湛江市2019—2020学年度第一学期高二文科数学期末调研考试
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湛江市2019—2020学年度第一学期期末调研考试
高中数学(必修⑤、选修1-1)试卷
说明:本卷满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确答案的代号填入下面的表格内.
1.如果,那么下列不等式一定成立的是
A .c b c a +>+
B .b c a c ->-
C .b a 22->-
D .2
2
b a > 2.命题“R x ∈∃0,012
3
>+-x x ”的否定是
A .R x ∈∃0,012
3
<+-x x B .R x ∈∀,012
3
≤+-x x C .R x ∈∃0,012
3
≤+-x x D .不存在R x ∈,012
3
>+-x x 3.若a 、b 、c 、R d ∈,则“c b d a +=+”是“a 、b 、c 、d 依次成等差数列”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 4.已知ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,6=c ,4=a ,ο
120=B ,则=b
A .76
B .192
C .27
D .72 5.已知数列{}n a 的通项公式503-=n a n ,则前n 项和n S 的最小值为
A .784-
B .368-
C .389-
D .392- 6.已知ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,14=a ,16=b ,ο45=A ,则满足条件的三角形有
A .0个
B .1个
C .2个
D .1个或2个
学校 班级 姓 学
密 封 线
7.已知命题p :“到点)0,1(的距离比到直线2-=x 的距离小1的动点的轨迹是抛物线”,命题q :“1和100的等比中项大于4和14的等差中项”,则 A .命题q p ∨是假命题 B .命题q p ∧是真命题 C .命题)(q p ⌝∧是真命题 D .命题)(q p ⌝∨是假命题
8.若函数d cx bx ax x f +++=23)(有极大值点1x 和极小值点2x (21x x <),则其导函数)(x f '的大致图象可能是
9.若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两个不同的点,且AB 的中点的横坐标为2,则=k
A .2
B .1-
C .2或1-
D .51± 10.已知函数x x x f cos )(=
,则=')2
(π
f A .π2- B .π2 C .π
3
D .π3-
11.已知双曲线1C :13
42
2=-y x 的一条渐线与双曲线2C 的一条渐近线垂直,则双曲线2
C 离心率为 A .
27 B .321 C .27或321 D .47或3
7
12.已知正项等比数列{}n a 中799a a =,若存在两项m a 、n a ,使2
127a a a n m =,则
n
m 161+的最小值为
A .5
B .521
C .16
5
D .465
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.若关于x 的不等式052
<+-b x ax 的解集为}32|{<<x x ,则=+b a . 14.函数x
xe x f =)(在0=x 处的切线的斜率为 .
15.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨
⎧≤≤≥-+≥+3
00
2202y x y x y x ,则目标函数y x z +=的最大值为______.
16. 已知抛物线方程为x y =2
,点M 在此抛物线上运动,则点)0,4(A 与点M 之间的距离||MA 的最小值为______________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)
已知抛物线C :22x y =和直线l :1+=kx y ,O 为坐标原点.
(Ⅰ)若抛物线C 的焦点到直线l 的距离为
16
7
,求k 的值; (Ⅱ)若直线l 与直线x y 2=平行,求直线l 与抛物线C 相交所得的弦长.
18.(本小题满分12分)
甲乙两地相距km 100,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过km 80.已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的9
1
,固定成本为a 元.
(Ⅰ)将全程运输成本y (元)表示为速度v (h km /.)的函数,并指出这个函数的定义域;
(Ⅱ)若400=a ,为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?
19.(本小题满分12分)
已知椭圆C :
12
22
2=+
b y a x (0>>b a )的离心率为
2
3
,短轴长为4. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)求以点)1,2(P 为中点的弦所在的直线l 的方程.
