高等数学B1期中考试详细解答
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n
nx nx2 2
0；
综上
f
(x)
1 ，x x
0
0，x 0
四、求导数 1． 【解】 y (x 2)(x 3) (x 1)[(x 2)(x 3)]
x2 5x 6 (x 1)[(x 3) (x 2)] x2 5x 6 (x 1)(2x 5) x2 5x 6 2x2 7x 5 3x2 12x 11 2．
3．
【解】由 n 1 1 1 n ，
n2 n n2 n2 2
n2 n n2
则
n
n2
n
n
n(
n2
1
n2
1
2
n2
1
) n
n
n2
n
因为
lim(n
n
n2
n
) n
lim
n
n2
n2 n
1，lim(n n
，则
x2 lxim3 (
2x x
k m)
x2 4
(3 m)x 3m
，
解得
k 3 m 1
二、选择题
1．C
【解】 lim x0
f
( x0
3x) x
f
(x0 )
3 lim x0
f
( x0
3x) 3 x
f (x0 )
解得 x0 0 ，代入切点得 x0 ex0 0 1 1，故切点为 (0，1)
4．F
【解】对于 A，取 f (x) 1 sin 1，g(x) 1 sin 1 ，则当 x 0 时，均 f (x)，g(x)
x
x
无极限且振荡，但 f (x) g(x) 2 有极限；A 错
2/5
(1 n) n
对于 B， lim 1 2 n lim 2
n
n2
n
n2
1 ；B 错 2
对于 C， lim x ；lim x ，故 lim x lim x ；C 错
x1 1 x
x1 1 x
x1 1 x x1 1 x
对于 D， lim x sin 1 表示无穷小与有界函数乘积的极限为 0，不能拆开；
高等数学 B1 期中考试详细解答
【温馨提示】本答案仅供参考，如有错漏，自己改正！
一、填空题 1． 【解】 lim ( x2 x 1 x2 x 1)
x
lim ( x2 x 1 x2 x 1)( x2 x 1 x2 x 1)
x
x2 x 1 x2 x 1
3 f (x0 )
2．B
【解】当 x 0 时，显然 f (x) x sin 1 无意义，故 x 0 为无定义点； x
左极限为 f (0 ) lim f (x) lim x sin 1 0 ；
x0
x0
x
右极限为 f (0 ) lim f (x) lim x sin 1 0 ；
n2
n
)
lim
n
n2 n2
1
所以，由夹逼准则得
lim
n
1
2
n2
1
n
)
1
4．
3/5
【解】当 x
0 时，
f
(x)
lim
n
nx nx2 2
lim
n
x x2
2
x x2
1 x
；
n
当
x
0 时，
f
(x)
lim
x0
x0
左极限为 f (0 ) lim f (x) lim ex 1；
x0
x0
由 lim f (x) 1 lim f (x) lim f (x) b 1
x0
x0
x0
3．
【解】
f
(x)
2x，x 1 2，x 1
1/5
4．
(x2 x 1) (x2 x 1)
2x
lim
lim
x x2 x 1 x2 x 1 x x2 x 1 x2 x 1
1
1
2 lim
2 1
x
1
1 x
1 x2
1
1 x
1 x2
11
2．
【解】右极限为 f (0 ) lim f (x) lim(ax b) b ；
【解】由题设得lim a tan2 x 1，则 lim a tan2 x lim ax2 2a 1 a 1
x0 1 cos x
x0 1 cos x x0 1 x2
2
2
5．
【解】 设 lim x3
x2
2x x3
k
lim
x3
(x 3)(x m) x3
【解】对 y 2sin x x2 求导得 y 2cos x 2x ，则在 x 0 点处切线斜率为
k y x0 2cos 0 20 2 ，切点为 (0，0) ，
则切线方程为 y 0 2(x 0) ，即 y 2x
法线方程为 y 0 1 (x 0) ，即 y 1 x
x0
x
若拆开则不对，不满足极限四则运算法则，
比如这样 lim x sin 1 lim x limsin 1 0不 是不对的；故 D 错
x0
x x0 x0
x
对于 F，显然满足极限四则运算法则，故正确
5．C
【解】 lim(1
x
)
b x
lim(1
a xb
x)x a x
xb
lim ea x
b
ea
x0
a
x0
a
x0
三、求极限
1．
【解】
lim
n
2n
sin
2n1
lim 2n n
sin
2n1
2n1
2n1
2
lim
sin
2n1
n
2n1
2
2．
【解】 lim 1 cos x
1 x2 lim 2
1
x0 ln(1 x2 ) x x0 2 2
x0
x0
x
显然， lim f (x) lim f (x) 0 ；
x0
x0
综上， x 0 为可去间断点
3．D
【解】由题设得直线l 的斜率为 k 0 ，设该切点为 (x0，x0 ex0 ) ，
