(完整版)2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理数)试题及答案,推荐文档

2017届广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号•写在本试卷上无效.
3. 回答第n 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
（1）复数1
的共轭复数是
(B ) 13
(C ) 4或 10
(D ) 1 或 13
、选择题：本小题共 12题，每小题 题目要求的。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
(A) 1 (B) 1
(C ) 1
(D) 1 i
（2）若集合 XX
1 ，则
(3) (5) 是双曲线C 的左，右焦点
点P 在双曲线C 上，且PF 1
7,则PF ?等于
(A) 1
如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是
某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图 ， 8
且该几何体的体积为
，则该几何体的俯视图可以是 3
(7) 五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的
硬币•若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着•那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为
，八 1
15
11
5
(A ) 一
( B )
( C )
( D )
2 32
32 16
2 2
X y
(8) 已知F 1，F 2分别是椭圆2 1 a b 0的左，右焦点，椭圆C 上存在点P
a b
使 F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是
/A
、血，
1 c 迈
1 (A )
,1
(B ) -,1
(C )
0,
( D )
0- 2
2 2
2
(9)已知 p: x 0,e x
ax 1
成立,q
x
:函数f X
a 1在R 上是减函数
,贝U p 是
q 的
(A )充分不必要条件
(B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件
(10)《九章算术》中，将底面为长方形且有 条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马
;将
四
个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑•若三棱锥
P ABC 为鳖臑，PA 丄平面
ABC ，PA AB 2, AC 4,三棱锥P ABC 的四个顶点都在球 0的球面上 则球O 的表面积为
(11)若直线y 1与函数f x 2sin2x 的图象相交于点 P %,% , Q 屜，y 2，且
x 1
x 2
2
，则线段PQ 与函数f x 的图象所围成的图形面积是
3
(A )-
2
-亦 (B )
逅
(C )
43 2 (D )
^3 2
3
3 3 3
3 3 1 2016 k (12 )已知函数f X X
x x 贝U f 的值为
2
4 8’ k
1 2017
(B)
(D)
(6)
(A) 8 (B) 12 (C ) 20
(D) 24
(A) 0 (B) 504 (C ) 1008 (D) 2016
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13〜21题为必考题，每个考生都必须作答。

第
22〜23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

(13)__________________________________________________________________ 已知a 1, b J2，且a (a b)，则向量a与向量b的夹角是___________________________________ .
n 3
(14) 3 x的展开式中各项系数和为64，则X3的系数为
.(用数字填写答案)
21% x 0
(15 )已知函数f x ' '若f a 2则实数a的取值范围是_______________
1 log2X, X 0, '
*
(16) 设S n为数列a n的前n项和，已知印2,对任意p,q N ,都有a p q a p a q,
则f n §— (n N*)的最小值为 _________________ .
n 1
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17) (本小题满分12分)
(I ) 求ACP ;
3眼
(n )若厶APB的面积是',求sin BAP . 2
(18) (本小题满分12分
近年来，我国电子商务蓬勃发展• 2016年“618期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6,对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次•
(I )根据已知条件完成下面的 2 2列联表，并回答能否有99%的把握认为网购者对
商品满意与对服务满意之间有关系” ？
对服务满意对服务不满意合计
对商品满意
80
对商品不满意
合计200
(n )若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX
附:
2
K (其中n abed为样本容量)
abed a e b d
P K2 k0.150.100.050.0250.010
如图,
在厶PAC 60 , PC 2, AP AC 4.
A
k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635
(19) (本小题满分12分)
如图1,在直角梯形 ABCD 中，AD //BC , AB 丄BC , BD 丄DC ,点E 是BC 边的 中点,将厶ABD 沿BD 折起，使平面 ABD 丄平面BCD ，连接AE , AC , DE ，得到如 图2所示的几何体.
(I )求证：AB 丄平面ADC ；
(n )若 AD 1，二面角 C AB 的余弦值.
(20) (本小题满分12分)
4y 的两条切线，切点分别为 A X 1,y 1 , B X 2,y 2
(I )证明：MX ?
