高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 课时3 空间点、线、面的位置关系课件 文

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证明：(1)连接 EG、HF，因为 E、G 分别是 BC、AB 的 中点，所以 GE∥AC，
又因为 DF∶FC＝2∶3，DH∶HA ＝2∶3，
所以 HF∥AC，所以 GE∥HF， 故 G、E、F、H 四点共面． (2)由(1)知 G、E、F、H 四点共面， 又 EF 与 GH 不平行， 所以 EF 与 GH 必相交．
第八 单元 (dì bā) 立体几何
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第49讲 空间点、线、面的位置
关系 (wèi zhi)
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1．了解平面的基本性质，理解“三个公理”的意义． 2．理解空间点、直线、平面的位置关系的定义． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明空间位置 关系的简单命题．
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解：①因为 M、G 为中点，可得到 GM HN， 所以 GH∥MN，所以 GH 与 MN 共面． ②④可利用结论：“平面内一点和平面外一点的连线， 和平面内不经过该点的直线是异面直线”进行判定，也可 采用反证法判定，得到 GH 与 MN 是异面直线． ③因为 GM 12HN，所以 GH 与 MN 共面． 答案：②④
1．在下列命题中，不是公理的是( A )
A．平行于同一平面的两个平面互相平行
B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上有两点在同一平面内，那么这条直线
上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且
只有一条过该点的公共直线 解：根据点、线、面位置关系的 4 个公理来判断，选项
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【变式探究(tànjiū)】
3．如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝12AD，BE∥FA，BE＝12FA，G， H 分别是 FA，FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边 形；
(2)证明：C，D，F，E 四点共面．
过该点的公共直线．用符号语言表述
为： P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l且P∈l
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2.空间两条直线的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系包括 平行(píngxíng)、相交、异，面 其中异面直线是指不同在 任何(rènhé)一个平面内的直线． (2)公理 4：平行于同一条直线的两条直线 . 平行(píngxíng) (3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角 相等或互补 .
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考点二·判断空间(kōngjiān)两直线的位置关系
【例 2】(2017·覃塘区校级月考)在下图中，G、N、M、 H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或 所在棱的中点，则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有 __________．(填上所有正确答案的序号)
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【变式探究(tànjiū)】
2．如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中：
①GH 与 EF 平行； ②BD 与 MN 为异面直线；
③GH 与 MN 成 60°角； ④DE 与 MN 垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是
l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故 B 正确； 当 l1∥l2∥l3 时，l1，l2，l3 未必共面，如三棱柱的三条侧 棱，故 C 不正确； l1，l2，l3 共点时，l1，l2，l3 未必共面，如正方体中从同 一顶点出发的三条棱，故 D 不正确．
答案:B
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3．若直线 a，b 是异面直线，直线 b，c 是异面直线，
则 a，c 的位置关系是( )
A．异面直线
B．相交直线
C．平行直线
D．以上都有可能
解：可画图帮助判断，得到 a 与 c 异面、相交、平 行都有可能．
答案：D
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4．l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的 是( )
反之,若 α,β 相交,则 a,b 的位置关系可能为平行、相 交或异面.
因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相 交”的充分不必要条件.
答案: A
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点、线、面位置(wèi zhi)关系的判定
判断(pànduàn)空间两直线的位置关 系 平面基本性质(xìngzhì)的应用
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证明：(1)因为 G，H 分别是 FA，FD 的中点， 所以 GH∥AD，GH＝12AD， 又因为 BC∥AD，BC＝12AD，所以 BC∥GH，BC＝GH， 所以四边形 BCHG 是平行四边形．
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(2)因为 BE∥FA，BE＝12FA， 所以 BE∥FG，BE＝FG， 所以四边形 BGFE 是平行四边形，所以 BG∥EF. 又因为 BG∥CH，所以 EF∥CH. 所以 C，H，F，E 四点共面． 又 D∈FH，FH⊂平面 CHFE，所以 D∈平面 CHFE， 所以 C，D，F，E 四点共面．
5．(2016·山东卷)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面
α,β 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相
交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解：由题意知 a⊂α,b⊂β,若 a,b 相交,则 a,b 有公共 点,从而 α,β 有公共点,可得出 α,β 相交；
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3．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
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【变式探究(tànjiū)】
1．若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4 满足 l1⊥ l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．平面的基本性质
公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么
这条直线在此平面内．
用符号语言表述为：若A、B∈l，且A、B∈α，则l⊂α
.
