九年级数学期末试卷培优测试卷

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九年级数学期末试卷培优测试卷
一、选择题
1.如图,等边三角形ABC 的边长为5,D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,将△ADE 沿DE 折叠,点A 恰好落在BC 边上的点F 处,若BF =2,则BD 的长是( )
A .2
B .3
C .218
D .247
2.某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组,各组的日工资和人数如下表所示.现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组,调整后与调整前相比,下列说法中不正确的是( )
A .团队平均日工资不变
B .团队日工资的方差不变
C .团队日工资的中位数不变
D .团队日工资的极差不变 3.若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程,则m 的取值范围是( )
A .m 1≠.
B .m 1=.
C .m 1≥
D . m 0≠. 4.若关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的一个根是1x =-,则2015a b -+的值是
( )
A .2011
B .2015
C .2019
D .2020 5.已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时,y 的值随x 的增大而增大,则实数m ( )
A .m=-2
B .m>-2
C .m≥-2
D .m≤-2 6.如图1,S 是矩形ABCD 的AD 边上一点,点
E 以每秒k cm 的速度沿折线BS -SD -DC 匀速运动,同时点
F 从点C 出发点,以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动.已知点F 运动到点B 时,点E 也恰好运动到点C ,此时动点E ,F 同时停止运动.设点E ,F 出发t 秒时,
△EBF 的面积为2ycm .已知y 与t 的函数图像如图2所示.其中曲线OM ,NP 为两段抛物线,MN 为线段.则下列说法:
①点E 运动到点S 时,用了2.5秒,运动到点D 时共用了4秒;
②矩形ABCD 的两邻边长为BC =6cm ,CD =4cm ;
③sin ∠ABS 3 ④点E 的运动速度为每秒2cm .其中正确的是( )
A .①②③
B .①③④
C .①②④
D .②③④ 7.一个扇形的半径为4,弧长为2π,其圆心角度数是( ) A .45
B .60
C .90
D .180 8.如图在△ABC 中,点D 、
E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上,不一定能使△ADE 与△ABC 相
似的条件是( )
A .∠AED=∠
B B .∠ADE=∠
C C .A
D D
E AB BC = D .AD AE AC AB = 9.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△ABC 的顶点都在格点上,将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°,则顶点A 所经过的路径长为( )
A .10π
B 10
C 10π
D .π 10.若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根,则k 的取值范围是( )
A .16k ≤
B .116k ≤
C .1,16
k ≤且0k ≠ D .16,k ≤ 且0k ≠ 11.如图,在O 中,AB 是O 的直径,点D 是O 上一点,点C 是弧AD 的中点,弦CE AB ⊥于点F ,过点D 的切线交EC 的延长线于点G ,连接AD ,分别交CF BC 、于点P Q 、,连接AC .给出下列结论:①BAD ABC ∠=∠;②GP GD =;③点P 是ACQ 的外心;④AP AD ⋅CQ CB =⋅.其中正确的是( )
A .①②③
B .②③④
C .①③④
D .①②③④
12.受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素,“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”,2018年我国快递业务量为600亿件,预计2020年快递量将达到950亿件,若设快递平均每年增长率为x ,则下列方程中,正确的是( )
A .600(1+x )=950
B .600(1+2x )=950
C .600(1+x )2=950
D .950(1﹣x )2=600
二、填空题
13.将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是_____.
14.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=-1,x 2=2 ,则二次函数y=x 2+mx+n 中,当y <0时,x 的取值范围是________;
15.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上的一点,若BC=6,AB=10,OD ⊥BC 于点D ,则OD 的长为______.
16.如图,在边长为1的小正方形网格中,点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上,AB 、CD 相交于点O ,则tan ∠AOD=________.
17.二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示,给出下列说法:
①ab 0<;②方程2ax bx c 0++=的根为1x 1=-,2x 3=;③a b c 0++>;④当x 1>时,y 随x 值的增大而增大;⑤当y 0>时,1x 3-<<.其中,正确的说法有________(请写出所有正确说法的序号).
18.若32x y =,则x y y
+的值为_____. 19.在Rt △ABC 中,两直角边的长分别为6和8,则这个三角形的外接圆半径长为_____.
20.如图,点G 为△ABC 的重心,GE ∥AC ,若DE =2,则DC =_____.
21.如图,1ABB △,12AB B ,△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形,点 B ,B 1,B 2,B 3 在同一条 直线上,连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ,交 A 1B 1 于点 Q ,则 PB 1∶QB 1 的值为___.
