山东省潍坊市-学年度第二学期高二数学文科期中质量检测试卷

山东省潍坊市2006-2007学年度第二学期高二数学文科期中质量检
测试卷
2007.5
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷4至10页，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、等价条件
2、
i
i
－13的共轭复数是（ ） A 、－
23＋23i B 、－23－2
3i C 、
23＋23i D 、23－2
3i 3、下列几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A 、某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人
B 、由圆的周长
C ＝πd 推测球的表面积S ＝πd 2
C 、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则 ∠A ＋∠B ＝180°
D 、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝
21(a n －1＋1
1－n a )(n ≥2)，由此归纳数列{a n }的通项公式 4、设集合A ＝{x |x 2
－a ＜0}，B ＝{x |x ＜2}，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ） A 、a ≤2 B 、0＜a ＜4 C 、a ≤4 D 、0＜a ≤4 5、函数f (x )＝⎩⎨
⎧≤）＜＜（－）－（＋21
1
22
x x x x ，若f (x )＝3，则x 的值是（ ）
A 、3
B 、±3
C 、1
D 、3或1 6、满足|Z|＝|3＋4i |的复数Z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A 、一条直线 B 、圆 C 、两条直线 D 、椭圆 7、二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 中，ac ＜0，则函数的零点个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、0个 D 、无法确定 8、下列关于工序流程图的说法正确的是（ ）
A 、流程图内每一道工序，可以用矩形表示也可用平行四边形表示
B 、流程线是一条标有箭头的线段，可以是单向的也可以是双向的
C 、流程图中每一道工序是不可以再分的
D
9、如图，程序框图所进行的求和运算是（ ）
A 、1＋21＋31＋……＋101
B 、1＋31＋51＋……＋191
C 、21＋41＋61＋……＋201
D 、21＋221＋321＋……＋102
1
开始
10、已知幂函数f(x)＝x a的部分对应值如下表：
则不等式f(|x|)≤2的解集是（）
A、{x|0＜x≤2}
B、{x|0≤x≤4}
C、{x|－2≤x≤2}
D、{x|－4≤x≤4}
11、函数f(x)＝a|x|（a＞0，x∈R）的值域是[1，＋∞)，则f(－2)与f（1）的大小关系是（）
A、f(－2)＞f(1)
B、f(－2)＝f(1)
C、f(－2)＜f(1)
D、无法确定
12、在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是（）
2006——2007学年度第二学期期中质量检测
高 二 数 学 试 题（文史类） 2007.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1、第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13、已知复数z 1、z 2分别为4＋i 和1－3i ，则|21Z Z |＝
（其中Z 1、Z 2分别是z 1、z 2在复平面内对应的点）
14、在下列命题的“ ”处补充一个条件，使其构成真命题：
αβαβ
∥l l ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫⊥⊥ (其中，l 是直线，α、β是两个不同平面). 15、已知0＜θ＜2π，由不等式tan θ＋θtan 1≥2，tan θ＋θ
22
tan 2＝2tan θ＋2tan θ＋
θ22tan 2≥3，tan θ＋θ33
tan 3＝3tan θ＋3tan θ＋3tan θ＋θ
3
3tan 3≥4，……，启发我们得到推广结论：tan θ＋
θ
n a
tan ≥n ＋1，则a ＝ 。

16、下面四个命题：
①奇函数的图像一定过原点；
②函数y ＝2
|2|12
－＋－x x 是奇函数；
③奇函数f (x )在[a ，b ]上为增函数，则函数f (x )在[－b ，－a ]上为减函数；
④定义在R 上的函数y ＝f (x )，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图像关于直线x ＝1对称；
其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都填上).
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 已知复数z ＝1－i ，z
z b
z a －＋2＝1＋i . 求实数a 、b 的值。

(18)（本小题满分12分）
某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，其中学习积极性高的同学中，积极参加班级工作的有18名，不太主动参加班级工作的有7名；学习积极性一般的同学中，积极参加班级工作的有6名，不太主动参加班级工作的有19名。

（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由。

参考公式：2
χ统计量的表达式是：
2
1212
211222112
)(＋＋＋＋－＝n n n n n n n n n χ；两个临界值：3.841与6.635.
（19）（本小题满分12分）
某段高速公路的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：
若由资料可知y 对x 有线性相关关系。

试求： （Ⅰ）线性回归方程；
（Ⅱ）估计使用年限10年时，维修费用是多少万元？
参考公式：∑∑n
i i n
i i
i x
n x y
x n y x b 1
2
21^
＝＝－－＝
，^a ＝y －^
b x
（20）（本小题满分12分）
对a ，b ＞0，a ≠b ，已知下列不等式成立： ①2ab ＜a 2
＋b 2
； ②ab 2
＋a 2
b ＜a 3
＋b 3
； ③ab 3
＋a 3
b ＜a 4
＋b 4
； ④ab 4
＋a 4
b ＜a 5
＋b 5
；
（Ⅰ）用类比的方法写出 ＜a 6
＋b 6
（Ⅱ）若a ，b ＞0，a ≠b ，证明：a 2b 3
＋a 3b 2
＜a 5
＋b 5
（Ⅲ）将上述不等式推广到一般的情形，请写出你所得结论的数学表达式（不证明）
（21）（本小题满分12分）
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销量为5000辆。