又对 y x ex 求导得 y 1 ex ，则切点处斜率为 0，即 y xx0 1 ex0 0 ，
nx nx2 2
0；
综上
f
(x)
1 ，x x
0
0，x 0
四、求导数 1． 【解】 y (x 2)(x 3) (x 1)[(x 2)(x 3)]
x2 5x 6 (x 1)[(x 3) (x 2)] x2 5x 6 (x 1)(2x 5) x2 5x 6 2x2 7x 5 3x2 12x 11 2．
3．
【解】由 n 1 1 1 n ，
n2 n n2 n2 2
n2 n n2
则
n
n2
n
n
n(
n2
1
n2
1
2
n2
1
) n
n
n2
n
因为
lim(n
n
n2
n
) n
lim
n
n2
n2 n
1，lim(n n
，则
x2 lxim3 (
2x x
k m)
x2 4
(3 m)x 3m
，
解得
k 3 m 1
二、选择题
1．C
【解】 lim x0
f
( x0
3x) x
f
(x0 )
3 lim x0
f
( x0
3x) 3 x
f (x0 )
解得 x0 0 ，代入切点得 x0 ex0 0 1 1，故切点为 (0，1)
4．F
【解】对于 A，取 f (x) 1 sin 1，g(x) 1 sin 1 ，则当 x 0 时，均 f (x)，g(x)
x
x
无极限且振荡，但 f (x) g(x) 2 有极限；A 错
2/5
(1 n) n
对于 B， lim 1 2 n lim 2
n
n2
n
n2
1 ；B 错 2
对于 C， lim x ；lim x ，故 lim x lim x ；C 错
x1 1 x
x1 1 x
x1 1 x x1 1 x
对于 D， lim x sin 1 表示无穷小与有界函数乘积的极限为 0，不能拆开；
高等数学 B1 期中考试详细解答
【温馨提示】本答案仅供参考，如有错漏，自己改正！
一、填空题 1． 【解】 lim ( x2 x 1 x2 x 1)
x
lim ( x2 x 1 x2 x 1)( x2 x 1 x2 x 1)
x
x2 x 1 x2 x 1
3 f (x0 )
2．B
【解】当 x 0 时，显然 f (x) x sin 1 无意义，故 x 0 为无定义点； x
左极限为 f (0 ) lim f (x) lim x sin 1 0 ；
x0
x0
x
右极限为 f (0 ) lim f (x) lim x sin 1 0 ；
n2
n
)
lim
n
n2 n2
1
所以，由夹逼准则得
lim
n
1
2
n2
1
n
)
1
4．
3/5
【解】当 x
0 时，
f
(x)
lim
n
nx nx2 2
lim
n
x x2
2
x x2
1 x
；
n
当
x
0 时，
f
(x)
lim
x0
x0
左极限为 f (0 ) lim f (x) lim ex 1；
x0
x0
由 lim f (x) 1 lim f (x) lim f (x) b 1
x0
x0
x0
3．
【解】
f
(x)
2x，x 1 2，x 1
1/5
4．
(x2 x 1) (x2 x 1)
2x
lim
lim
x x2 x 1 x2 x 1 x x2 x 1 x2 x 1
1
1
2 lim
2 1
x
1
1 x
1 x2
1
1 x
1 x2
11
2．
【解】右极限为 f (0 ) lim f (x) lim(ax b) b ；
【解】由题设得lim a tan2 x 1，则 lim a tan2 x lim ax2 2a 1 a 1
x0 1 cos x
x0 1 cos x x0 1 x2
2
2
5．
【解】 设 lim x3
x2
2x x3
k
lim
x3
(x 3)(x m) x3
【解】对 y 2sin x x2 求导得 y 2cos x 2x ，则在 x 0 点处切线斜率为
k y x0 2cos 0 20 2 ，切点为 (0，0) ，
则切线方程为 y 0 2(x 0) ，即 y 2x
法线方程为 y 0 1 (x 0) ，即 y 1 x
x0
x
若拆开则不对，不满足极限四则运算法则，
比如这样 lim x sin 1 lim x limsin 1 0不 是不对的；故 D 错
x0
x x0 x0
x
对于 F，显然满足极限四则运算法则，故正确
5．C
【解】 lim(1
x
)
b x
lim(1
a xb
x)x a x
xb
lim ea x
b
ea
x0
a
x0
a
x0
三、求极限
1．
【解】
lim
n
2n
sin
2n1
lim 2n n
sin
2n1
2n1
2n1
2
lim
sin
2n1
n
2n1
2
2．
【解】 lim 1 cos x
1 x2 lim 2
1
x0 ln(1 x2 ) x x0 2 2
x0
x0
x
显然， lim f (x) lim f (x) 0 ；
x0
x0
综上， x 0 为可去间断点
3．D
【解】由题设得直线l 的斜率为 k 0 ，设该切点为 (x0，x0 ex0 ) ，
又对 y x ex 求导得 y 1 ex ，则切点处斜率为 0，即 y xx0 1 ex0 0 ，