22.已知二次函数y =3x 2+2x ,当﹣1≤x ≤0时,函数值y 的取值范围是_____.
23.如图,在△ABC 中,AC :BC :AB =3:4:5,⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈,若⊙O 的半径为1,且圆心O 运动的路径长为18,则△ABC 的周长为_____.
24.如图,点O 为正六边形ABCDEF 的中心,点M 为AF 中点,以点O 为圆心,以OM 的长为半径画弧得到扇形MON ,点N 在BC 上;以点E 为圆心,以DE 的长为半径画弧得到扇形DEF ,把扇形MON 的两条半径OM ,ON 重合,围成圆锥,将此圆锥的底面半径记为r 1;将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2,则r 1:r 2=_____.
三、解答题
25.如图,宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB,某人从C点测得吊灯顶端A的仰角为35︒,吊灯底端B的仰角为30,从C点沿水平方向前进6米到达点D,测得吊灯底端B 的仰角为60︒.请根据以上数据求出吊灯AB的长度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,2≈1.41,3≈1.73)
26.为倡导“低碳生活”,常选择以自行车作为代步工具,如图1所示是一辆自行车的实物图.车架档AC与CD的长分别为45cm,60cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20cm,点A,C,E在同一条直线上,且∠CAB=75°,如图2.
(1)求车架档AD的长;
(2)求车座点E到车架档AB的距离.
(结果精确到1 cm.参考数据: sin75°="0.966," cos75°=0.259,
tan75°=3.732)
27.(问题发现)如图1,半圆O的直径AB=10,点P是半圆O上的一个动点,则△PAB 的面积最大值是;
(问题探究)如图2所示,AB、AC、BC是某新区的三条规划路,其中AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F,即分别在BC、线段AB和AC上选取点P、E、
F .由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P →E →F →P 的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE 、EF 和FP .显然,为了快捷环保和节约成本,就要使线段PE 、EF 、FP 之和最短(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).可求得△PEF 周长的最小值为 km ;
(拓展应用)如图3是某街心花园的一角,在扇形OAB 中,∠AOB =90°,OA =12米,在围墙OA 和OB 上分别有两个入口C 和D ,且AC =4米,D 是OB 的中点,出口E 在AB
上.现准备沿CE 、DE 从入口到出口铺设两条景观小路,在四边形CODE 内种花,在剩余区域种草.
①出口E 设在距直线OB 多远处可以使四边形CODE 的面积最大?最大面积是多少?(小路宽度不计)
②已知铺设小路CE 所用的普通石材每米的造价是200元,铺设小路DE 所用的景观石材每米的造价是400元.
请问:在AB 上是否存在点E ,使铺设小路CE 和DE 的总造价最低?若存在,求出最低总造价和出口E 距直线OB 的距离;若不存在,请说明理由.
28.如图①,BC 是⊙O 的直径,点A 在⊙O 上,AD ⊥BC 垂足为D ,弧AE =弧AB ,BE 分别交AD 、AC 于点F 、G .
(1)判断△FAG 的形状,并说明理由;
(2)如图②若点E 与点A 在直径BC 的两侧,BE 、AC 的延长线交于点G ,AD 的延长线交BE 于点F ,其余条件不变(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若BG =26,DF =5,求⊙O 的直径BC .
29.如图,二次函数2
2y ax ax c =-+ (a < 0) 与 x 轴交于 A 、C 两点,与 y 轴交于点 B ,P
为 抛物线的顶点,连接 AB ,已知 OA :OC=1:3.
(1)求 A 、C 两点坐标;
(2)过点 B 作 BD ∥x 轴交抛物线于 D ,过点 P 作 PE ∥AB 交 x 轴于 E ,连接 DE ,
①求 E 坐标;
②若 tan ∠BPM=25
,求抛物线的解析式.
30.为了落实国务院的指示精神,地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y 2x 80=-+. 设这种产品每天的销售利润为w 元.
(1)求w 与x 之间的函数关系式;
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
31.某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y kx b =+,且65x =时,55y =;75x =时,45y =.
()1求一次函数y kx b =+的表达式;
()2若该商场获得利润为W 元,试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
32.如图示,AB 是O 的直径,点F 是半圆上的一动点(F 不与A ,B 重合),弦AD 平分BAF ∠,过点D 作DE AF ⊥交射线AF 于点AF .
(1)求证:DE 与O 相切:
(2)若8AE =,10AB =,求DE 长;
(3)若10AB =,AF 长记为x ,EF 长记为y ,求y 与x 之间的函数关系式,并求出AF EF ⋅的最大值.
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一、选择题
1.C
解析:C
【解析】
【分析】
根据折叠得出∠DFE=∠A=60°,AD=DF,AE=EF,设BD=x,AD=DF=5﹣x,求出∠DFB =∠FEC,证△DBF∽△FCE,进而利用相似三角形的性质解答即可.
【详解】
解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=5,
∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上,
∴△ADE≌△FDE,
∴∠DFE=∠A=60°,AD=DF,AE=EF,
设BD=x,AD=DF=5﹣x,CE=y,AE=5﹣y,
∵BF=2,BC=5,
∴CF=3,
∵∠C=60°,∠DFE=60°,
∴∠EFC+∠FEC=120°,∠DFB+∠EFC=120°,
∴∠DFB=∠FEC,
∵∠C=∠B,
∴△DBF∽△FCE,
∴BD BF DF
FC CE EF
==,

