金融数学1ppt课件
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精品课件
假设一个人面临两种选择: (1)确定性获得15元 (2)50%获得10元,50%获得20元。 会选择哪一种?
精品课件
说明: 取f (x) U(x),t 0.5
确定性收入效用:U(15) 不确定收入的期望效用:0.5U(20) 0.5U(10) 如果:U(15) 0.5U(20) 0.5U(10),U是凹函数,风险厌恶。 如果:U(15) 0.5U(20) 0.5U(10),U是凸函数,风险爱好。
这次改为讲解金融实例为主
精品课件
第1讲:风险态度和效用函数 假设一个人面临两种选择: (1)确定性获得15元 (2)50%获得10元,50%获得20元。 会选择哪一种?
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效用函数
一、偏好关系
设B是n维欧氏空间Rn中的凸集,在B中引入一个二元 关系记为" ",如果它具有: (1)(反身性)若xB,则x x; (2) (可比较性)若x, yB,则x y,或者y x; (3) (传递性)若x, y,zB,如果x y, y z,则x z; 我们称“ ”是一个偏好关系。
精品课件
课程目标
不在于分析数学原理,而重点学习 利用数学工具分析金融问题的方法。
着重于金融问题的分析与解决
精品课件
课程要求
预习: 每次上课前尽量预习内容
作业要求: 每次所布置作业下次上课时交给助
教,要求独立完成,不能抄袭。
精品课件
导论
一、什么是金融数学?
金融数学(Financial Mathematics),又称 数理金融学,是利用数学工具研究金融, 进行定量分析,以求找到金融内在规律并 用以指导实践。金融数学也可以理解为现 代数学与计算技术在金融领域的应用。
精品课件
精品课件
四、 马科维茨风险溢价
设(0, h)满足: V (0 (0, h)) pV (0 h1) (1 p)V (0 h2 ) 更一般:V (E ()) E(V ()) 其中 0 h
则称(0, h)为马科维茨风险溢价(或风险升水)
若(0, h)越大,表明越厌恶风险。 精品课件
假 设 3、 设 von N eum ann - M orgenstern效 用 函 数 为 V (x),则 投 资 者 参 加 赌 博 的 期 望 效 用 为
pV ( 0 h1 ) (1 p )V ( 0 h2 ).
精品课件
如 果 V ( 0 ) V ( p ( 0 h1 ) (1 p )( 0 h2 )) pV ( 0 h1 ) (1 p )V ( 0 h2 )
经b510510预备知识预备知识高等数学高等数学线性代数线性代数概率论与数理统计概率论与数理统计金融学基础金融学基础参考教材参考教材微观金融学及其数学基础微观金融学及其数学基础第第22版邵宇清华大学出版社邵宇清华大学出版社数理金融数理金融郭作祚清华大学出版社郭作祚清华大学出版社金融数学金融数学josephstampflijosephstampfli蔡明超译蔡明超译机械工业出版社机械工业出版社课程目标课程目标不在于分析数学原理而重点学习不在于分析数学原理而重点学习利用数学工具分析金融问题的方法
精品课件
五、 Arrow-Pratt 绝对风险厌恶函数
下面讨论马科维茨风险溢价和效用函数的关系。
由风险溢价的定义:V (E ( )) E (V ( ))
等号左边可写为:
V (E ( ))=V (E ) -V (E )( ) (( )) (1) 将V ( )在E展开,得: V ( )=V (E )+V (E )( E ) V (E ) ( E )2 ( E )2
精品课件
二、数理金融的发展阶段
1、发展初期: 第一次华尔街革命是指1952年马科维茨(H.M.
