--+，
则2211()()BC CA b c a b c a b b b c a c b c c ⋅=+⋅--+=-⋅-+⋅-⋅-⋅+
2211
2222332439022
=-⨯⨯--⨯⨯+=---+=
所以11BC CA ⊥，
则1BC 与1CA 所成角为90︒，
所以1BC 与1CA 所成角的余弦值为0． 故选：D ．
7．已知1F ，2F 是双曲线22
2
21(00)x y E a b a
b
-=>>：，的左，右焦点，点M 在E 上，2MF 垂直于x 轴，121
sin 3
MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）
A 3
B 2
C ．2
D ．32
【答案】B
【分析】在21Rt MF F △中，设2MF x =，根据已知可得13MF x =，2122F F x =. 结合双曲线的定义即可求得x 与a 的关系，进而求得离心率.
【详解】由已知可得，21Rt MF F △中，21213
s n 1
i F MF M F MF ∠==. 设2MF x =()0x >，则13MF x =，22
2
12122F M M x F F F =
-=.
根据双曲线的定义可知，122MF MF a -=，即22x a =，x a =，12222F F c a ==. 所以，2c a =，2c
e a
=
=.
故选：B.
8．过抛物线22y px =焦点F 的直线，与抛物线交于A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则
12
12
y y x x = （ ） A ．-4 B ．4
C ．4p
D ．-4p
【答案】A
【解析】设直线AB 的方程为2
p
my x =-，与抛物线方程联立，化为2220y pmy p --=，利用根与系数的关系即可得出
【详解】解：设直线AB 的方程为2
p
my x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立222p my x y px ⎧
=-
⎪⎨
⎪=⎩
， 消去x 化为2220y pmy p --=，
所以2
1212,2y y p y y pm =-+=，
所以22
12121212()()()2224
p p mp p x x my my m y y y y =++=+
++ 22
2
2
2244
mp p p p m mp =-+⨯+=，
所以2
122124
4
y y p p
x x -==-， 故选：A
【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论 设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则
（1）2
212124
p x x y y p ==-；
（2）弦长122
2sin p
AB x x p α
=++=（α是直线AB 的倾斜角）； （3）
112FA FB p
+=
二、多选题
9．已知空间向量(1,2,1),(3,2,1)=-=--a b ，则（ ） A ．||6a = B ．a b ∥
C ．a b ⊥
D ．()10+⋅=a b b
【答案】AC
【分析】根据向量模的计算公式可判断A;看向量,a b 是否有倍数关系可判断B;根据数量积的计算，看a b ⋅是否为零，可判断C ；根据向量的运算结果，可判断D.
【详解】因为||1(=+-=a ，所以A 正确； 因为不存在λ使λa b ，所以B 不正确；
因为132(2)(1)(1)0⋅=⨯+⨯-+-⨯-=a b ，所以a b ⊥，所以C 正确；
因为(4,0,2)+=-a b ，所以()430(2)(2)(1)14+⋅=⨯+⨯-+-⨯-=a b b ，所以D 不正确, 故选：AC.
