江西省八所重点中学盟校高三数学联合模拟考试试题理

江西省八所重点中学盟校2016届高三联考试卷
理科数学
一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．若集合{}x y x A ln ==，{}02>-=x x x B ，则=⋂B A
A ．[0,1]
B ．(,0)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(,1)-∞- 2.“1m =”是“复数21z m mi =+-为纯虚数”的
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
4.已知向量)2,3(),3,2(=-=b a ，则a 与b
A ．平行且同向
B ．垂直
C ．不垂直也不平行
D ．平行且反向
5．若θ∈42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是 A ．415 B. 4
15- C. 41 D. 41- 6．若n x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 A ．180 B ．120 C ．90 D ．45
7．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为
A.9
B.11
C.13
D.15
8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的的表面积为
A ．28
B ．30
C ．2418+
D ．2618+
9．已知不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤≥+-01,3,012y x x y x 表示的平面区域为D ，若函数m x y +-=2的图象上存在区域D 上的点，
则实数m 的取值范围是
A ．]1,3[-
B ．]23,3[-
C ．]23,1[-
D ．]1,1[-
10．已知定义域为R 的函数)(x f 在),2(+∞上单调递减，且)2(+=x f y 为偶函数，则关于x 的不等式0)1()12(>+--x f x f 的解集为 A.),2()34
,(+∞⋃--∞ B.)2,34(- C.),2()34,(+∞⋃-∞ D.)2,3
4( 11．以双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>上一点M 为圆心的圆与x 轴恰相切于双曲线的一个焦点F ，且与y 轴交于P Q 、两点．若MPQ ∆为锐角．．
三角形，则该双曲线的离心率e 的范围是 A. ),2
26(+∞+ B ． )226,1(+ C ．),26(+∞+ D ．)26,1(+ 12.设定义在),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意的),0(+∞∈x 都有6]log )([2=-x x f f ．若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且)N )(1,(0*∈+∈a a a x ，则=a （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分).
13．摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整．．．，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答)
14.双曲线1422
2=-b
y x 的右焦点与抛物线x y 282=的焦点重合，则该双曲线的渐近线的方程是________． 15.已知三棱锥BCD A -中，AD AC AB 、、两两垂直且长度均为10，定长为)6(<m m 的线段MN 的一个端点M 在棱AB 上运动，另一个端点N 在ACD ∆内运动（含边界），线段MN 的中点P 的轨迹的面积为π2，则m 的值等于________．
16.已知数列{}n a 满足),2,(2
,1111≥∈=--=--n N n a a a n n n 且21{}n a -是递减数列，2{}n a 是递增数列，
则=2016a ________．
三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
17．（本小题满分12分）
已知锐角．．
ABC ∆中内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，满足C ab b a cos 622=+，且B A C sin sin 32sin 2=．
（Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）设函数)0(cos )6sin()(>++=ωωπ
ωx x x f ,()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π,求
()f A 的取值范围．
18.(本小题满分12分)
2016年年初为迎接习总书记并向其报告工作，省有关部门从南昌大学校企业的ＬＥＤ产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这1000件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质
量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .
(i)利用该正态分布，求)4.2246.175(<<Z P ；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，
记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间)4.224,6.175(的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .
12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.
19．（本题满分12分）
如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面
11CBBC 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，
2AC =． （Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；
（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知圆25)1(:221=++y x C ，圆1)1(:222=+-y x C ，动圆C 与圆1C 和圆2C 均内切．
（Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）点),1(t P 为轨迹E 上点，且点P 为第一象限点，过点P 作两条直线与轨迹E 交于B A ,两点，直线PB PA ,斜率互为相反数，则直线AB 斜率是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
21.(本小题满分12分)
已知)()1ln()()(23R m m x mx x x f ∈-+-=，方程0)(=x f 有3个不同的根．
（Ⅰ）求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x 且满足212x x =，若存在，求实数m 的值；若不存在，说明理由．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE
交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D ．
（Ⅰ）证明：DB DC =；
（Ⅱ）设圆的半径为1，3BC =，延长CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆
的半径．
23.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是为参数）ϕϕϕ(sin 2,cos 2⎩
⎨⎧==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标系方程是θρ2sin 546
+=，正方形ABCD 的顶点都在1C 上，且,,,A B C D 依
逆时针次序排列，点A 的极坐标为)6,2(π
．
（Ⅰ）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（Ⅱ）设P 为2C 上任意一点，求2222
PA PB PC PD +++的最大值．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
关于x 的不等式lg(|3||7|)x x m +--<．
（Ⅰ）当1m =时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，当m 为何值时，m x f <)(恒成立？
江西省八所重点中学盟校2016届高三联考理科数学答案 一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1--5．CACBB 6--10AADBD 11--12BD
二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分)
13. 20 14. x y ±= 15. 4 16.31
22016-
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（Ⅰ）因为C ab b a cos 622=+,由余弦定理知 所以ab c C 4cos 2
= ............. .......2分
又因为B A C sin sin 32sin 2=,则由正弦定理得:ab c 322=，.........4分
所以23
4324cos 2===ab ab ab c C ，所以6π
=C .............6分 （Ⅱ）)3sin(3cos )6sin()(π
ωωπω+=++=x x x x f 由已知2,2==ωπωπ，则)32sin(3)(π
+=x x f .............9分
因为6π=C ，A B -=65π，由于0,022A B ππ<<<<，所以23π
π<<A ． 所以3432πππ<+<A ，所以0)(23
<<-A f ......12分
18.解：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为
1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯
2100.242200.082300.02+⨯+⨯+⨯200=. ……3分
2222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-⨯+-⨯+-⨯
22200.33100.24200.08300.02150.