Marcowitz)投资组合选择理论的问世。此后,马科 维茨的学生夏普(W.F. Sharpe)在马科维茨理论的 基础上,提出了资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model,CAPM)。他们两人的成果获得了 1990年诺贝尔经济学奖。他们的工作是利用数学工 具,在严格的假设的基础之上,利用数学推理论 证解决了风险资产的定价问题,是将数学方法应 用于金融学成功的范例,也是划时代的开创性的 工作。
设A {( x, y) | x D, f ( x) y}是f : D T 的图像及其下方的点的集合,其中D Rn 是一个凸集,并且T R,则:
f 是一个凹函数 A是一个凸集
精品课件
定理 凹性与一阶和二阶导数 设D是非退化的实值区间,f 在D上二次
连续可微,则以下条件等价: (1) f 是 凹 的 ; (2) f ( x) 0, x D; (3)x0 D : f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ), x D. 而且, (4) f ( x) 0, x D f 是 严 格 凹 的 。
精品课件
若 x y与 y x同 时 成 立 ,则 x和 y偏 好 无 差 异 , 记 作 xy; 若 x y但 y x不 成 立 , 则 x严 格 地 比 y好 , 记 作 x y.
精品课件
二、 效用函数
设B是具有偏好关系" "的选择集,U:BR+的 单值函数,如果x,yB,U(x)U(y)当且仅当x y, 则称U为效用函数。 显然,效用函数是偏好关系的定量描述。
即 投 资 者 愿 意 参 加 赌 博 , 此 时 V ( x)为 凸 函 数 。
定义: 如 果 V ( x)二 次 连 续 可 为 微 V(x)>0,V (x) 0,
则V(E) E(V()),称投资者为风险爱好型。
精品课件
如 果 V(0)V(p(0h1)(1p)(0h2)) = pV(0h1)(1p)V(0h2)
精品课件
三、 投资者的风险类型
举例:
假 设1、 考 虑 彩 票 或 赌 博 只 有 两 种 状 态{h1 , h2 }, 状 态 h1发 生 概 率 为 p , 状 态 h2发 生 的 概 率 为1 p; 而 且 ph1 (1 p )h2 0, 表 明 赌 博 是 公 平 的 ;
假 设 2、 投 资 者 的 初 始 财 富 为 0;
35000- y
假如:U(35000- y) 0.99U(35000) 0.01U(25000) 购买保险 假如:U(35000- y) 0.99U(35000) 0.01U(25000) 不购买保险 U(35000- y*)=0.99U(35000) 0.01U(25000) y*是可接受的最大保费。
此 时 效 用 函 数 为 线 性 函 数 , 称 投 资 者 为 风 险 中 性 的 。
精品课件
凹、凸函数
函数y f (x), x D. (1)凹 函 数 的 定 义
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 ) 这里x1,x2 D, 0 1,则称f (x)为凹函数。
3、第三阶段(1980-至今) 代表人物有D.Duffie、I.Karatzas、J.Cox等等
精品课件
三、数理金融在金融学科体系中的地位
金融学
宏观金融学
包括货币银行学、 国际金融学等
微观金融学
包括投资学、公司理财、 金融工程、金融市场等
数理金融方法
精品课件
四、数理金融结构框架
数理金融数学基础篇:
称 :
0 (0,h)或 者 E ()为 确 定 性 等 价 财 富 。
精品课件
设 y0h 1,x0h 2
精品课件
例: 设投资者的效用函数为U(x) lnx,初始财富
0 10,若他进行某项投资,有20%的可能财富
增加到30,也有80%的可能财富减少到5,求其确 定性等价财富?