%丫2为定值；
(n )记厶PAB 的外接圆的圆心为点 M ,点F 是抛物线C 的焦点，对任意实数a ,试 判断以PM 为直径的圆是否恒过点 F ?并说明理由•
(21) (本小题满分12分)
a 已知函数f x ln x a 0 .
x
(I )若函数f x 有零点，求实数a 的取值范围 (n )证明：当 a - , b 1 时，f Inb -.
e b
请考生在第22〜23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

(22) (本小题满分10分)选修4— 4:坐标系与参数方程
x 3 t 在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为
1
(t 为参数)•在以坐标原点为极点
y 1 t/ x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ，曲线C:
2. 2 cos
•
4
(I )求直线I 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (n )求曲线C 上的点到直线I 的距离的最大值• (23) (本小题满分10分)选修4— 5:不等式选讲
D 的平面角的正切值为..6，求二面角B AD E
2
过点P a, 2作抛物线C: x
图1
A
2
已知函数f x x a 1 x 2a . (I )若f 1
3，求实数a 的取值范围
(n )若 a 1,x R ,求证：f x 2.
数学(理科)参考答案
评分说明：
1 •本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，
但不得超过该部分正确解答应得分数的
半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.
只给整数分数.选择题不给中间分.
、选择题
(1) B (7) C (2) C (8) A
(3) A (9) B
(4) B (10) C
(5) D (11) A
(6) D (12) B
、填空题
(13)
(14)
540
1
(15)
U 8, (16)
29
4
2
2
三、解答题
(17)解： (I )在厶 APC 中，因为 PAC 60 , PC 2, AP AC 4,
2
整理得AP 4AP 4 0, ............................. 2分
解得AP 2. .................3 分 所以AC 2.
.................4 分
所以△ APC 是等边三角形 ....................5分 所以 ACP 60.
............................ 6 分
(n )法1:由于 APB 是厶APC 的外角，所以 APB 120 .
3石 1
因为△ APB 的面积是三,所以-AP PB sin 所以PB 3.
由余弦定理得PC 2 AP 2 AC 2 2 AP AC cos PAC
所以2
2
AP 2
2
4 AP 2 AP 4 AP cos60
APB
3-3
A
在厶
APB 中，AB 2 AP 2 PB 2
分10
6
2 2
23223 cos120
19,
所以AB 19.
在厶APB 中，由正弦定理得
AB sin APB
PB sin BAP
所以sin BAP
3si n120
19
3.57 38 .
法2:作AD BC ,垂足为D ,
因为△ APC 是边长为2的等边三角形 所以 PD 1,AD 3, PAD 30
8 分
因为△ APB 的面积是 ,所以1 AD PB
2 2
3.3 2
所以PB 3. (9)
分
所以BD 4.
在 Rt △ ADB 中，AB . BD^AD 2 19, .................................. 分
所以sin BAD BD
4
cos BAD AD
3 .19
AB
19 ' AB
所以sin BAP sin BAD 30
sin BAD cos30
co
s
BAD sin30
4
3 .3 1
2 19 2
(18)解: (I ) 2 2列联表:
竺57
38 .
分12
对服务满意
对服务不满意
合计 对商品满意 80 40
120 对商品不满意
70
10
80
2 分
200 80 10 40 70
15。

5。

120 80仆11,
因为11.111 6.635,
所以能有99%的把握认为网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”........... 分
................. 1分
所以EX0 27 154236386...................... 彳龙卜
................. 1分12512512
5
1255
或者:由
于X ~ B 3,-，则
E
X3
26...................... 彳龙卜
................. 1分555
(19)解：
(I )因为平面ABD丄平面BCD，平面ABD I平面BCD BD ,
又BD丄DC，所以DC丄平面ABD . ................................................................. 1 分
因为AB 平面ABD，所以DC丄AB. ................................................................. 2 分
又因为折叠前后均有AD丄AB , DC n AD D , ..................................................................................... 3 分
所以AB丄平面ADC . ................................................................................................................................ 4 分
(n )由(1)知AB丄平面ADC，所以二面角C AB D的平面角为/ CAD . 5分又DC丄平面ABD , AD 平面ABD，所以DC丄AD .
依题意tan CAD CD - 6 .
AD
因为AD 1，所以CD 6
设AB x x 0 , 则BD .. x21
.
依题意△ABD 〜
△
BDC，所以
AB
CD，即兰
BD 1
、6
AD x2
(n)每次购物时，对商品和服务都满意的概率为-，且X的取值可以是0, 1, 2, 3.