+⨯+⨯+⨯+⨯= ……6分 （II ）（i ）由（I ）知，~(200,150)Z N ，从而
=<<)4.2246.175(Z P 9544.0)2.1222002.122200(=⨯+<<⨯-Z P ……9分
C ab c b a cos 2222+=+
（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间)4.224,6.175(的概率为9544.0，
依题意知X ～)9544
.0,100(B ，所以44.959544.0100=⨯=EX ……12分 19. 解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．
取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1．……… 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1
AB 1
，
所以OA ⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为正方向建立空间直角
坐标系，
则C （0，－1，0），B 1
0，0），A （0，0
，…… 6分
设平面CAB 1的法向量为m ＝（x 1，y 1，z 1）， 因为
1(3,0,AB =
，(0,1,AC =-，
所以11111100010
x y z x y z +⨯=⨯-⨯=⎪⎩，取m ＝（
11）． ……… 8分
设平面A 1AB 1的法向量为n ＝（x 2，y 2，z 2）， 因为
1(3,0,AB =，1(0,2,0)AA =
，
所以222111000200
x y z x y z +⨯=⨯+⨯+⨯=⎪⎩，取n ＝（1，0，1）． ……… 10分
则cos ,||||5m n m n m n ⋅<>===⨯， 所以二面角C-AB 1-A 1的正弦值为
515． …… 12分 20.（1）设C 点坐标为),(y x ，圆C 的半径为R ．则1,521-=-=R CC R CC
从而421=+CC CC ，所以圆心C 的轨迹E 是以21,C C 为焦点，以4为长轴长的椭圆．
所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为：13
42
2=+y x ．……4分 （2）由(1)轨迹E 的方程为：13422=+y x ，代入得点)2
3,1(P ， 设),(),,(2211y x B y x A ，设直线
)1(23:-=-x k y PA ，联立椭圆方程，得012)23(4)23(8)43(222=--+-++k x k k x k ，则2
21221433124,433124k k k x k k k x x p +--=+--=故，
同理：222433
124k k k x +-+=， ……8分
2
12)(23)1(23)1(121212121212=-++-=-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
--⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+--=--=x x k x x k x x x k x k x x y y k AB
故直线AB 斜率为定值21
. ……12分
21.（1）解：由0)(=x f 得：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=-01,02
3m x mx x 或0)1ln(2
=-+m x
可得⎩⎨⎧>-=01,0m x 或⎩⎨⎧>=0
,2m m x 方程0)(=x f 有
3个不同的根, 从而10<<m .……4分
（2）m x m x x m x m x x f -+-+-+-=1)
(2)1ln()3()(22222'
令2x t =，设m t m t t m t m t t g -+-+-+-=1)
(2)1ln()3()(∴0)1ln()0(>--=m m g
)(,0)1(12,102)
1(2)2ln()3()1(=>∴>-∴<<--+--=m g g m m m m m m g
m m m m m m
m m m m g ---=--⋅+-=2)21ln(22
1)2()21ln(2)2(2
0)2(02,1212110<∴>-<-<∴<<m
g m m m ∴存在)2,0(1m
t ∈，使得1()0g t =，另外有)1,2(m
m ∈，使得0)(=m g . ……8分
假设存在实数m ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =
假设不成立．
这与前面矛盾．即另外有使得则必有∴∉=∴===∈)2,0(2,0)(,
0)(),2,0(12'1'1m
m
x m x m f x f m
x 即不存在实数m ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =．……12分
22.（1）连接DE ，交BC 于点G ，
由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．
而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．
又DB BE ⊥，所以DE 为直径，则90DCE ∠=︒，
由勾股定理可得DB DC =． ……5分
（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，
故DG 是BC 的中垂线，所以BG =．设DE 的中点为O ，连接BO ，则60BOG ∠=︒，从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，
所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆． ……10分
23.（1）曲线1C 的普通方程是422=+y x ，极坐标方程是2=ρ．
∴点,,,A B C D 的极坐标为),35,2(),67,2(),32
,2(),6,2(π
ππ
π 从而点,,,A B C D 的直角坐标为)3,1(),1,3(),3,1(),1,3(----. ……5分
（2））曲线2C 的普通方程是14922=+y x ，参数方程是)(2sin y cos 3x 为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨⎧==
故可设)sin 2,cos 3(ϕϕP 其中ϕ为参数．
2222PD PC PB PA t +++=
ϕϕϕ222cos 203216sin 16cos 36+=++= 2222PD PC PB PA +++的最大值为52. ……10分
24.解:（Ⅰ）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<，
可得其解集为{|27}.x x << ………………… 4分
（Ⅱ）设|3||7|t x x =+--，
则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ， …………… 7分
因x y lg =在),0(∞+上为增函数，
则1lg ≤t ，当7,10≥=x t 时，1lg =t ， ………………… 9分
故只需1>m 即可，
即1m >时，m x f <)(恒成立． ………………… 10分。