20.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 是等比数列,首项11=a ,公比0>q ,其前n 项和为n S ,且11a S +,
33a S +,22a S +成等差数列.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足n
n a n
b =,求数列{}n b 的前n 项和n T . 21.(本小题满分12分)
在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,已知A b B a c sin cos +=. (Ⅰ)求角A 的值;
(Ⅱ)若2=a ,c b =,求ABC ∆的面积. 22.(本小题满分12分)
已知函数)1(ln )(+-=x m x x f (R m ∈).
(Ⅰ)若1=m ,判断函数)(x f 的单调性,并求出单调区间;
(Ⅱ)若函数02)(<+m x f 对任意),1(∞+∈x 恒成立,求m 的取值范围.
湛江市2019—2020学年度第一学期期末调研考试
高中数学(必修⑤、选修1-1)参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
12.解:正项等比数列中,
927
9
==q a a ,所以3=q .因为2
1
22
1111127a q a q a q a a a n m n m n m ==⋅=-+--,
所
以
5
=+n m .因为
5)1716(51)1716(51)161)((51161=+⋅≥++=++=+n
m m n n m m n n m n m n m (当且仅当n
m m n 16=
,即m n 4=时取等号),(注:因为m 、n *
N ∈,所以1=m ,4=n .) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.7 14.1 15.3 16.
2
15
16.解:不妨设),(2
m m M ,则2
15
415)27()4(||22222≥+-=+-=
m m m MA .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分) 解:(Ⅰ)由22x y =得:y x 2
1
2
=
, 所以抛物
线
C 的焦点为
)8
1
,
0(F .……………………………………………………………………2分 所以1671
|
1810|2=++-k ,化简得:212=+k , 所
以
3±=k .…………………………………………………………………………………………
…4分 (
Ⅱ
)
因
为
直线l 与直线x y 2=平行,所以
2=k . ………………………………………………………5分
设直线l 与抛物线C 相交于),(11y x A ,),(22y x B , 所以1211+=x y ,1222+=x y . 将
12+=x y 代入
2
2x y =得:
01222=--x x ,…………………………………………………6分
则
1
21=+x x ,
2
1
21-
=⋅x x . ………………………………………………………………………7分 所以154)(5)()(||21221221221=⋅-+⋅=-+-=
x x x x y y x x AB .
所
以
所
求
弦
长
为
15. …………………………………………………………………………………10分
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)依题意:]80,0(∈v ,可变成本为29
1v 元,所需时间为v 100
小时,………………………………2分 所
以
v
a v y 100
)
9(2+=,即:
)9(100v
a
v y +=,……………………………………………………5分
定
义
域
为
]80,0(∈v .…………………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)依题意:)400
9(100v
v y +
=, 因为
340400924009=⋅≥+v v v v (当且仅当v
v 4009=,即60=v 时取等号),…………………9分 所以
3
4000)4009(100≥+=v v y (当且仅当60=v 时取等
号).…………………………………11分
所以为了使全程运输成本最小,货车应以h km /60的速度行
驶.…………………………………12分
19.(本小题满分12分) 解
:(Ⅰ)依题意:4
2=b ,所
以
2=b .…………………………………………………………………………1分
因
为
离
心
率
2
3==
a c e ,所以
2
24
3a c =
.………………………………………………………… 2分 因
为
2
22b a c -=,所以
162=a .…………………………………………………………………3分
所
以
椭
圆
C
的方程为
14
162
2=+y x .……………………………………………………………………4分 (
Ⅱ
)
设
直线l 与椭圆相交于
)
,(11y x A ,
),(22y x B ,…………………………………………………5分
所
以
直
线
AB
的斜率
2
12
1x x y y k --=
.……………………………………………………………………6分
因为点
P 是A 、B 的中点,所以
4
21=+x x ,
221=+y y .……………………………………7分
因为点A 、B 在椭圆C 上,
所以1642
12
1=+y x ,1642
22
2=+y x .
