【高考真题】2024年数学新课标Ⅰ卷(含答案)

∴f'（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝ (
ት ) ( )( )，
令 f'（x）=0，则 x=1 或 x=3，
∴当 x<1 或 x>3 时，f'（x）>0，函数 f（x）单调递增；
当 1<x<3 时，f'（x）<0，函数 f（x）单调递增；
故函数 f（x）在 x=1 时取得极大值，在 x=3 时取得极小值，故 A 正确，符合题意；
【解析】【解答】解：对于 A，因为原点 O 在曲线上，根据定义则有 㠳
㠳 ，解得 a=-2，故 A 正
确，符合题意；
对于 B，由定义可知，若点( ,㠳)在 C 上，则
()
ት
，故
B 正确，符合题意；
由定义可知，设 C 上一点 ት 对于 C，观察发现当 x=2 时， 当 x= 时，
( )ት
，整理得：
，即
，
㠳 ，即 y>1 或 y<-1，
( )， ት
9
当点 C 在第一象限时，其纵坐标最大值大于 1，故 C 错误，不符合题意；
对于 D，由 㠳
㠳ት
(㠳 )
由㠳
，即 㠳 ት 㠳，
㠳ት ，即 㠳
， 㠳ት
∴㠳
㠳
㠳ት ，即 㠳
故答案为：ABD.
㠳ት ，故 D 正确，符合题意.
【分析】由定义分析可以判断 AB，根据图象大致位置利用特殊值可判断 C，最后利用非负性判断 D.
12．【答案】 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​
【解析】【解答】解：由双曲线对称性可知， ∵|AB|＝10 ，
∴
，
在 Rt△F1F2A 中， t ∴c=6， 又∵2a= ∴t
， ，故 a=4，
故答案为： .
【分析】由双曲线的对称性结合勾股定理及双曲线的定义可计算出 a、c 的值，代入公式得出离心率.
3
18．已知函数 f（x）＝ln +ax+b（x﹣1）3． （1）若 b＝0，且 f'（x）≥0，求 a 的最小值； （2）证明：曲线 y＝f（x）是中心对称图形； （3）若 f（x）＞﹣2 当且仅当 1＜x＜2，求 b 的取值范围．
4
19．设 m 为正整数，数列 a1，a2，…，a4m+2 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 ai 和 aj（i＜j）后剩余 的 4m 项可被平均分为 m 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 a1，a2…，a4m+2 是（i，j）——可分 数列． （1）写出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使数列 a1，a2，…，a6 是（i，j）——可分数列； （2）当 m≥3 时，证明：数列 a1，a2，…，a4m+2 是（2，13）——可分数列；
B．{2，3}
C．{﹣3，﹣1，0}
） D．{﹣1，0，2}
2．若
ት ‫ﰘ‬，则 z＝（ ）
A．﹣1﹣i
B．﹣1+i
C．1﹣i
3．已知向量 ＝（0，1）， ＝（2，x），若 (
)，则 x＝（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
4．已知 cos（α+β）＝m，tanαtanβ＝2，则 cos（α﹣β）＝（ ）
D．1+i D．2
故答案为：D.
【分析】由向量的坐标运算及其与向量垂直的关系得出等量关系.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由 tanαtanβ＝csoins
sin cos
，则 cos cos sin sin
∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ=-cosαcosβ=m，即 cosαcosβ=-m，
∴cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ=-3m.
A．﹣3m
B．
C．
D．3m
5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（ ）
A． 6．已知函数为 ( )
A．（﹣∞，0]
B．
C．
D．
ት
(
ት
, ),
‸㠳㠳,在 R 上单调递增，则 a 取值的范围是（
）
B．[﹣1，0]
C．[﹣1，1]
D．[0，+∞）
7．当 x∈[0，2π]时，曲线 y＝sinx 与 y＝2sin（3x﹣ ）的交点个数为（ ）
【高考真题】2024 年数学新课标Ⅰ卷
阅卷人 得分
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位 置上。
1．已知集合 A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}) ( ) ት ( ) ,即 ( ) ，
∴ ( ) ( ) ት ( ) ,即 ( ) ，
( ) ( ) ት ( ) ,即 ( ) ， ( ) , ( ) ， ( ) , ( ) ， ( 㠳) ， 故此时 f（10）＞100 不一定成立，故 A 错误，不符合题意； 由不等式的传递性可知， ( 㠳)其最大值可无限大，故 CD 错误，不符合题意； 故答案为：B.
卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为
．
阅卷人 得分
四、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。
15．记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinC＝ cosB，a2+b2﹣c2＝ ． （1）求 B；
( ) ，此时 ( )在 R 上单调递减， ( ) ( ) 㠳，
故 ( ) 㠳， ( ) ( ) 㠳，即 ( ) ( )，故 D 正确，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数求导法则进行求导，分析其单调性极值判断 A，进而利用单调性判断 BC，对于 D 可重新构
造新函数并分析其最值得出结论.
11．【答案】A,B,D
故答案为：A.
【分析】由同角三角函数关系先将正切转换为正余弦，后代入两角和与差的余弦公式消元化简即可. 5．【答案】B
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【解析】【解答】解：设圆锥与圆柱的底面半径为 R， 又∵其高均为 ，
故圆锥的母线长为：
ት ，圆锥的侧面积为： 侧
则圆柱的侧面积为： 侧
∴
ት，
解得：R=3(负值舍去)，
圆锥
.
故答案为：B.
【解析】【解答】解：∵
ት ‫ﰘ‬，
∴ት
ት
ት ‫ﰘ‬，
∴
‫ﰘ ﰘ‬，
∴
‫ﰘ‬.
故答案为：C.