25
35
x x
y y
-
==
-

解得:x=21
8

即BD=21
8

故选:C.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.
2.B
解析:B
【分析】
根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析,即可得出答案.
【详解】 解:调整前的平均数是:
26042804300443⨯+⨯+⨯⨯=280; 调整后的平均数是:
260528023005525
⨯+⨯+⨯++=280; 故A 正确; 调整前的方差是:
()()()222142602804280280430028012⎡⎤-+-+-⎣
⎦=8003; 调整后的方差是:()()()222152602802280280530028012
⎡⎤-+-+-⎣⎦=10003; 故B 错误; 调整前:把这些数从小到大排列为:260,260,260,260,280,280,280,280,300,300,300,300;
最中间两个数的平均数是:280,则中位数是280,
调整后:把这些数从小到大排列为:260,260,260,260,260,280,280,300,300,300,300,300;
最中间两个数的平均数是:280,则中位数是280,
故C 正确;
调整前的极差是40,调整后的极差也是40,则极差不变,
故D 正确.
故选B.
【点睛】
此题考查了平均数、方差、中位数和极差的概念,掌握各个数据的计算方法是关键.
3.A
解析:A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0,再解即可.
【详解】
由题意得:m ﹣1≠0,
解得:m≠1,
故选A .
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义,关键是掌握只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
4.C
【解析】
【分析】
根据方程解的定义,求出a-b ,利用作图代入的思想即可解决问题.
【详解】
∵关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的解是x=−1,
∴a−b+4=0,
∴a−b=-4,
∴2015−(a−b)=2215−(-4)=2019.
故选C.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解,解题关键在于掌握运算法则.
5.C
解析:C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质,确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性,结合题意确定m 值的范围.
【详解】 解:抛物线的对称轴为直线221m x
m
∵10a =-<,抛物线开口向下,
∴当x m < 时,y 的值随x 值的增大而增大,
∵当2x <-时,y 的值随x 值的增大而增大,
∴2m ≥- ,
故选:C .
【点睛】
本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的增减性,由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键. 6.C
解析:C
【解析】
【分析】
①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断.②设AB CD acm ==,BC AD bcm ==,由函数图像利用△EBF 面积列出方程组即可解决问题.③由 2.5BS k =,1.5SD k =,得53
BS SD =,设3SD x =,5BS x =,在RT ABS ∆中,由222AB AS BS +=列出方程求出x ,即可判断.④求出BS 即可解决问题.
【详解】
解:函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒,运动到点D 时共用了4秒.故①正确.
设AB CD acm ==,BC AD bcm ==, 由题意,1··( 2.5)721·(4)42
a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得46a b =⎧⎨=⎩
, 所以4AB CD cm ==,6BC AD cm ==,故②正确,
2.5BS k =, 1.5SD k =, ∴53
BS SD =,设3SD x =,5BS x =, 在Rt ABS ∆中,222AB AS BS +=,
2224(63)(5)x x ∴+-=,
解得1x =或134
-(舍), 5BS ∴=,3SD =,3AS =,
3sin 5
AS ABS BS ∴∠=
=故③错误, 5BS =, 5 2.5k ∴=,
2/k cm s ∴=,故④正确,
故选:C .
【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识,读懂图象信息是解决问题的关键,学会设未知数列方程组解决问题,把问题转化为方程去思考,是数形结合的好题目,属于中考选择题中的压轴题.
7.C
解析:C
【解析】
【分析】