两式相减得:0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ,
即
:
0)(2)(2121=-+-y y x x .……………………………………………………………………
10分
所
以
2
1-
=k .…………………………………………………………………………………………11分
所
以
直
线
l
的方程为:
)
2(2
1
1--=-x y ,即:
042=-+y x .………………………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)因为11a S +,33a S +,22a S +成等差数列, 所
以
=+)(233a S 2211a S a S +++, (2)
分
所以21323132a a a S S S S +=+-+-,化简得:134a a =. 因为数列{}n a 是等比数列,首项11=a ,公比0>q , 所
以
4
1
213==q a a ,即:
2
1
=
q .………………………………………………………………………4分 所
以
数
列
{}
n a 的通项公式
1
21-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=n n a .……………………………………………………………5分
(
Ⅱ)由
n
n a n b =
可得:
12-⋅=n n n b .……………………………………………………………………6分
所
以
121022)1(2221--⋅+⋅-++⨯+⨯=n n n n n T Λ, (7)
分
所
以
n n n n n T 22)1(22212121⋅+⋅-++⨯+⨯=-Λ, (8)
分
两式相减得:
n n n n T 222111⋅-+++=--Λ,……………………………………………………………
……9分
所
以
n n n n T 22
12211⋅+-⋅--=-, (11)
分
所
以
12)1(+-=n n n T . (12)
分
21.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由正弦定理知:A R a sin 2=,B R b sin 2=,C R c sin 2=, 又因为A b B a c sin cos +=, 所以A B B A C sin sin cos sin sin +=.……………………………………………………………1分
因为)(B A C +-=π,所以B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=. 所
以B A B A sin sin sin cos =.……………………………………………………………………3分
因为0≠B ,所以0sin ≠B ,所以A A sin cos =,即
1tan =A ,……………………………4分
因为A 是ABC ∆的内角, 所以
4
π
=
A .…………………………………………………………………………………………5分
(
Ⅱ
)
ABC
∆的面积
bc A bc S 4
2sin 21==
.……………………………………………………………6分 由余弦定理知:A bc c b a cos 22
2
2
-+=, 因为2=a ,c b =,
所
以
42222=-+b b b , (10)
分
所以)22(22
242
+=-=b ,即:)22(2+=bc .
所
以
ABC
∆的面积
124
2sin 21+===
bc A bc S .…………………………………………12分 22.(本小题满分12分)
解
:
(
Ⅰ
)
显
然
函
数
)
(x f 的定义域为
),0(∞+.………………………………………………………………1分
11
)(-=
'x
x f .…………………………………………………………………………………………2分
由0)(>'x f 解得:1<x ,即函数)(x f 在)1,0(上单调递增,…………………………………3分
由0)(<'x f 解得:1>x ,即函数)(x f 在),1(∞+上单调递减.………………………………4分
所以当)1,0(∈x 时,函数)(x f 单调递增, 当
)
,1(∞+∈x 时,函数
)
(x f 单调递
减.……………………………………………………5分
(
Ⅱ
)
设
m
x f x g 2)()(+=,则
m x
m mx x x g -=
'+-='1
)(ln )(.…………………………………6分 所以当0≤m 时,0)(>'x g ,函数)(x g 单调递增,0)1()(=>g x g ,不合题意.…………7分
当0>m 时,由0)(>'x g 可得:m x 1<,由0)(<'x g 可得:m
x 1>, 即函数)(x g 在区间)1,0(m 上单调递增,在区间),1
(∞+m
上单调递
减.…………………8分
当11
≤m
,
即:1≥m 时,函数)(x g 在),1(∞+单调递减,0)1()(=<g x g 恒成立.…9分
当11>m ,即:1<m 时,函数)(x g 在)1,1(m 上单调递增,在),1
(∞+m
上单调递减,
所以存在
x ,使
0)1()(0=>g x g 成立,不合题
意.…………………………………………11分
综上所述,
所
求
范
围
是
),1[∞+.…………………………………………………………………12分
注:如上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分.
湛江市2019—2020学年度第一学期期末调研考试高中数学(必修⑤、选修1-1)试卷第11 页(共11 页)。