10．已知点(1,3)M -，直线:20l x my --=和圆22:(1)1C x y -+=，则（ ） A ．点M 在圆C 外 B ．直线l 过定点(2,0)
C ．直线l 与圆C 相交
D ．点M 到直线l 【答案】ABD
【分析】根据给定条件求出直线l 过的定点、圆C 的圆心和半径，再逐一分析各选项判断作答. 【详解】直线:20l x my --=恒过定点(2,0)A ，圆22:(1)1C x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1r =，
对于A ，||3MC r >，则点M 在圆C 外，A 正确； 对于B ，直线l 过定点(2,0)，B 正确；
对于C ，因||1AC r ==，即点(2,0)A 在圆C 上，直线l 与圆C 相交或相切，C 不正确；
对于D ，点M 到直线l
距离d === 当且仅当3m =-时取“=”，即点M 到直线l
D 正确. 故选：ABD
11．已知P 是椭圆C ：2
216x y +=上的动点，Q 是圆D ：221(1)5x y ++=上的动点，则（ ）
A ．C
B ．C
C ．圆
D 在C 的内部 D ．|PQ |
【答案】BC
【分析】根据椭圆方程直接判断A 、B 的正误，判断圆心与椭圆左焦点的距离及圆心横坐标对应椭圆点与圆心的距离，与圆的半径长度关系判断C 的正误，要使||PQ 最小，保证P 、Q 、D
共线，即min min ||||PQ PD =设(,)P m n 应用两点距离公式及椭圆方程求||PD 最小值，即可判断D 的正误. 【详解】
由椭圆方程知：1,a b c ===
故焦距为2c =故A 错误；C
的离心率c e a ==
，故B 正确；
由圆D 的方程知：圆心(1,0)D -
1>=1x -的点到D
的距离为||y =
>
D 在C 的内部，故C 正确； 设(,)P m n ，则22
16
m n =-，而222
225564||(1)22()6655PD m n m m m =++=++=++
，又m ≤
可知min ||PD =
min min ||||PQ PD ==
D 错误. 故选：BC
12．若方程22
1cos sin x y θθ
+=，02πθ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
,所表示的曲线为C ，则下列命题正确的是（ ） A ．曲线C 可以表示圆 B ．若曲线C 是椭圆，则02πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,
C ．曲线C 不可能表示直线
D ．若,2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则C 为双曲线
【答案】ACD
【解析】当4π
θ=时，化简方程可判断出A 正确；曲线C 是椭圆，则cos 0sin 0cos sin θθθθ
>⎧⎪
>⎨⎪≠⎩
，解出θ可判断B
不正确；由0,,22πππθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，cos 0θ≠，sin 0θ≠，可判断出C 正确；若,2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则
cos 0,sin 0θθ<>，可判断出D 正确．
【详解】当4π
θ=时，方程221cos sin x y θθ+=，化为222
2
x y +=
，表示圆，所以A 正确； 曲线C 是椭圆，则cos 0sin 0cos sin θθθθ
>⎧⎪>⎨⎪≠⎩
，解得0,,44ππθπ⎛⎫⎛⎫
∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确；
由0,,22πππθ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos 0θ≠，sin 0θ≠，所以曲线C 不可能表示直线，所以C 正确；
若,2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则cos 0,sin 0θθ<>，C 为双曲线，所以D 正确；
故选：ACD
三、填空题
13．如图，正方形ABCD 的边长为3，则AB AC ⋅=__________________.
【答案】9
【分析】在正方形中确定向量的模以及夹角，再根据数量积的定义进行计算即可. 【详解】解析：正方形ABCD 的边长为3，则AC 长为32 向量,AB AC 的夹角为
4π
， 故2
||||cos 33294
2
AB AC AB AC π
⋅=⋅=⨯⨯
=， 故答案为：9.
14．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为________．
【答案】
62
【分析】建立空间直角坐标系，按照空间中两点的距离公式求解即可.
【详解】解析：以D 为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，可得()
21,1,2,1,2,2E F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
所以20,1,EF ⎛= ⎝⎭
，所以EF ＝22261()2+-所以|EF |＝
6
2615．已知线段AB 的端点B 的坐标是(3,4)，端点A 在圆22(2)(1)2x y ++-=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是_________. 【答案】22(21)(25)2x y -+-=
【解析】设出A 和M 的坐标，由中点坐标公式把A 的坐标用M 的坐标表示，然后代入圆的方程即可得到答案.
【详解】设()11,A x y ，线段AB 的中点M 为(,)x y . 则1
132
42
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即112324x x y y =-⎧⎨
=-⎩①. ∵端点A 在圆22(2)(1)2x y ++-=上运动， ∴()()2
2
11212x y ++-=.
把①代入得：22(21)(25)2x y -+-=.
∴线段AB 的中点M 的轨迹方程是22(21)(25)2x y -+-=. 故答案为22(21)(25)2x y -+-=.