精品课件
解: E (U ( x )) 0 .2 ln 3 0 0 .8 ln 5 1 .9 7 若 U ( y ) E (U ( x )) ln y 1.97 y e1.97 7 .1 7
精品课件
1990 年诺贝尔经济奖获得者
Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)
Harry Markowitz, (1927-) 《证券组合选择理论》
精品课件
William Sharpe, (1934-)资本资产 定价模型 (CAPM)
精品课件
1997 年诺贝尔经济奖获得者
Robert Merton, (1944-)《连续时 间金融学》
Myron Scholes, (1941-) 期权定价 公式
Fisher Black (1938-1995)期权定价公式
1973 年 Black-Scholes-Merton期权定 价理论问世
精品课件
精品课件
效用函数存在定理
定理 设选择集B上的偏好关系" "具有保序性、中值性和
有界性,则存在效用函数U:BR+,使得: (1)x y当且仅当U(x)U(y) (2)xy当且仅当U(x)U(y)
精品课件
性质:设U是效用函数,函数G:RR是正值严格单调 增加函数,容易证明复合函数G。U:BR也是效用函数。 即:一个效用函数通过正单调变换而获得的另一个效用函数 与原来的函数表达同样的偏好顺序。
风 险 溢 价 为 :1 0- 7 .1 7 2 .8 3
精品课件
例:保费选择问题 如果一投保人拥有财富35000元,他 面临一风险,可能导致10000元的损失, 发生的概率为1%,问保费y最多为多 少才购买保险,而不是自留风险? (假设购买足额保险)
精品课件
分析: 如果购买保险,不发生损失:35000- y 如果购买保险,发生损失:35000- y -10000 10000
(2)凸函数的定义
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 ) 这里x1,x2 D, 0 1,则称f (x)为凸函数。
精品课件
精品课件
说明:
对于函数图像上的每一对点,当 且仅当连结这些点的弦处在图像上或 其下边,那么该函数为凹的。
精品课件
定理 凹函数的图像及其下方的点总会 形成一个凸集
称R(x) xA(x)为相对风险厌恶函数
精品课件
六、 双曲绝对风险厌恶类函数(HARA)
称形如:
V(x)1r( ax b)r, r 1r
b0, ax b0 1r
为双曲绝对风险厌恶函数
精品课件
V ( x) a ( ax b)r1 1 r
V ( x ) a 2 ( ax b )r 2 1 r
1、微积分 2、线性代数 3、概率论 4、随机过程 5、计量经济学
数理金融核心篇
1、资产组合理论 2、资本资产定价模型 3、套利定价理论 4、布朗运动与伊藤方 程
精品课件 5、布莱克方程
五、授课内容
《微观金融学及其数学基础》 第二部分 金融数学基础 第8章 基础微积分和线性代数 第9章 概率论与数理统计 其间穿插讲解金融例子。(上届)
即投资者不参加赌博的效用大于参加赌博的效用, 此 时 V ( x)为 凹 函 数 。
定义: 如 果 V ( x )二 次 连 续 可 为 微 V (x)>0,V (x) 0,
则V(E) E(V()),称投资者为风险厌恶型。
精品课件
如 果 V ( 0 ) V ( p ( 0 h1 ) (1 p )( 0 h2 )) pV ( 0 h1 ) (1 p )V ( 0 h2 )
A ( x ) V ( x ) a ( a x b ) 1 ( x b ) 1
V ( x) 1 r
1 r a
因此称这类函数为双曲绝对风险厌恶函数。
T (x) ( 1 )x b 1 r a
精品课件
(1 )当 r 1, V ( x ) a x 是风险中性者的效用函数
金融数学
第1讲
精品课件
主讲: 李庆霞 (厦门大学金融系) 联系方式: 办公室:经B 510
精品课件
预备知识
高等数学 线性代数 概率论与数理统计 金融学基础
精品课件
参考教材
《微观金融学及其数学基础》(第2版)邵 宇,清华大学出版社
《数理金融》,郭作祚,清华大学出版社
《金融数学》Joseph Stampfli,(蔡明超译)机械 工业出版社
2、第二阶段(1969-1979) 第二次华尔街革命是指1973年布莱克(
F.Black)和斯科尔斯(M.S.Scholes)期权定 价公式。这一成果荣获1997年诺贝尔经济学 奖。他们也是利用数学工具解决了重要的 金融衍生产品期权的定价问题。两次华尔 街革命标志着现代金融学的诞生,同时也 产生了一门新的学科:数理金融学
2 (2)
对(2)两边取期望,得:
E(V ( )) V (E ) V (E ) 2 ( ) ( E )2 (3)
2 精品课件
由得:
( ) [ V ( E ) ][ 2 ( ) ]
V ( E )
2
精品课件
称A(x) V(x)为ArrowPratt绝对风险厌恶函数 V(x)
称T(x) 1 为风险容忍函数 A(x)
假设一个人面临两种选择: (1)确定性获得15元 (2)50%获得10元,50%获得20元。 会选择哪一种?
