分母有理化(根式)

1
49 47 47 49
解：观察： 1 3
3
3
6
3
1 2
3 3
3
1 2
1
3 3
,
5
1 33
5 5
3 3 30
5
15 2
3 3 15
5
1 23 35 5 (2) 1 1
1
3 3 5 3 3 5 7 5 5 7
......
1
49 47 47 49
解：考察一般情况：
1
(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1
3、一些特殊的方法供参考！
2x (4)
2x
3y 3y
(2 x 3 y )(2 x (2 x 3 y )(2 x (2 x 3 y )2 (2 x )2 (3 y )2
3 y) 3 y)
4x 9 y 12 xy 4x 9y
(1)观察下列计算找出规律： 1 2 1， 2 1
1 3 2， 1 4 3，............
（a （a
b）的有理化因式是（ a b）的有理化因式是（ a
b） b）
分母有理化的过程即是分子分母同时乘 以分母的有理化因式
m 的有理化因式是 m
1
ac
ac
ac
ac ac ac
a b 的有理化因式是 a b
知 识
1
23
23
2 3 (2 3)(2 3)
拓 展
x a y b 的有理化因式是 x a y b
2 ab
平方差公式
a b 乘以什么式子才能不含有根号呢？
（a
b）（ a
b）
2
a
2
b
ab
2
2( a b)
2( a b)
a b ( a b)( a b)
ab
知识拓展：有理化因式
设P是一个含有根式的代数式，Q是一个不等于0 的代数式，如果PQ的乘积不再含有根式，则称Q 是P的 有理化因式，P 也是Q 的有理化因式
3 2
4 3
计算：
1
1
2
1 2
3
1 3
...... 4
1 2014
2015
2015 1 .
解：原式 2 1 3 2 2015 2014 2015 1
2015 1 2015 1 2014
(2) 1
1
1
3 3 5 3 3 5 7 5 5 7
......
2+ 3
解：(2) 7+4 3 = 22 +2 2
2
3+ 3
2+ 3
2+ 3
2
2+ 3
= 2+ 3
=2+ 3
计算： (3) x y
x+ y
解：(3) x y = x + y
x
y
x+ y
x+ y
=x y
练习：把下式分母有理化 (4) 2 x 3 y
2x 3y
2 x 3 y 分母有理化因式是 2 x 3 y
分母有理化
又称“有理化分母”，指的是在二次根式中分母原为 无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将 分母中的根号化去。
由于在初中、高中阶段，最后的二次根式结果要求 分母不含根号，故分母有理化成为初中学生学习和 使用的一种重要方法。将分母有理化，会使根式的 运算变得简便。
解：(1) 2 5
分母是一个单项式
计算： (1) 2
5
(2) 5 33
2 5 25
55
5
(2) 5
5 3 53
33 33 3 9
分母是一个单项式 练习：把下列各式分母有理化
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－ 4 14 ；
37
3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b ＝ 2a a＋b
3 x 3 y 的有理化因式是 3 x2 3 xy 3 y2
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
ab
3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2
分解约简法
计算： (1) 2 3
23 32
解：(1) 2 23
3= 2 3 3 2 12 18
=
23
62 3
=1= 6 66
配方约简法
计算： (2) 7+4 3
a＋b • a＋b
a＋b
注都即的将形乘意分式以：母一要中个进根适行号当分下的母的代有被数理开式化方，，数使一写分般成母是完不把全平含分方根子数号分（母式）
分母是一个多项式
计算：（1） 2 (2) 2
21
ab
解：(1) 2 21
2 21 21 21
2 21
22 2
分母是一个多项式 思考：如何将它进行分母有理化？
(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1 1 ( (2n 1)2 (2n 1) (2n 1)2 (2n 1) 2
原式
1 2
1
49 49
3 7
1 2n 1
1) 2n 1
分母有理化的方法 １、分子分母同时乘以一个数（式） 将分母中根号下的被开方数写成完全平方数（式）
2、利用公式（平方差公式、立方和差公式） 找分母的有理化因式