四、双空题
16．已知直线:4360l x y -+=，抛物线C ：24y x =上一动点P 到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为______，P 到直线l 距离的最小值为______． 【答案】 1
3
4
##0.75 【分析】将P 到y 轴距离转化为P 到准线的距离减1，再由抛物线的定义转化为PF ，再由点到直线的距离求解即可；先求出平行于直线l 且与抛物线相切的直线方程，再由两平行线间的距离求解即可.
【详解】
设抛物线C ：24y x =上的点P 到直线:4360l x y -+=的距离为1d ，到准线的距离为2d ，到y 轴的距离为3d ，
由抛物线方程可得：焦点F 的坐标为()1,0，准线方程为=1x -，则321d d =-，2PF d =，
因此1312111d d d d d PF +=+-=+-，因为1d PF +的最小值是焦点F 到直线:4360l x y -+=的距离，
()
2
2
46
243+=+-，
所以1311d d d PF +=+-的最小值为211-=；
设平行于直线l 且与抛物线C ：24y x =相切的直线方程为430x y m -+=，
由24304x y m y x
-+=⎧⎨=⎩，得230y y m -+=，因为直线430x y m -+=与抛物线C ：24y x =相切，
所以()2
340m ∆=--=，解得9
4
m =
，因此该切线的方程为94304x y -+=，
所以两平行线间的距离为
()
2
29634
4
43-=+-，即P 到直线l 距离的最小值为34．
故答案为：1；3
4
.
五、解答题
17．已知直线12:310:240++=⋅-+=l x y l x y 和圆22:22230C x y x y +---=，设1l 与2l 的交点为P ，直线2l 与圆C 的交点为A ，B ，求： (1)点P 的坐标； (2)线段AB 的长. 【答案】(1)(1,2)- (2)45
【分析】（1）两直线方程联立方程组可解得交点坐标； （2）求出圆心到直线2l 的距离，用勾股定理计算弦长．
【详解】（1）由310,240,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =-⎧⎨=⎩所以点P 的坐标为(1,2)-；
（2）因为圆C 的方程可化为22(1)(1)25x y -+-=， 所以圆C 的圆心坐标为(1,1)C ，半径为=5r ， 所以圆心C 到直线2l 的距离为|2114|
55
⨯-+==d ， 所以22||245=-=AB r d .
18．已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C - （1）求以,AB AC 为边的平行四边形的面积;
（2）若向量a 分别与,AB AC 垂直，且|a |=3，求a 的坐标. 【答案】（1）73；（2）()1,1,1a =或()1,1,1--- 【详解】(1)∵
=(-2,-1,3),
=(1,-3,2),
∴||=,||=,cos ∠BAC==,∴∠BAC =60°, ∴S=||·||sin ∠BAC =7
. (2)设向量a =(x,y,z ),则由a ·=0, a ·=0,| a |=,得 ∴或
∴a =(1,1,1)或(-1,-1,-1). 【点睛】本题主要考查向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示以及向量夹交余弦公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行;（2）两向量垂直.
19．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>经过1(0,1),3,2⎫⎪⎭ （1）求椭圆E 的方程；
（2）若直线:10l x y --=交椭圆E 于不同两点,,A B O 是坐标原点，求OAB 的面积.
【答案】(1)2
214
x y +=；(2)45． 【分析】(1)将两点坐标代入椭圆方程中，求出,a b 的值，可求出椭圆的方程；
(2)直线l 方程与椭圆方程联立，消去x ，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标12,y y ，设直线:10l x y --=与x 轴交于点P ，利用1212
S OP y y =-进行求解． 【详解】(1)由题意得: 22213114b a
b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩, 解得: 2,1a b == 即轨迹E 的方程为2
214
x y += (2)记()()1122,,,A x y B x y ，
AB 的方程为1x y =+
由22441
x y x y ⎧+=⎨=+⎩消去x 得25230y y +-=， 所以1231,5
y y =-= 设直线l 与x 轴交于点1,0P
12118412255
S OP y y =-=⨯⨯=
20．如图，在四棱锥E ABCD -中，BE ⊥底面ABCD ，
BC AD ∥，AB AD ⊥，1AB BC ==，3AD BE ==.