5
红;P 125 C
3
54 ；
125；
2 P X 2 C3"-
5
1
3 = 36
5
=125
3 0
C3 2 3 = 8
C3 一
5 5 125
解得x 2，故AB x 2, BD . 3, BC BD2 CD2 3. ................ 8 分法1：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz，则D(O,O,O),B(.. 3,0,0),C(0, .. 6,0), .3 . 6
、3 ,6
E亍亍,°，，
所以DE 4,0, DA ^,0,亘
2 2
3 3
所以m ( 6 3, 3).
由图可知二面角B AD E的平面角为锐角，
1
所以二面角B AD E的余弦值为丄. ......................................... 分2
2
法2 ：因为DC丄平面ABD ,
过点E作EF // DC交BD于F , 则EF丄平面ABD .
因为AD 平面ABD ,
所以EF丄AD. ........................................................................................ 9 分
过点F作FG丄AD于G，连接GE ,
所以AD丄平面EFG，因此AD丄GE .
EF
1
-CI
2
『6
D , FG
2
1 —
AB 2
2
2
所
以
EG-EF2 FG22.
所以cos/
EGF = FG 1
EG 2
所以二二面
角
B AD E的余弦值为
1
2 .
所以二面角B AD E的平面角为EGF . 由平面几何知识求得
(20)解: 分2
由（I）知平面BAD的法向量n(0,1,0)
. 设平面ADE的法向量m (x,
y,z)
ur .m 由ur m unr
DE
uu
u
DA
0,得
0,
.3
x
2
丽
x
3
6
牙y 0,
2 0.
3
、、
3,z
10 分
所以cos n, m
n m 1
|n| |m| 2
2
1
分
(I )法1：由X
4y ，得 y 1
x 2,所以y 1 x .所以直线PA 的斜率为1 X 1.
4 2
2
因为点A x 1, y 和 B X 2, y 2在抛物线C 上,
所以直
线
PA 的方程
为
1 2
1 y
j
X 1
X
因为点P a, 2在直线PA 上,
所以2 1 2 1 X | X 1 4 2
2
a x 1
，即 x 1
2ax 1
； 同理，x |
2 ax ? 8 0.
2
所以X 1,X 2是方程x
2ax 8
0的两个根.
所以
X 1X 2 8.
又yy
1
2
1
2
1
2
X 1 X
2
X 1
X
4,
4 4 16
所以x 1
x 2
y 1 y 2 4为定值.
8 0.
所以 y ；X 12,y 2
4 4
法2：设过点P a, 2 且与抛物线C 相切的切线方程为 y 2 k x a , 由I/
a ,消去 y 得 x 2 4kx 4ka 8 0 , 由 16k 2 4 4ak 8
0,化简得 k 2 ak 2
0.
所以k -k 2 2.
由x
2
4y ，得y
1x 2
,所以y Q
4 2
所以直线PA 的斜率为k i
-
X i ,直线PB 的斜率为k 2
2 1 2X2.
所以-x ,x 2
2,即 x 1
x 2
4
8.
又yy 耳2丄x ；丄
4 4
16 2
x 1
x 2
4,
所以x -X 2 y -y 2 4为定值.
(n )法1：直线PA 的垂直平分线方程为
y - 2 2
2 x 1
a
x
x 1
2
1
2 2
由于 y ,
x 1
8 2ax 1
1
4 j
'
2
分0
2
2
所以直线PA 的垂直平分线方程为
ax i
2 X i a
X i X 丁 •①
同理直线PB 的垂直平分线方程为 y
ax 2
X
2
X 2
a
2 .②
3
由①②解得X a
2
所以点M 訊1
ujir 则MF a 2
mu
a,3 .
討-PF
uji uuu 3a 2 3a 2门 由于MF PF 0
2 2
uji uu 所以MF P
抛物线C 的焦点为
0,1 ,
所以以PM 为直径的圆恒过点 11 分
F.
3 另法：以PM 为直径的圆的方程为 x a x a
2
0.
11分
把点F
0,1代入上方程，知点 F 的坐标是方程的解.
所以以 PM 为直径的圆恒过点 F.