根据弧长公式即可求出圆心角的度数.
【详解】
解:∵扇形的半径为4,弧长为2π, ∴42180
n ππ⨯=
解得:90n =,即其圆心角度数是90︒
故选C .
此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数,掌握弧长公式是解决此题的关键.8.C
解析:C
【解析】
【分析】
由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可.
【详解】
解:A、∠AED=∠B,∠A=∠A,则可判断△ADE∽△ACB,故A选项错误;
B、∠ADE=∠C,∠A=∠A,则可判断△ADE∽△ACB,故B选项错误;
C、AD DE
AB BC
=不能判定△ADE∽△ACB,故C选项正确;
D、AD AE
AC AB
=,且夹角∠A=∠A,能确定△ADE∽△ACB,故D选项错误.
故选:C.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键.9.C
解析:C
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示:
在Rt△ACD中,AD=3,DC=1,
根据勾股定理得:2210
AD CD
+=
又将△ABC绕点C顺时针旋转60°,
则顶点A所经过的路径长为601010
π⨯
=.
故选C.
10.C
解析:C
【解析】
【分析】
一元二次方程有实数根,则根的判别式∆≥0,且k≠0,据此列不等式求解.
根据题意,得:
∆=1-16k ≥0且k ≠0, 解得:116
k ≤
且k ≠0. 故选:C .
【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况,注意k ≠0.
11.B
解析:B
【解析】
【分析】
①由于AC 与BD 不一定相等,根据圆周角定理可判断①;
②连接OD ,利用切线的性质,可得出∠GPD=∠GDP ,利用等角对等边可得出GP=GD ,可判断②;
③先由垂径定理得到A 为CE 的中点,再由C 为AD 的中点,得到CD AE =,根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP ,利用等角对等边可得出AP=CP ,又AB 为直径得到∠ACQ 为直角,由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC ,得出CP=PQ ,即P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点,即为直角三角形ACQ 的外心,可判断③;
④正确.证明△APF ∽△ABD ,可得AP×
AD=AF×AB ,证明△ACF ∽△ABC ,可得AC 2=AF×AB ,证明△CAQ ∽△CBA ,可得AC 2=CQ×CB ,由此即可判断④;
【详解】
解:①错误,假设BAD ABC ∠=∠,则BD AC =,
AC CD =,
∴AC CD BD ==,显然不可能,故①错误.
②正确.连接OD . GD 是切线,
DG OD ∴⊥,
90GDP ADO ∴∠+∠=︒,
OA OD =,
ADO OAD ∴∠=∠,
90APF OAD ∠+∠=︒,GPD APF ∠=∠,
GPD GDP ∴∠=∠,
GD GP ∴=,故②正确.
③正确.AB CE ⊥,
∴AE AC =,
AC CD =,
∴CD AE
=,
∴∠=∠,
CAD ACE
∴=,
PC PA
AB是直径,
∴∠=︒,
90
ACQ
∠+∠=︒,
CAP CQP
ACP QCP
90
∴∠+∠=︒,90
∴∠=∠,
PCQ PQC
∴==,
PC PQ PA
∠=︒,
90
ACQ
∆的外心.故③正确.
∴点P是ACQ
④正确.连接BD.
90
∠=∠=︒,PAF BAD
AFP ADB
∠=∠,
∽,
APF ABD
∴∆∆
∴AP AF
=,
AB AD
AP AD AF AB
∴⋅=⋅,
∠=∠=︒,
AFC ACB
∠=∠,90
CAF BAC
∽,
∴∆∆
ACF ABC
可得2
=,
AC AF AB
∠=∠,
∠=∠,CAQ ABC
ACQ ACB
∽,可得2
CAQ CBA
∴∆∆
=⋅,
AC CQ CB
∴⋅=⋅.故④正确,
AP AD CQ CB
故选:B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识,解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
12.C
解析:C
【解析】
【分析】
设快递量平均每年增长率为x,根据我国2018年及2020年的快递业务量,即可得出关于
x的一元二次方程,此题得解.
【详解】
设快递量平均每年增长率为x,
依题意,得:600(1+x)2=950.
故选:C.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解
题的关键.
二、填空题
13.y=x2+2
【解析】
分析:先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为(0,﹣1),再根据点平移的规
律得到点(0,﹣1)平移后所得对应点的坐标为(0,2),然后根据顶点式写
出平移后的抛物线解析式.

