《1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质》PPT课件(部级优课)

0 5
C
1 5
C52
C53
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
n=6---
C
0 6
C
1 6
C62
C63
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
Cnk 1与Cnk的大小关系?
增减性与最大值
证明：（法一）
n!
Cnk C k1
n
k !(n k)! n!
nk1 k
(k 1)!(n k 1)!
m n
C nm n
C
r
n1
C
r 1
n
C
r n
新知引入
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
C32
C
3 3
11 121 1 33 1
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 4641
C
0 5
C
1 5
普通高中课程标准人教A版数学选修2-3
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
复习回顾
二项式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn(n N )
二项式系数 Cnk (k 0,1, ,n)
通项 Tk1 Cnkankbk
组合数两个性质:
C
CnC1 xn11anC1bn2x Cn2
2Cnn=C？ nraCnnr rxbrr
CCnnnnxbnn
令x 1,则
2n
Cn0
C
1 n
C
2 n
Cnn
赋值法
f x 1 xn Cn0 Cn1x ... Cnk xk ... Cnnxn
C
4 5
C
5 5
1
6 15 20 15 6
1
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 7 21 35 35 21 7 1
C
12
C
22
C
2 3
C
14
C
42
C
2 5
新知探究三:
2.增减性与最大值
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
当n为奇横数向如:每1、行3系、数5大时小，变中化间趋两势项？ 最大
称轴将图象分成
对称的两部分
5
图象法
1
o 1234 56 r
对称轴：r n 2
f (r)
f (r)
20
n为偶数；如n=6
30
15
n1
20
2
10 6
n为奇数； 如n=7
n1 2
O 3n 6
r
2n
O
3 n4
7r
n
2
n
当n是偶数时，中间的一项
C
2
n
取得最大值.
当n是奇数时，中间的两项
C 和 n1 2 n
杨辉三角
一 一一 一 二一 一 三三 一 一四六 四一 一五 十 十 五一 一 六 十五二十十五 六 一
在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662） 首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角. 杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右.
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
新知探究一: 二项式系数的性质
1.对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数 相等 .
n=1---------------------
C10C
1 1
n=2----------------
C
0 2
C
1 2
C
2 2
对称性
11 121
n=3--------------C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
n=4----------
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C55
1 5 10 10 5 1
1 C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
“杨辉三角”
杨 辉 南 宋
此表在我国南宋数学家 杨辉1261年所著的《详解九 章算法》里就已经出现，并 且北宋数学家贾宪(约公元11 世纪)已使用过它.
()
11 1 22 11 1 3 33 1
例如：C
0 1
C
1 1
2+1=3 C C C r
r1 r
4+6=10 n1 n
n
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
1 44 66 4 1
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 5 1100 10 5 1
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
n1
C2 n
相等,
且同时取得最大值.
新知探究四:
计算各行二项式系数的和，你能发现什么规律？
n=1---------------------------- 1 1
2 21
n=2----------------------- 1 2 1
n=3------------------- 1
33
1
n=4-------------- 1 4 6 4 1
n=1--------------------
C
C 0 1
11
11
n=2---------------
C
0 2
C
1 2
C
2 2
n=3------------
C
0 3
C31
C32
C
3 3
121 1 33 1
n=4---------
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 4641
n=5------
C
k nk 1
2
可知，当 k n 1时，
2
二项式系数前半部分逐渐增大的，由对称性可知它
的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
函数角度
f
(r
)
C
r n
,
定义域为 { 0, 1, 2,
…
, n }.
当n= 6时, f r C6r f (r) 20
其图象是7个孤立点. 15
直线
r
n 2
作为对
10
4 22 8 23 16 24
n=5---------- 1 5 10 10 5 1
32 25
64 2 n=6--- 1 6 15 20 15 6 1
6
n 猜想: Cn0 Cn1 Cn2....... Cnn 2n
二项式系数的性质

3.各二项式系数的和
((a1 bx))nn CCn0n0an 那么，Cn0 Cn1
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
Cnm Cnnm
1 331 1 4641
n=5-------
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
n=6----
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
新知探究二: 在 个数相纵的邻向和的：两.（行相“双中邻肩,除两”1和以行）外的的数每一有个什数么都等关于系它？“肩上”两
nk 1 1 k n1
k
可知，当 k
n
1
2
时，
2
二项式系数前半部分逐渐增大的，由对称性可知它
的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
增减性与最大值
证明：（法二）
Cnk
C k1 n
n!
k!n
k
!
k
n!
1!n
k
1!
k
n!
1!n
k
!
1 k
n
1 k
1
1 1 0 k nk 1 k n1