本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销量也相应增加。

已知年利润＝（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量。

（Ⅰ）若年销量增加的比例为0.4x ，写出本年度年利润关于x 的函数关系式； （Ⅱ）若年销售量关于x 的函数为y ＝3240（－x 2
＋2x ＋3
5
），则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？
（22）（本小题满分14分）
已知奇函数f (x )的定义域为[－1，1]，f (－1)＝2，对任意a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0，都有
b
a b f a f ＋＋)
()(＜0。

（Ⅰ）判断f (x )在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（Ⅱ）若f (x )≤m 2
－2am ＋2对所有x ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围。

[参考答案]
2007.5
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，共60分。

ABCDA BDBCD AC
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。

13、5 14、l ⊄α 15、n n
16、②④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17、（本小题满分12分）
解：a z ＋b ＝a (1＋i )＋b ＝a ＋b ＋ai ………………………………………2分
z 2－z ＝(1－i )2－(1－i )＝－2i －(1－i )＝－1－i ……………………………6分
∴(z 2
－z )(1＋i )＝－(1＋i )2
＝－2i 由复数相等得：
a ＋
b ＝0，a ＝－2……………………………………………………………10分
∴a ＝－2，b ＝2……………………………………………………………12分 18、（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)2×2列联表
……………………………………6分
(Ⅱ)26
242525761918502
2
⨯⨯⨯⨯⨯⨯）
－（＝χ＝13150≈11.5……………………………………10分
∵2
χ＞6.635
∴有99%的把握说学习的积极性与对待班级工作的态度有关系。

…………………12分 19、（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)x ＝
5
1
(2＋3＋4＋5＋6)＝4 y ＝5
1
(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5……………………………………………2分
∑5
12
＝i i
x ＝(22＋32＋42＋52＋62)＝90 ∑5
1
＝i i
i
y x ＝(4.4＋11.4＋22＋32.5＋42)＝112.3……………………………………5分
∴^
b ＝
2
45905
453.112⨯⨯⨯－－＝1.23
^
a ＝y －^
b x ＝5－1.23×4＝0.08……………………………………………………8分
∴线形回归方程为^
y ＝bx ＋a ＝1.23x ＋0.08……………………………………………9分 (Ⅱ)当x ＝10时，^
y ＝1.23×10＋0.08＝12.38（万元）
即估计使用10年时的维修费用为12.38万元。

……………………………………12分 20、（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)a 5
b ＋ab 5
＜a 6
＋b 6
(或a 4b 2
＋a 2b 4
＜a 6
＋b 6
或2a 3b 3
＜a 6
＋b 6
)……………3分 (Ⅱ)∵a 5
＋b 5
－(a 2b 3
＋a 3b 2
)＝a 3
(a 2
－b 2
)＋b 3
(b 2
－a 2
)
＝(a 2
－b 2
)(a 3
－b 3
)＝(a ＋b )(a －b )2
(a 2
＋ab ＋b 2
) ……………………………………7分 而a ，b ＞0，a ≠b
∴a ＋b ＞0，(a －b )2
＞0，a 2
＋ab ＋b 2
＞0 ∴a 5
＋b 5
－(a 2b 3
＋a 3b 2)＞0
即a 2b 3
＋a 3b 2
＜a 5
＋b 5
…………………………………………………………10分 (Ⅲ)一般情形：a m b n
＋a n b m
＜a m ＋n
＋b
m ＋n
(a ，b ＞0，a ≠b ，m ，n ∈N +)……………12分
21、（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由题意，本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )；
出厂价为13×(1＋0.7x )；
年销售量为5000×(1＋0.4x )；…………………………………………………3分 因此本年度的利润为：
y ＝[13×(1＋0.7x )－10×(1＋x )]×5000×(1＋0.4x )…………………………4分 ＝(3－0.9x )×5000×(1＋0.4x )
＝－1800x 2
＋1500x ＋15000(0＜x ＜1) …………………………………………6分 (Ⅱ)本年度的利润为 f (x )＝(3－0.9x )×3240×（－x 2＋2x ＋35）
＝3240×(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)
则f ＇(x )＝3240×(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)
由f ＇(x )＝0，解得x ＝
95或x ＝3………………………………………………9分 当x ∈(0，
95)时，f ＇(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ∈(9
5，1)时，f ＇(x )＜0，f (x )是减函数。

∴当x ＝95时，f (x )取得极大值f (9
5)＝20000万元， 因为函数f (x )在(0，1)上只有一个极大值，所以它是最大值。

所以当x ＝9
5时，本年度的利润最大，最大利润为20000万元。

…………………12分 22、（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)∵f (x )是奇函数
∴f (x )对于任意x ∈[－1，1]，－x ∈[－1，1]
f (－x )＝－f (x )恒成立……………………………………2分
设－1≤x 1＜x 2≤1
则x 1－x 2＜0，即x 1＋（－x 2）－x 2≠0…………………3分 由题意，得)
()()(2121x x x f x f －＋－＋＜0
∴2
121)()(x x x f x f －－＜0 ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)
∴f (x )在[－1，1]上是减函数……………………………………7分 (Ⅱ)∵f (－1)＝2，f (x )在[－1，1]上是减函数
∴当x ∈[－1，1]时，f (x )≤2…………………………………9分 由题意，得m 2－2am ＋2≥2
∴m 2－2am ≥0，即m (m －2a )≥0……………………………11分 由于a ∈[－1，1]不等式恒成立
∴m ＝0或m ≥2或m ≤－2
∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)…………12分。