【分析】由复数的四则运算即可，此题可直接去分母后化简得出 z，也可以通过分离常数得出 z.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ＝（0，1）， ＝（2，x）
∴
(, )
又∵ (
)，
∴ ት ( ) 㠳，解得 x=2.
对于 B， 当 0＜x＜1 时，f（x）单调递增，此时 x>x2，故有 f（x）>f（x2），故 B 错误，不符合题意；
对于 C， 当 1＜x＜2 时，则 1＜2x-1＜3，f（x）单调递减，-4＜f（2x-1）＜0，故 C 正确，符合题意；
对于 D， ( ) ( )
(
)
()
(
ት)
( )，
故 当﹣1＜x＜1 时， 令 ( )
0
2
0
-2
0
,㠳
,
,㠳
㠳
,
... ,㠳 ...
画出 y＝sinx 与 y＝2sin（3x﹣ ） 草图如下，
7
故函数交点个数为 6. 故答案为：C.
【分析】由五点画法作出复合三角函数的图象，通过图象得出其函数交点个数.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：依题意，由 x＜3 时，f（x）＝x，
故
,
,
又∵f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2） ，
，
∵函数 ( )
，其对称轴所在直线 x=
，
故需满足
㠳，解得
㠳，
故答案为：C.
【分析】由指数函数即对数形函数单调性易判断 y 轴右侧其函数增减性及最小值，其次只需判断二次函数在其 定义域单调递增且最大值小于 y 轴右侧最小值即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：由五点画法可知
㠳
...
y＝2sin(3x- ) 坐标点
9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值
＝2.1，样本方差 s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入 X 服从正态分布 N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩
收入 Y 服从正态分布 N（ ，s2），则（ ）（若随机变量 Z 服从正态分布 N（μ，σ2），则 P（Z＜μ+σ）≈0.8413）
1
11．造型∝可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线 C 的一部分，已知 C 过坐标原点 O，且 C 上的点满足横 坐标大于﹣2，到点 F（2，0）的距离与到定直线 x＝a（a＜0）的距离之积为 4，则（ ）
A．a＝﹣2
B．点( ,㠳)在 C 上
C．C 在第一象限的纵坐标的最大值为 1
D．当点（x0，y0）在 C 上时， 㠳 㠳ት
8
∴P（X＞2）<0.1587， 故 P（X＞2）<0.5，A 错误，B 正确. 同理 Y~N（2.1，0.12）， P（Y＞2） =P（Y<2.2）≈0.8413，故 C 正确，D 错误. 故答案为：BC.
【分析】由正态分布曲线的定义结合对称性计算即可.
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：由 函数 f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），
ት，
【分析】根据题意将圆锥与圆柱的侧面积表示并建立等量关系解出半径，从而代入公式得出圆锥的体积. 6．【答案】B
【解析】【解答】解：由
与 ln( ት )在定义域 ， ት 均为递增函数，
故当 x≥0 时，
‫ﰘ‬
㠳 㠳 ት ln
，
为使得 ( )在 R 上单调递增，即使得 ( )
在 ‸ 㠳 上单调递增，且 ( )
A．P（X＞2）＞0.2
B．P（X＞2）＜0.5
C．P（Y＞2）＞0.5
D．P（Y＞2）＜0.8
10．设函数 f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）
A．x＝3 是 f（x）的极小值点
B．当 0＜x＜1 时，f（x）＜f（x2）
C．当 1＜x＜2 时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜1 时，f（2﹣x）＞f（x）
【分析】由已知条件逐步往目标选项进行推理，由不等式传递性易排除 C、D，且根据逐项推理得出的"斐波那 契数列"规律得出结论. 9．【答案】B,C 【解析】【解答】解：由 X、Y 服从正态分布， ∵X~N（1.8，0.12） ，P（Z＜μ+σ）≈0.8413 ， ∴P（X＞1.9） ≈1-0.8413=0.1587， 又∵P（X＞2）<P（X＞1.9） ≈0.1587，
阅卷人 得分
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。
12．设双曲线 C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 作平行于 y 轴的直线交 C 与 A，
B 两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则 C 的离心率为
．
13．若曲线 y＝ex+x 在点（0，1）处的切线也是曲线 y＝ln（x+1）+a 的切线，则 a＝
A．3
B．4
C．6
D．8
8．已知函数为 f（x）的定义域为 R，f（x）＞f（x﹣1）+f（x﹣2），且当 x＜3 时，f（x）＝x，则下列结论中一
定正确的是（ ）
A．f（10）＞100
B．f（20）＞1000
C．f（10）＜1000
D．f（20）＜10000
阅卷人 得分
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分。每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，选对但不全得部分分， 有选错的得 0 分。
（3）从 1，2，…，4m+2 中一次任取两个数 i 和 j（i＜j），记数列 a1，a2，…，a4m+2 是（i，j）——可分数列的 概率为 Pm，证明：Pm＞ ．
5
答案解析部分
1．【答案】A 【解析】【解答】解：由 ‸ ‸ ‸ ‸ ， ∴x 的整数解为-1，0，1， 即 A∩B＝ {﹣1，0} 故答案为：A. 【分析】由开立方估算或代入估算，结合交集的意义得出结果. 2．【答案】C
（2）若△ABC 的面积为 3+ ，求 c．
2
16．已知 A（0，3）和 P（3， ）为椭圆 C： ት ＝1（a＞b＞0）上两点． （1）求 C 的离心率；
（2）若过 P 的直线 l 交 C 于另一点 B，且△ABP 的面积为 9，求 l 的方程．
17．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝ ． （1）若 AD⊥PB，证明：AD∥平面 PBC； （2）若 AD⊥DC，且二面角 A﹣CP﹣D 的正弦值为 ，求 AD．
．
14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1，3，5，7，乙的卡片上
分别标有数字 2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并
比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的