解析:y=x2+2
【解析】
分析:先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为(0,﹣1),再根据点平移的规律得到点
(0,﹣1)平移后所得对应点的坐标为(0,2),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解
析式.
详解:二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为(0,﹣1),把点(0,﹣1)向上平移3个单位长
度所得对应点的坐标为(0,2),所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2.
故答案为y=x2+2.
点睛:本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后
的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.14.-1<x<2
【解析】
【分析】
根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标,即可确定y<0时,x的取值范围. 【详解】
由题意得:二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0),
解析:-1<x<2
【解析】
【分析】
根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标,即可确定y<0时,x的取值范围.
由题意得:二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为(-1,0),(2,0),>,开口向上,
∵a=10
∴y<0时,x的取值范围是-1<x<2.
【点睛】
此题考查二次函数与一元二次方程的关系,函数图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解,掌握两者的关系是解此题的关键.
15.4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD,然后根据勾股定理求得即可.
【详解】
解:∵OD⊥BC,
∴BD=CD=BC=3,
∵OB=AB=5,
∴在Rt△OBD中,OD==4.
故答案为4.
解析:4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD,然后根据勾股定理求得即可.
【详解】
解:∵OD⊥BC,
∴BD=CD=1
BC=3,
2
∵OB=1
AB=5,
2
∴在Rt△OBD中,=4.
故答案为4.
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理,熟记定理并灵活应用是本题的解题关键.
16.2
【解析】
【分析】
首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACO∽△BKO,然后由相似三角形的对应边成比例,易得KO:CO=1:3,即可得OF:CF=OF:BF=1:2,在Rt△OBF中,即可求
【解析】
【分析】
首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACO∽△BKO,然后由相似三角形的对应边成比例,易得KO:CO=1:3,即可得OF:CF=OF:BF=1:2,在Rt△OBF中,即可求得tan∠BOF的值,继而求得答案.
【详解】
如图,连接BE,
∵四边形BCEK是正方形,
∴KF=CF=1
2
CK,BF=
1
2
BE,CK=BE,BE⊥CK,
∴BF=CF,
根据题意得:AC∥BK,
∴△ACO∽△BKO,
∴KO:CO=BK:AC=1:3,∴KO:KF=1:2,
∴KO=OF=1
2
CF=
1
2
BF,
在Rt△PBF中,tan∠BOF=BF
OF
=2,
∵∠AOD=∠BOF,
∴tan∠AOD=2.
故答案为2
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质,三角函数的定义.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用.
17.①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①,根据抛物线与x轴的交点坐标判断②,根据函数图象判断③④⑤.
【详解】
解:∵对称轴是x=-=1,
∴ab<0,①正确;
∵二次函数y=ax2+b
解析:①②④
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①,根据抛物线与x 轴的交点坐标判断②,根据函数图象判断③④⑤.
【详解】
解:∵对称轴是x=-
2b a
=1, ∴ab <0,①正确; ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标为(-1,0)、(3,0),
∴方程x 2+bx+c=0的根为x 1=-1,x 2=3,②正确;
∵当x=1时,y <0,
∴a+b+c <0,③错误;
由图象可知,当x >1时,y 随x 值的增大而增大,④正确;
当y >0时,x <-1或x >3,⑤错误,
故答案为①②④.
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数之间的关系,二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定.
18..
【解析】
【分析】
根据比例的合比性质变形得:
【详解】
∵,