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说明: 取f (x) U(x),t 0.5
确定性收入效用:U(15) 不确定收入的期望效用:0.5U(20) 0.5U(10) 如果:U(15) 0.5U(20) 0.5U(10),U是凹函数,风险厌恶。 如果:U(15) 0.5U(20) 0.5U(10),U是凸函数,风险爱好。
这次改为讲解金融实例为主
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第1讲:风险态度和效用函数 假设一个人面临两种选择: (1)确定性获得15元 (2)50%获得10元,50%获得20元。 会选择哪一种?
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效用函数
一、偏好关系
设B是n维欧氏空间Rn中的凸集,在B中引入一个二元 关系记为" ",如果它具有: (1)(反身性)若xB,则x x; (2) (可比较性)若x, yB,则x y,或者y x; (3) (传递性)若x, y,zB,如果x y, y z,则x z; 我们称“ ”是一个偏好关系。
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课程目标
不在于分析数学原理,而重点学习 利用数学工具分析金融问题的方法。
着重于金融问题的分析与解决
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课程要求
预习: 每次上课前尽量预习内容
作业要求: 每次所布置作业下次上课时交给助
教,要求独立完成,不能抄袭。
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导论
一、什么是金融数学?
金融数学(Financial Mathematics),又称 数理金融学,是利用数学工具研究金融, 进行定量分析,以求找到金融内在规律并 用以指导实践。金融数学也可以理解为现 代数学与计算技术在金融领域的应用。
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四、 马科维茨风险溢价
设(0, h)满足: V (0 (0, h)) pV (0 h1) (1 p)V (0 h2 ) 更一般:V (E ()) E(V ()) 其中 0 h
则称(0, h)为马科维茨风险溢价(或风险升水)
若(0, h)越大,表明越厌恶风险。 精品课件
假 设 3、 设 von N eum ann - M orgenstern效 用 函 数 为 V (x),则 投 资 者 参 加 赌 博 的 期 望 效 用 为
pV ( 0 h1 ) (1 p )V ( 0 h2 ).
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如 果 V ( 0 ) V ( p ( 0 h1 ) (1 p )( 0 h2 )) pV ( 0 h1 ) (1 p )V ( 0 h2 )
经b510510预备知识预备知识高等数学高等数学线性代数线性代数概率论与数理统计概率论与数理统计金融学基础金融学基础参考教材参考教材微观金融学及其数学基础微观金融学及其数学基础第第22版邵宇清华大学出版社邵宇清华大学出版社数理金融数理金融郭作祚清华大学出版社郭作祚清华大学出版社金融数学金融数学josephstampflijosephstampfli蔡明超译蔡明超译机械工业出版社机械工业出版社课程目标课程目标不在于分析数学原理而重点学习不在于分析数学原理而重点学习利用数学工具分析金融问题的方法
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五、 Arrow-Pratt 绝对风险厌恶函数
下面讨论马科维茨风险溢价和效用函数的关系。
由风险溢价的定义:V (E ( )) E (V ( ))
等号左边可写为:
V (E ( ))=V (E ) -V (E )( ) (( )) (1) 将V ( )在E展开,得: V ( )=V (E )+V (E )( E ) V (E ) ( E )2 ( E )2
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二、数理金融的发展阶段
1、发展初期: 第一次华尔街革命是指1952年马科维茨(H.M.
