辽中区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

辽中区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与BG 所成角的大小是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
2． 已知a=log 23，b=8﹣0.4，c=sin
π，则a ，b ，c 的大小关系是（
）
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞b ＞a
3． 设函数f （x ）=
的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是（
）
A ．a ≥﹣2
B ．a ＞﹣2
C ．a ≥﹣
D ．a ＞﹣
4． 已知函数f （x ）=，则
的值为（
）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．3
5． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）
A ．ac bc >
B ．
11a b
<
C ．22a b >
D ．33
a b >6． 已知三棱锥外接球的表面积为32，，三棱锥的三视图如图
S ABC -π0
90ABC ∠=S ABC -所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）
A ．4
B ．
C ．8
D ．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
7． 如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O 交于A ，B ，C 三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x 轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．π
8． 已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）22ai
Z i
+=+A ．-2 B ．1
C ．2
D ．39． 已知直线x ﹣y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2
x ﹣4
y+7=0相交于A ，B 两点，且•
=4，则实数a 的
值为（ ）
A ．
或﹣
B ．
或3
C ．
或5
D ．3
或5
10．在中，角，，的对边分别是，，，为边上的高，，若
ABC ∆A B C BH AC 5BH =，则到边的距离为（ ）
2015120aBC bCA cAB ++=u u u r u u u r u u u r r
H AB A ．2 B ．3
C.1 D ．4
11．设集合（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．若复数是纯虚数，则的值为 .
34
sin (cos 55
z αα=-
+-tan α【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．
14．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说法正确的是 ；①直线l 的倾斜角为α；
②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值；③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交；④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2；⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．
15．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是 ．
16．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：（1）f （2x ）=2f （x ）；（2）当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|，则集合S={x|f （x ）=f （34）}中的最小元素是 ．
17．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．18．函数f （x ）=
（x ＞3）的最小值为 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=2x 2﹣4x+a ，g （x ）=log a x （a ＞0且a ≠1）．（1）若函数f （x ）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若f （1）=g （1）①求实数a 的值；②设t 1=f （x ），t 2=g （x ），t 3=2x ，当x ∈（0，1）时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．
20．已知函数f （x ）=sinx ﹣2sin 2
（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[0，]上的最小值．
21．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方
程为（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋2x ＝0.
{x ＝
cos t y ＝1＋sin t
)
3（1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．
22．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）求A ∪B ；（2）求（∁U A ）∩B ；（3）求∁U （A ∩B ）．　
23．（本小题满分12分）
2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100
3.32
名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为．
0.4
（Ⅰ）确定，，，的值；
x y p q （Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．
①请将列联表补充完整；
网龄3年以上
网龄不足3年
合计
购物金额在2000元以上35
购物金额在2000元以下
20
合计
100
②并据此列联表判断，是否有%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？
97.5参考数据：
()
2k P K ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
()()()()()
2
2
n ad bc a b c d a c b d -K =++++n a b c d =+++24．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ．（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）求证：AM •MB=DF •DA ．
辽中区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AA1=2AB=2AD=2，
A1（1，0，2），C1（0，1，2），=（﹣1，1，0），
B（1，1，0），G（0，1，1），=（﹣1，0，1），
设直线A1C1与BG所成角为θ，
cosθ===，
∴θ=60°．
故选：C．
【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．
2．【答案】B
【解析】解：1＜log23＜2，0＜8﹣0.4=2﹣1.2，sinπ=sinπ，
∴a＞c＞b，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据对数函数，指数函数以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：当x≥时，f（x）=4x﹣3≥2﹣3=﹣1，
当x=时，取得最小值﹣1；
当x＜时，f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，
即有f（x）在（﹣∞，）递减，
则f（x）＞f（）=a﹣，
由题意可得a﹣≥﹣1，
解得a≥﹣．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．
4．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=，
∴f（）==﹣2，
=f（﹣2）=3﹣2=．
故选：A．
5．【答案】D
【解析】
考点：不等式的恒等变换.
6．【答案】A
【解析】
考
点:三视图．
【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.
7．【答案】A
【解析】（本题满分为12分）
解：由题意可得：|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin（α+β），
设边长为sin（α+β）的所对的三角形内角为θ，
则由余弦定理可得，cosθ=
=﹣cosαcosβ
=﹣cosαcosβ
=sinαsinβ﹣cosαcosβ
=﹣cos（α+β），
∵α，β∈（0，）
∴α+β∈（0，π）
∴sinθ==sin（α+β）
设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R==1，
∴R=，
∴外接圆的面积S=πR2=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】
试题分析：
，对应点在第四象限，故，A 选项正确.()()()()2224(22)2225ai i ai a a i
i i i +-+++-==
++-40220
a a +>⎧⎨-<⎩考点：复数运算．9． 【答案】C
【解析】解：圆x 2+y 2+2x ﹣4
y+7=0，可化为（x+
）2+（y ﹣2
）2=8．
∵
•
=4，∴2
•2
cos ∠ACB=4
∴cos ∠ACB=，∴∠ACB=60°
∴圆心到直线的距离为，
∴=
，∴a=
或5
．
故选：C ．
10．【答案】D 【解析】
考
点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.