故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了合比性质,对比例的性质的记忆是解题的关键. 解析:
52
. 【解析】
【分析】 根据比例的合比性质变形得:
325.22
x y y ++== 【详解】

3
2
x
y
=,

325
.
22 x y
y
++
==
故答案为:5 2 .
【点睛】
本题主要考查了合比性质,对比例的性质的记忆是解题的关键.19.5
【解析】
【分析】
根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可.【详解】
由勾股定理得:AB==10,
∵∠ACB=90°,
∴AB是⊙O的直径,
∴这个三角形的外接圆直径是10;
∴这
解析:5
【解析】
【分析】
根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可.
【详解】
由勾股定理得:AB=22
68
+=10,
∵∠ACB=90°,
∴AB是⊙O的直径,
∴这个三角形的外接圆直径是10;
∴这个三角形的外接圆半径长为5,
故答案为5.
【点睛】
本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径,熟练掌握是解题的关键.
20.【解析】
【分析】
根据重心的性质可得AG:DG=2:1,然后根据平行线分线段成比例定理可得==2,从而求出CE,即可求出结论.
【详解】
∵点G为△ABC的重心,
∴AG:DG=2:1,
∵GE
解析:【解析】
【分析】
根据重心的性质可得AG:DG=2:1,然后根据平行线分线段成比例定理可得CE
DE