公理 2：经过 不在同一条(yī tiáo)直线上的三点，有且只有一个
平面．
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们
【例 3】在空间四边形 ABCD 中，E，G 分别为 BC，AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD 上，且有 DF∶FC＝2∶3， DH∶HA＝2∶3.
(1)求证：G，E，F，H 四点共面； (2)求证：EF，GH，BD 交于一点； (3)若 EF 与 GH 相交于 O，证明：B，D，O 三点共线．
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点评：(1)空间两条直线位置关系的判定，主要是异面、 共面的判定．对于异面直线的判定可直接证明也可采用反 证法，通过图形分析、运用反证法的思想是判断线面位置 关系的常用方法．
(2)共面的情况主要是对平行与垂直这两种特殊位置关 系的判定．对于平行的判定，常利用三角形(梯形)的中位线 的性质、平行四边形的性质、公理 4 及线面平行与面面平 行的性质定理；对垂直关系的判断，常利用平面几何中特 殊图形的特点及线面垂直的性质来解决．
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解：把正四面体的平面展开图还原,如图所示.
GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线, GH 与 MN 成 60°角, 由 AF⊥DE,MN∥AF,所以 DE⊥MN.
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考点三·平面基本(jīběn)性质的应用
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3．空间中直线与平面的位置关系
无数个
4．平面与平面的位置关系 平行—— 没有公共点 相交—— 有且只有一条公共直线
一个 没有
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1．公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只 有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．异面直线的判定定理 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该 点的直线是异面直线．
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点评：(1)理解平面的基本性质，掌握其基本应用是解 决“点、线共面，多点共线，多线共点”的关键．
(2)公理 1 是判断一条直线是否在平面内的依据；公理 2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理 3 是证 明三点共线或三线共点的依据．
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A 是两平面平行的性质，B、C、D 分别是公理 2、公理 1 和
公理 3.
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2．如果两条直线 a，b 没有公共点，那么 a，b 的位置
关系是( )
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
解：平行和异面都没有公共点．
答案：D
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考点(kǎo diǎn)一·点、线、面位置关系的判定
【例 1】(经典真题)已知 m，n 为异面直线，m⊥平面 α， n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则
A．α∥β 且 l∥α B．α⊥β 且 l⊥β C．α 与 β 相交，且交线垂直于 l D．α 与 β 相交，且交线平行于 l
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面 D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面
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解：当 l1⊥l2，l2⊥l3 时，l1 也可能与 l3 相交或异面，故 A 不正确；
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设 EF∩GH＝O，由 O∈EF，EF⊂平面 BCD， 所以 O∈平面 BCD，同理 O∈平面 ABD， 所以 O 在平面 ABD 与平面 BCD 的交线 BD 上， 所以 EF、GH、BD 交于一点 O. (3)由(2)可知，O 点在 BD 上，所以 B、D、O 三点共线．
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1．空间点、线、面位置关系的判断，常常需要进行文 字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用，特别要 注意“构造法”的运用，通过构造长方体等模型，能化抽 象为直观，快速得到判断．
2．判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和 平面内不经过点 B 的直线是异面直线． (2)反证法：即证明两线不可能平行、相交或证明两线 不可能共面，从而得到两线异面．
解：如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
记 l1 为 DD1 所在的直线，l2 为 DC 所在的直线，l3 为 DA 所在的直线，
若 l4＝AA1，满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时，l1∥l4， 可排除选项 A 和 C.
若 l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项 B.故选 D. 答案：D
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解：直接去判断每一个选择支是否正确，很抽象．可 构造长方体模型，化抽象为直观进行判断．
画出满足题设条件的长方体模型，如图：
显然 α⊥β，排除 A；虽然α⊥β，但 l∥β，排除 B；
α 与 β 相交，且交线平行于 l，排除 C，选 D. 答案：D
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点评：(1)对于线线、线面、面面的位置关系的判定， 常常可构造长方体模型或正方体模型，化抽象为直观去判 断．
(2)构造法实际上是结合题意构造符合题意的直观模 型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽 象性，可避免因考虑不全面而导致解题错误．
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