Marcowitz)投资组合选择理论的问世。此后,马科 维茨的学生夏普(W.F. Sharpe)在马科维茨理论的 基础上,提出了资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model,CAPM)。他们两人的成果获得了 1990年诺贝尔经济学奖。他们的工作是利用数学工 具,在严格的假设的基础之上,利用数学推理论 证解决了风险资产的定价问题,是将数学方法应 用于金融学成功的范例,也是划时代的开创性的 工作。
设A {( x, y) | x D, f ( x) y}是f : D T 的图像及其下方的点的集合,其中D Rn 是一个凸集,并且T R,则:
f 是一个凹函数 A是一个凸集
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定理 凹性与一阶和二阶导数 设D是非退化的实值区间,f 在D上二次
连续可微,则以下条件等价: (1) f 是 凹 的 ; (2) f ( x) 0, x D; (3)x0 D : f (x) f (x0 ) f (x0 )( x x0 ), x D. 而且, (4) f ( x) 0, x D f 是 严 格 凹 的 。
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若 x y与 y x同 时 成 立 ,则 x和 y偏 好 无 差 异 , 记 作 xy; 若 x y但 y x不 成 立 , 则 x严 格 地 比 y好 , 记 作 x y.
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二、 效用函数
设B是具有偏好关系" "的选择集,U:BR+的 单值函数,如果x,yB,U(x)U(y)当且仅当x y, 则称U为效用函数。 显然,效用函数是偏好关系的定量描述。
即 投 资 者 愿 意 参 加 赌 博 , 此 时 V ( x)为 凸 函 数 。
定义: 如 果 V ( x)二 次 连 续 可 为 微 V(x)>0,V (x) 0,
则V(E) E(V()),称投资者为风险爱好型。
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如 果 V(0)V(p(0h1)(1p)(0h2)) = pV(0h1)(1p)V(0h2)
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三、 投资者的风险类型
举例:
假 设1、 考 虑 彩 票 或 赌 博 只 有 两 种 状 态{h1 , h2 }, 状 态 h1发 生 概 率 为 p , 状 态 h2发 生 的 概 率 为1 p; 而 且 ph1 (1 p )h2 0, 表 明 赌 博 是 公 平 的 ;
假 设 2、 投 资 者 的 初 始 财 富 为 0;
35000- y
假如:U(35000- y) 0.99U(35000) 0.01U(25000) 购买保险 假如:U(35000- y) 0.99U(35000) 0.01U(25000) 不购买保险 U(35000- y*)=0.99U(35000) 0.01U(25000) y*是可接受的最大保费。
此 时 效 用 函 数 为 线 性 函 数 , 称 投 资 者 为 风 险 中 性 的 。
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凹、凸函数
函数y f (x), x D. (1)凹 函 数 的 定 义
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 ) 这里x1,x2 D, 0 1,则称f (x)为凹函数。
3、第三阶段(1980-至今) 代表人物有D.Duffie、I.Karatzas、J.Cox等等
精品课件
三、数理金融在金融学科体系中的地位
金融学
宏观金融学
包括货币银行学、 国际金融学等
微观金融学
包括投资学、公司理财、 金融工程、金融市场等
数理金融方法
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四、数理金融结构框架
数理金融数学基础篇:
称 :
0 (0,h)或 者 E ()为 确 定 性 等 价 财 富 。
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设 y0h 1,x0h 2
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例: 设投资者的效用函数为U(x) lnx,初始财富
0 10,若他进行某项投资,有20%的可能财富
增加到30,也有80%的可能财富减少到5,求其确 定性等价财富?