AG
DG
=2,从而求出CE,即可求出结论.【详解】
∵点G为△ABC的重心,
∴AG:DG=2:1,
∵GE∥AC,
∴CE
DE

AG
DG
=2,
∴CE=2DE=2×2=4,
∴CD=DE+CE=2+4=6.
故答案为:6.
【点睛】
此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理,掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键.
21.【解析】
【分析】
根据题意说明PB1∥A2 B3,A1B1∥A2B2,从而说明△BB1P∽△BA2 B3,
△BB1Q∽△BB2A2,再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系,根据
解析:2 3
【解析】
【分析】
根据题意说明PB1∥A2 B3,A1B1∥A2B2,从而说明△BB1P∽△BA2 B3,△BB1Q∽△BB2A2,再得到PB1和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系,根据A2B3=A2B2,得到PB1和QB1的比值.【详解】
解:∵△ABB1,△A1B1B2,△A2B2B3是全等的等边三角形,
∴∠BB 1P=∠B 3,∠A 1B 1 B 2=∠A 2B 2B 3,
∴PB 1∥A 2B 3,A 1B 1∥A 2B 2,
∴△BB 1P ∽△BA 2 B 3,△BB 1Q ∽△BB 2A 2, ∴112331==3PB BB A B BB ,112221==2
QB BB A B BB , ∴1231=3PB A B ,1221=2
QB A B , ∵2322=A B A B , ∴PB 1∶QB 1=
13A 2B 3∶12A 2 B 2=2:3. 故答案为:
23
. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,等边三角形的性质,平行线的判定,正确的识别图形是解题的关键. 22.﹣≤y≤1
【解析】
【分析】
利用配方法转化二次函数求出对称轴,根据二次函数的性质即可求解.
【详解】
∵y=3x2+2x =3(x+)2﹣,
∴函数的对称轴为x =﹣,
∴当﹣1≤x≤0时,函数有最
解析:﹣
13
≤y ≤1 【解析】
【分析】 利用配方法转化二次函数求出对称轴,根据二次函数的性质即可求解.
【详解】
∵y =3x 2+2x =3(x +13)2﹣13
, ∴函数的对称轴为x =﹣13
, ∴当﹣1≤x ≤0时,函数有最小值﹣
13,当x =﹣1时,有最大值1, ∴y 的取值范围是﹣13
≤y ≤1,
故答案为﹣
13
≤y ≤1. 【点睛】 本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
23.30
【解析】
【分析】
如图,首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形,由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG,且与△ABC 三边相切,设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ,连接DH 、DG 、EP 、EQ
解析:30
【解析】
【分析】
如图,首先利用勾股定理判定△ABC 是直角三角形,由题意得圆心O 所能达到的区域是△DEG ,且与△ABC 三边相切,设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ,连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ,根据切线性质可得:AG =AH ,PC =CQ ,BN =BM ,DG 、EP 分别垂直于AC ,EQ 、FN 分别垂直于BC ,FM 、DH 分别垂直于AB ,继而则有矩形DEPG 、矩形EQNF 、矩形DFMH ,从而可知DE =GP ,EF =QN ,DF =HM ,DE ∥GP ,DF ∥HM ,EF ∥QN ,∠PEF =90°,根据题意可知四边形CPEQ 是边长为1的正方形,根据相似三角形的判定可得△DEF ∽△ACB ,根据相似三角形的性质可知:DE ∶EF ∶FD =AC ∶CB ∶BA =3∶4∶5,进而根据圆心O 运动的路径长列出方程,求解算出DE 、EF 、FD 的长,根据矩形的性质可得:GP 、QN 、MH 的长,根据切线长定理可设:AG =AH =x ,BN =BM =y ,根据线段的和差表示出AC 、BC 、AB 的长,进而根据AC ∶CB ∶BA =3∶4∶5列出比例式,继而求出x 、y 的值,进而即可求解△ABC 的周长.
【详解】
∵AC ∶CB ∶BA =3∶4∶5,
设AC =3a ,CB =4a ,BA =5a (a >0)
∴()()()222
222=345AC CB a a a BA ++==
∴△ABC 是直角三角形,
设⊙O 沿着△ABC 的内部边缘滚动一圈,如图所示,
连接DE 、EF 、DF ,
设切点分别为G 、H 、P 、Q 、M 、N ,
连接DH 、DG 、EP 、EQ 、FM 、FN ,
根据切线性质可得:
AG =AH ,PC =CQ ,BN =BM
DG 、EP 分别垂直于AC ,EQ 、FN 分别垂直于BC ,FM 、DH 分别垂直于AB ,
∴DG ∥EP ,EQ ∥FN ,FM ∥DH ,
∵⊙O的半径为1
∴DG=DH=PE=QE=FN=FM=1,
则有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH,
∴DE=GP,EF=QN,DF=HM,DE∥GP,DF∥HM,EF∥QN,∠PEF=90°又∵∠CPE=∠CQE=90°, PE=QE=1
∴四边形CPEQ是正方形,
∴PC=PE=EQ=CQ=1,
∵⊙O的半径为1,且圆心O运动的路径长为18,
∴DE+EF+DF=18,
∵DE∥AC,DF∥AB,EF∥BC,
∴∠DEF=∠ACB,∠DFE=∠ABC,
∴△DEF∽△ABC,
∴DE:EF:DF=AC:BC:AB=3:4:5,
设DE=3k(k>0),则EF=4k,DF=5k,
∵DE+EF+DF=18,
∴3k+4k+5k=18,
解得k=3
2