【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差
，这是一个易错点，两个向量的和（点是的中点）,另外，要选好基底
OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r 2OA OB OD +=u u u r u u u r u u u r
D AB 向量，如本题就要灵活使用向量，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几
,AB AC u u u r u u u r
何意义等.11．【答案】B
【解析】解：集合A 中的不等式，当x ＞0时，解得：x ＞；当x ＜0时，解得：x ＜，集合B 中的解集为x ＞，则A ∩B=（，+∞）．故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　
12．【答案】C
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵S 3=a 2+10a 1，a 5=9，∴
，解得
．
∴．
故选C ．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．　
二、填空题
13．【答案】34
-
【解析】由题意知，且，所以，则.3sin 05α-
=4cos 05α-≠4cos 5α=-3tan 4
α=-14．【答案】　②③④　
【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；对于②：（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1，（α∈[0，2π）），可以认为是圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1的切线系，故②正确；对于③：存在定圆C ，使得任意l ∈L ，都有直线l 与圆C 相交，如圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=100，故③正确；
对于④：任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2，作图知④正确；对于⑤：任意意l 1∈L ，必存在两条l 2∈L ，使得l 1⊥l 2，画图知⑤错误．故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．
15．【答案】　（﹣1，1]　．
【解析】解：在同一坐标系中画出函数f （x ）和函数y=log 2（x+1）的图象，如图所示：
由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．
故答案为：（﹣1，1]
16．【答案】　6　
【解析】解：根据题意，得；
∵f（2x）=2f（x），
∴f（34）=2f（17）
=4f（）=8f（）
=16f（）；
又∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|，
∴f（）=1﹣|﹣3|=，
∴f（2x）=16×=2；
当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|≤1，不存在；
当4≤x≤8时，f（x）=2f（）=2[1﹣|﹣3|]=2，
解得x=6；
故答案为：6．
【点评】本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题，是基础题目．
17．【答案】　[﹣1，3]　．
【解析】解：∵函数y=sin2x﹣2sinx=（sinx﹣1）2﹣1，﹣1≤sinx≤1，
∴0≤（sinx﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）2﹣1≤3．
∴函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
18．【答案】　12　．
【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0
由题意知：=﹣
令t=∈（0，），h（t）==t﹣3t2
因为h（t）=t﹣3t2的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；
故h（t）∈（0，]
由h（t）=⇒f（x）=≥12
故答案为：12
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）因为抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上，对称轴为x=1，
所以函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
因为函数f（x）在[﹣1，3m]上不单调，
所以3m＞1，…（2分）
得，…（3分）
（2）①因为f（1）=g（1），所以﹣2+a=0，…（4分）
所以实数a的值为2．…
②因为t1=f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
t2=g（x）=log2x，
t3=2x，
所以当x∈（0，1）时，t1∈（0，1），…（7分）
t2∈（﹣∞，0），…（9分）
t3∈（1，2），…（11分）
所以t2＜t1＜t3．…（12分）
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2
=sinx﹣2×
=sinx+cosx﹣
=2sin（x+）﹣
∴f（x）的最小正周期T==2π；
（2）∵x∈[0，]，
∴x+∈[，π]，
∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，
∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．　
21．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：（t 为参数）得
{x ＝
cos t y ＝1＋sin t )
x 2＋（y －1）2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程，由圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0得
3ρ2＋2ρcos θ＝0，即ρ＝－2cos θ为C 2的极坐标方程．33（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为A （2sin α，α），B （－2cos α，α）．3∴|AB |＝|2sin α＋2cos α|
3＝4|sin （α＋）|，α∈[0，π），
π3
由|AB |＝2得|sin （α＋）|＝，
π312
∴α＝或α＝.
π25π6
当α＝时，B 点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，
π2π25π6此时l 的方程为y ＝x ·tan （x ＜0），
5π6
即x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－，0），
333∴C 2到l 的距离d ＝＝，
|3×（－3）|
（3）2＋3232
∴△ABC 2的面积为S ＝|AB |·d
12
＝×2×＝.
12
3
232即△ABC 2
的面积为.
32
22．【答案】
【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）A ∪B={1，2，3，4，5，7}（2）（∁U A ）={1，3，6，7}∴（∁U A ）∩B={1，3，7}（3）∵A ∩B={5}
∁U （A ∩B ）={1，2，3，4，6，7}．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．　
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上的频率为，40.所以网购金额在2000元以上的人数为100=4040.⨯所以，所以，……………………1分
4030=+y 10=y ，……………………2分
15=x 所以……………………4分
10150.,.==q p ⑵由题设列联表如下
……………………7分
所以=
)
)()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2
…………9分
56560
40257554020351002
.)(≈⨯⨯⨯⨯-⨯因为……………………10分
0245565..>所以据此列联表判断，有%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关．
597.……………………12分24．【答案】
【解析】证明：（1）连接OC ，∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ，
∵CA 是∠BAF 的角平分线，∴∠OAC=∠FAC ∴∠FAC=∠OCA ，∴OC ∥AD ．…∵CD ⊥AF ，
∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线．…
（2）连接BC ，在Rt △ACB 中，CM ⊥AB ，∴CM 2=AM •MB ．又∵DC 是⊙O 的切线，∴DC 2=DF •DA ．∵∠MAC=∠DAC ，∠D=∠AMC ，AC=AC ∴△AMC ≌△ADC ，∴DC=CM ，∴AM •MB=DF •DA
…
【点评】几何证明选讲重点考查相似形，圆的比例线段问题，一般来说都比较简单，只要掌握常规的证法就可以了．。