法2：设点M 的坐标为 m, n ,
由于点 A X 1,y 1 ,B x ?,y 2 在 孩圆上,
则X 1
2
2
2
2
m * n m a
n 2 ,
2
2
2
2
X
2
m y 2 n m a n 2
两式相2 咸得
X-X
2
X 1 X 2
2m y 1 y 2 由（I ）知 X 1 X 2 2 a,x 1
x 2
8,y 1
1 2
x, y 2 4
x-! x 2
4a
4
m
a 3 4a
2an 0,
当X X 2时，
得8a 4m a
3
2an 0,②
则厶PAB 的外接圆方程为 x
y
y 1 y 2 2n 2
m
2
n
-x |,代入上式得
4
o ,①
假设以PM 为直径的圆恒过点 umr F ，则 MF mu
PF,即 m,n 1 g a, 3
0,
得 ma 3 n 1 0,
由②③解得m
3 a, n
3 1 2
所以点M -a,1 -a2. ....................................... 分1
2 2
当x1x2时，则a 0,点M 0,1 .
所以以PM为直径的圆恒过点 F. ............................................................. 分2 (21 )解：
a
(I )法1：函数f x In x 的定义域为0,
x
a 1a x a
由f x In x ,得f x 2 2 . ........................................... 1分
x x x x
因为a 0,则x 0,a 时，f x 0; x a, 时，f x 0.
所以函数f x在0,a上单调递减，在a, 上单调递增• ................. 2 分
当x a 时，f x In a 1. ............................................................. 3分
min
1
当In a 1 0，即0 a 时，又f 1 In1 a a 0，则函数f x有零点•…4分
e
所以实数a的取值范围为0,1 . ..................................................................... 5分
e
a
法2：函数f x Inx 的定义域为0, •
x
a
由f x Inx 0,得a xIn x. ...................................................................................... 1分
x
令g x xln x ,贝U g x In x 1 .
1 1
当x 0,时，gx 0;当x , 时，gx 0.
e e
1 1
所以函数g x在0,—上单调递增，在—，上单调递减............ ............... 2分
e e
1 1 111
故x 时，函数g x取得最大值g In . ............................... 3分
e e e e e
, a 1
因而函数f x In x 有零点，则0 a . ......................................................................... 4分
x e
所以实数a的取值范围为0,1 . ................................................................. 5分
e
(n )令h x xInx a ,则h x In x 1.
当 0 x 1 时，f x 0;当 x 1
时，f x 0. e e
x 0;当 x 1 时，f x 0.
1 x
— max
e
1
于是，当x 0时，x .②
e
(22)解：
x 3 t
(I )由
消去t 得x y 4
0, y 1 t,
所以直线l 的普通方程为x y 4 0.
由 2 2 cos —
2^2 cos cos — sin sin — 2cos 2sin , ............................. 3分 4 4 4
得 2
2 cos 2 sin .
................................................. 4 分
2 2 2
将 x y , cos x, sin y 代入上式，
2 2 2 2
得曲线C 的直角坐标方程为x y 2x 2y ,即x 1 y 1 2. ......... 5分
(n )法1：设曲线C 上的点为P 1 .2 cos ,1 72sin
, (6)
分
t 1 ,
1
当x —时,
h x a . e
min
e
于是,当a
2 时，h x 1 a 1 ①
e
e
e
1 1 所以函数h x 在0, -上单调递减,在-
e
e
令 x xe x ,则
-
a 1 1
所以ln ln b ,即f
ln b -
ln
b
b
故当 x 0, a -时，xlnx a xe x . ...................................................... ......................... 分0
e
因为
b 1,所以 lnb 0.
ln b ln ln b a ln b e lnb .
....................... ....................
分 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立
分
上单调递增
x x x A
x e xe e 1 x 所以函数 x 在0,1上单调递增，在1,
上单调递减
3a 1
8
分
则点P 到直线l 的距离为d
1 V? cos 1 V2si n 4
罷 sin cos 2
2si n
当 sin
1
时，d max 2、2
所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为
当直线l 与圆C 相切时，得
解得b 0或b 4（舍去）,
(23)解:
(n )因为 a 1,x R ,
所以f x x a 1 x 2a x 2a
法2：设与直线l 平行的直线为l : x y b
0,
所以直线 I 的方
x
0.
所以直线 l 与直线I 的距离为
所以曲线 C 上的点到直线I 的距离的最大值为 2〔2 .
10
(I )因为f
3，所以a 1 2a
3. ①当a 0时，得 a 1 2a
3，解得a
0;
②当0
1
a 时，得a 1 2a 2
1 时，得a 1 2a 2
3，解得 3，解得
综上所述, 实数a 的取值范围是 a 2，所以0 -，所以-a
3 2
3a 1
2.
分10。