∴DE=3k=9
2
,EF=4k=6,DF=5k=
15
2

根据切线长定理,
设AG=AH=x,BN=BM=y,
则AC=AG+GP+CP=x+9
2
+1=x+5.5,
BC=CQ+QN+BN=1+6+y=y+7,
AB=AH+HM+BM=x+15
2
+y=x+y+7.5,
∵AC:BC:AB=3:4:5,
∴(x+5.5):(y+7):(x+y+7.5)=3:4:5,解得x=2,y=3,
∴AC=7.5,BC=10,AB=12.5,
∴AC+BC+AB=30.
所以△ABC的周长为30.
故答案为30.
【点睛】
本题是一道动图形问题,考查切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点,解题的关键是确定圆心O的轨迹,学会作辅助线构造相似三角形,综合运用上述知识点.
24.【解析】
分析:根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°.求出两个扇形圆心角,表示出扇形半径即可.
详解:连OA
由已知,M为AF中点,则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形

解析:3:2
【解析】
分析:根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°.求出两个扇形圆心角,表示出扇形半径即可.
详解:连OA
由已知,M为AF中点,则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a,3a
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON的弧长为:12033
1803
a
a π⋅
=
则r1
3
同理:扇形DEF的弧长为:12024
1803
a
a
π
π
⋅⋅
=
则r2=2 3 a
r1:r2=32:
故答案为32:
点睛:本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算.解答时注意表示出两个扇形的半径.
三、解答题
25.吊灯AB的长度约为1.1米.
【解析】
【分析】
延长CD交AB的延长线于点E,构建直角三角形,分别在两个直角三角形△BDE和△AEC 中利用正弦和正切函数求出AE长和BE长,即可求解.
【详解】
解:延长CD交AB的延长线于点E,则∠AEC=90°,
∵∠BDE=60°,∠DCB=30°,
∴∠CBD=60°﹣30°=30°,
∴∠DCB=∠CBD,
∴BD=CD=6(米)
在Rt△BDE中,sin∠BDE=BE BD

∴BE=BD•sin∠BDE═6×sin60°=3≈5.19(米),
DE=1
2
BD=3(米),
在Rt△AEC中,tan∠ACE=AE CE

∴AE=CE•tan∠ACE=(6+3)×tan35°≈9×0.70=6.30(米),
∴AB=AE﹣BE≈6.30﹣5.19≈1.1(米),
∴吊灯AB的长度约为1.1米.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解答此题的关键是构建直角三角形,利用锐角三角函数进行解答.
26.(1)75cm(2)63cm
【解析】
解:(1)在Rt△ACD中,AC=45,CD=60,∴AD=22
456075
+=,
∴车架档AD的长为75cm.
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为点F,
距离EF=AEsin75°=(45+20)sin75°≈62.7835≈63.
∴车座点E到车架档AB的距离是63cm.
(1)在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可.
(2)过点E作EF⊥AB,在Rt△EFA中,利用三角函数求EF=AEsin75°,即可得到答案.27.[问题发现] 25;[问题探究] 3219;[拓展应用]①出口E设在距直线OB的7.2米
处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米,②出口E距直线OB 3666
-
米.
【解析】
【分析】
[问题发现]△PAB的底边AB一定,面积最大也就是P点到AB的距离最大,故当OP⊥AB
时,
1
2
OP AB
=时最大,值是5,再计算此时△PAB面积即可;
[问题探究]先由对称将折线长转化线段长,即分别以AB、AC所在直线为对称轴,作出P关于AB的对称点为M,P关于AC的对称点为N,连接MN,易求得:3
MN AP
=,而3
PE EF PF ME EF FN MN AP
++=++≥=,即当AP最小时,
PE EF PF
++可取得最小值.
[拓展应用]①四边形CODE面积=S△CDO+S△CDE′,求出S△CDE′面积最大时即可;
②先利用相似三角形将费用问题转化为CE+2DE=CE+QE,求CE+QE的最小值问题.然后利用相似三角形性质和勾股定理求解即可。

【详解】
[问题发现]解:当OP⊥AB时,OP时最大,
1
5
2
OP AB
==,此时△APB的面积
=11
10525 22
AB OP=⨯⨯=,
故答案为:25;
[问题探究]解:如图2-1,连接AP,OP,分别以AB、AC所在直线为对称轴,作出P 关于AB的对称点为M,P关于AC的对称点为N,连接MN,交AB于点E,交AC 于点F,连接PE、PF,。

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