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解: E (U ( x )) 0 .2 ln 3 0 0 .8 ln 5 1 .9 7 若 U ( y ) E (U ( x )) ln y 1.97 y e1.97 7 .1 7
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1990 年诺贝尔经济奖获得者
Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)
Harry Markowitz, (1927-) 《证券组合选择理论》
精品课件
William Sharpe, (1934-)资本资产 定价模型 (CAPM)
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1997 年诺贝尔经济奖获得者
Robert Merton, (1944-)《连续时 间金融学》
Myron Scholes, (1941-) 期权定价 公式
Fisher Black (1938-1995)期权定价公式
1973 年 Black-Scholes-Merton期权定 价理论问世
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精品课件
效用函数存在定理
定理 设选择集B上的偏好关系" "具有保序性、中值性和
有界性,则存在效用函数U:BR+,使得: (1)x y当且仅当U(x)U(y) (2)xy当且仅当U(x)U(y)
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性质:设U是效用函数,函数G:RR是正值严格单调 增加函数,容易证明复合函数G。U:BR也是效用函数。 即:一个效用函数通过正单调变换而获得的另一个效用函数 与原来的函数表达同样的偏好顺序。
风 险 溢 价 为 :1 0- 7 .1 7 2 .8 3
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例:保费选择问题 如果一投保人拥有财富35000元,他 面临一风险,可能导致10000元的损失, 发生的概率为1%,问保费y最多为多 少才购买保险,而不是自留风险? (假设购买足额保险)
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分析: 如果购买保险,不发生损失:35000- y 如果购买保险,发生损失:35000- y -10000 10000
(2)凸函数的定义
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 ) 这里x1,x2 D, 0 1,则称f (x)为凸函数。
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说明:
对于函数图像上的每一对点,当 且仅当连结这些点的弦处在图像上或 其下边,那么该函数为凹的。
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定理 凹函数的图像及其下方的点总会 形成一个凸集
称R(x) xA(x)为相对风险厌恶函数
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六、 双曲绝对风险厌恶类函数(HARA)
称形如:
V(x)1r( ax b)r, r 1r
b0, ax b0 1r
为双曲绝对风险厌恶函数
精品课件
V ( x) a ( ax b)r1 1 r
V ( x ) a 2 ( ax b )r 2 1 r
1、微积分 2、线性代数 3、概率论 4、随机过程 5、计量经济学
数理金融核心篇
1、资产组合理论 2、资本资产定价模型 3、套利定价理论 4、布朗运动与伊藤方 程
精品课件 5、布莱克方程
五、授课内容
《微观金融学及其数学基础》 第二部分 金融数学基础 第8章 基础微积分和线性代数 第9章 概率论与数理统计 其间穿插讲解金融例子。(上届)
即投资者不参加赌博的效用大于参加赌博的效用, 此 时 V ( x)为 凹 函 数 。
定义: 如 果 V ( x )二 次 连 续 可 为 微 V (x)>0,V (x) 0,
则V(E) E(V()),称投资者为风险厌恶型。
精品课件
如 果 V ( 0 ) V ( p ( 0 h1 ) (1 p )( 0 h2 )) pV ( 0 h1 ) (1 p )V ( 0 h2 )
A ( x ) V ( x ) a ( a x b ) 1 ( x b ) 1
V ( x) 1 r
1 r a
因此称这类函数为双曲绝对风险厌恶函数。
T (x) ( 1 )x b 1 r a
精品课件
(1 )当 r 1, V ( x ) a x 是风险中性者的效用函数
金融数学
第1讲
精品课件
主讲: 李庆霞 (厦门大学金融系) 联系方式: 办公室:经B 510
精品课件
预备知识
高等数学 线性代数 概率论与数理统计 金融学基础
精品课件
参考教材
《微观金融学及其数学基础》(第2版)邵 宇,清华大学出版社
《数理金融》,郭作祚,清华大学出版社
《金融数学》Joseph Stampfli,(蔡明超译)机械 工业出版社
2、第二阶段(1969-1979) 第二次华尔街革命是指1973年布莱克(
F.Black)和斯科尔斯(M.S.Scholes)期权定 价公式。这一成果荣获1997年诺贝尔经济学 奖。他们也是利用数学工具解决了重要的 金融衍生产品期权的定价问题。两次华尔 街革命标志着现代金融学的诞生,同时也 产生了一门新的学科:数理金融学
2 (2)
对(2)两边取期望,得:
E(V ( )) V (E ) V (E ) 2 ( ) ( E )2 (3)
2 精品课件
由得:
( ) [ V ( E ) ][ 2 ( ) ]
V ( E )
2
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称A(x) V(x)为ArrowPratt绝对风险厌恶函数 V(x)
称T(x) 1 为风险容忍函数 A(x)