山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期末考试-数学试题-扫描版含答案

2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断
高一数学试题参考答案
一、选择题
6. D 二、填空题
14. 8
9-
15. 1 16. 6π- 17.
, 1
三、解答题
18.解：（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ， ……………3分
所以2+==a b ……………6分 （2）(1,2)m -=--a b ， ……………9分
因为a 与-a b 共线，所以
1212
m --=，解得4m =. ……………13分 19.解：（1）原式 2sin 3cos 3sin cos αα
αα+=
+
………………………………4分
2tan 318
3tan 113
αα+=
=+； ……………………………6分
（2）因为(0,
)2
π
α∈，3sin 5α=
，所以4cos 5
α==. ………8分 又因为(0,
),(,)22
π
π
αβπ∈∈，所以(,0)αβπ-∈-，
所以12
sin()13αβ-==-
. ……………10分
于是sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=--- ……12分
3541263
()51351365
=⨯-⨯-=. ……………13分
20.解：（1）因为A c C a A b cos cos cos 2+=，
所以由正弦定理可得 2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,……2分 即2sin cos sin()sin B A A C B =+=, ……………………………4分
因为sin 0B ≠,所以1cos 2=A ，2
1
cos =
A ， ……………5分 ),0(π∈A ,故3
π
=
A . ……………6分
（2）由已知得12
33
AD AB AC =
+， ……………9分 所以2
22144+999AD AB AB AC AC =
+
……………11分 164443cos 99939π=
+⨯⨯+⨯769
=, 所以219
AD =
. ……………13分 21.解：（1）31()2sin 2sin(2)223
f x x x x π
ωωω=
+=+， ………………2分 由
πω
π
=22,得1=ω. ……………3分 所以()sin(2)3
f x x π
=+
.
于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23
x g x π
=+
.……………6分 （2）由222
232
x k k π
ππ
ππ-
≤
+≤+,k ∈Z 得 ……………8分 54433
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k ∈Z
所以函数)(x g 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，k ∈Z .………10分 由
ππ
k x =+32，解得22()3
x k k ππ=-∈Z . ……………12分 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3
k k π
π-
∈Z . ……………13分 22.解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+
2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--
2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---
sin(2)x A =-. ……………3分
因为()f x 在512
x π
=时取得最大值， 所以522122
A k ππ
π⨯
-=+，k ∈Z , ………………………4分 即2,3
A k k Z π
π=-+
∈. 因为(0,)A π∈，所以3
A π
=
，
所以()sin(2)3
f x x π
=-. ………………………………………5分
因为(0,
)2
x π
∈，所以22(,)3
33
x π
ππ
-
∈-
所以sin(2)13
x π
<-≤， ……………7分
因为关于x 的方程()=f x t 有解，所以t 的取值范围为(．………8分 （2）因为5=a ，
3
A π
=
，由正弦定理
sin sin sin b c a B C A ==
于是sin sin ()10
+=
+B C b c ．
又sin sin +=
B C ，所以8+=b c . ……………11分
由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-，
得2
2
25=+-b c bc ，即2
25()3643=+-=-b c bc bc ，
所以13=bc ， ……………14分
所以1sin 2ABC S bc A ∆=
= ……………15分 23. 解：（1）因为点P 为靠近点B 的三等分点，13BP =
，1
tan 3
PAB ∠=. ①又因为60PAQ ∠=，
所以1
6tan tan(30)13DAQ PAB ∠=-∠=
=； ………3分
②（法1）122
()()339
PA PQ DA BA DA CQ CQ
=+-
+=-
+, ………5分 而619
111313
CQ DQ -=-=-
=
, 所以29PA PQ =-
+=
； ……………7分 （法2）以A 为坐标原点，分别以,
AB AD 所在方向为,x y 轴的正方向，建立直角坐标系xAy ，则()0,0A ,1(1,)3
P ，Q ， ……………5分 所以1
(1,)3
PA =--，52
(
)3
PQ
=， ……………6分 所以192145139117
PA PQ --=
-=
； ……………7分 （2）（法1）由题意[0,]6π
θ∈，1cos AP θ
=， 1
cos()6
AQ πθ=
-， …………9分
所以11sin 602cos cos()6APQ S πθθ∆=⋅⋅⋅
-1
4cos cos()6
πθθ=⋅⋅-.………10分
而1
cos cos(
)cos (
cos sin )6
22
π
θθθθθ⋅-=+
21cos sin cos 22θθθ=
+11
2sin 2)22
θθ=+
1sin(2)23
π
θ=
++, ……………12分 [0,]6
πθ∈，22[,]3
33
πππθ∴+∈，
当23
2
π
π
θ+
=
，即12
π
θ=
时cos cos(
)6
π
θθ
⋅-取最大值为
4
，……14分 此时
APQ ∆
的面积最小值为34. ……………15分 注：θ的取值范围[0,
]6
π
θ∈，学生写为开区间或半开半闭区间不扣分.
（法2）以A 为坐标原点，分别以,AB AD 所在方向为,x y 轴的正方向，建立直角坐标系xAy ， 则(0,0)A ,(1,tan )P θ，(tan(
),1)6Q π
θ-，[0,]6
π
θ∈. ……………8分
所以1sin 23APQ S AP AQ π∆=
⋅=
14cos cos()
6
πθθ==-，……10分
以下同解法1.|。