(1)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值；
(2)求平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值.
【答案】2 346
【分析】（1）由向量法即可求得异面直线的夹角余弦值；
（2）由向量法即可求得面面角的夹角余弦值.
【详解】（1）因为BE ⊥底面ABCD ，,BA BC ⊂底面ABCD ，
所以BE BA ⊥，BE BC ⊥，
且AB AD ⊥，BC AD ∥，所以BA BC ⊥，
以B 为坐标原点，分别以,,BE BA BC 为.,x y z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则()0,1,0A ，()0,0,1C ，()3,0,0E ，()0,1,3D ，
则()3,1,0AE =-，()0,1,2CD =， 所以2cos ,105
AE CD ==⨯ 故异面直线AE 与CD 2
（2）()3,0,1CE =-，设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =，
则00n CE n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即3020x z y z -=⎧⎨+=⎩， 令1x =，得()1,6,3n =-.
易知()0,0,1m =是平面ABE 的一个法向量， 因为3346cos ,4646
m n ==， 所以平面CDE 与平面ABE 夹角的余弦值为
34646. 21．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥，N 分别是棱 1,CC BC 的中点，点P 在线段11A B 上.
(1)当直线PN 与平面111A B C 所成角最大时，求线段1A P 的长度；
(2)是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面1AC C 6若存在，试确定点P 的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)1
2
(2)存在， A 1P =14
【分析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得.
【详解】（1）直线PN 与平面A 1B 1C 1所成的角即为直线PN 与平面ABC 所成角，
过P 作PH AB H ⊥于,PNH ∠即PN 与面ABC 所成的角，
因为PH 为定值，所以当NH 最小时线面角最大，
因为当P 为中点时，NH AB ⊥,此时NH 最小，
即PN 与平面ABC 所成角最大，此时112
A P =.
（2）以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴建立空间坐标系，则：
A （0,0,0),
B (1,0,0),
C (0,1,0),A 1(0,0,1)
设111(1,0,0)A P A B λλ===00λ（，，）
(,0,1)P λ∴，111001222
N M （，，），（，，）， 11111122222
NP NM λ=--=-（，，），（，，），设平面PMN 的法向量为,,)n x y z =（， 则00NP n NM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即110220x y z x y z λ⎧⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-++=⎩
，解得1(3,21,22)n λλ=+-， 平面AC 1C 的法向量为2(1,0,0)n =
121222126cos ,98458414n n n n n n λλλλ⋅====+-+-+,
21168104
λλλ∴-+==，. 所以P 点为A 1B 1的四等分点，且A 1P =14
. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的左､右焦点为1F ､2F ，离心率为12，过2F 的直线l 交C 于A ､B 两点，若1AF B △的周长为8.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆上存在两点关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围.
【答案】（1）22143
x y +=；（2
）m <<【解析】（1）依题意可得14AF B a C =，即可求出a ，再根据椭圆的离心率求出c ，最后根据,,a b c 的关系求出b ，即可求出椭圆方程；
（2）设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为
14
y x t =-+，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由0∆>求出t 的取值范围，再由AB 的中点在直线4y x m =+上，即可得到m 与t 的关系，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：（1）1AF B △周长为8，即48a =，2a ∴=.又因为12
e =
，1c ∴=
，b =椭圆方程22
143x y C +=：， （2）设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为
14y x t =-+，由221414
3y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 有：2213816480x tx t -+-= 由22(8)413(1648)0.t t ∆=--⨯⨯->得213,4
t <① 又1212128124,()213413
t t x x y y x x t +=+=-++= 因为AB 的中点在直线4y x m =+上，所以
1212422y y x x m ++=+，即12441313t t m =⨯+ 所以1340m t +=②，由①②得：2413m <
，即m <<【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。