201912西城区高三复习建议

高三数学期末复习建议 2019.12.12
一．关于高三复习课的反思 1．复习课的四种模式：
温习课、析题课、数分课、练习课 2.对考前复习课的几点认识：
（1）课堂才是复习的地方，把复习效果更多地寄托在课堂上，而不是课外 （2）教学环节要张弛有度，把握学生这个主体，学生的参与面要广 （3）应该着重解决学生平日学习中经常遇到的问题 （4）注重前期复习资料的后续使用 二．关于复习内容的建议 （一）选填部分
● 集合（区分交并集，简单不等式解法，尤其二次）
（2017.1）已知集合{|02}A x x =<<，2
{|10}B x x =-≤，那么A
B = B
（A ）{|01}x x <≤（B ）{|12}x x -<≤（C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤ （2016.1文）设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若A B B =，则实数a 的取值范
围是D
（A ）(1,)+∞（B ）(,1)-∞（C ）(1,)-+∞（D ）(,1)-∞-
● 数列（等差等比基本运算，对等差等比数列的认识）
（2018.10）数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．若212
a =，则n a =____；5S =____．32n -，
31
4
（2017.15文改）在等差数列{}n a 中，23a =，3611a a +=．则n a =____；前n 项和n S =____． 2)
3(,1+=
+=n n S n a n n
（2015.11）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么
x y z ++=______．174
● 三视图（掌握看图的基本方法，明确几何体的相关概念） （2018.6文）一个棱长为2
何体的三视图如图所示，则截去．．的几何体是 B （A ）三棱锥（B ）三棱柱（C ）四棱锥（D ）四棱柱
（2017.5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是 C
（A ）3（B ）
（C ）6（D ）
（文：求表面积20+
● 复数（概念、基本运算）
（2019.9）复数z 满足方程1i i z -⋅=，则z =____．-1-i （补充=z ？） （2018.9）在复平面内，复数2i
1i
-对应的点的坐标为____．(1,1)- （2015.9）复数2i
12i
z -=
+，则||z = _____．1
● 排列组合、二项式定理（计数原理本质、二项式相关概念）
（2018.12）把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）8
（补）在()10
3-x 的展开式中，6
x 的系数为（ D ）二项式系数？
A ．61027C -
B ．41027
C C ．6109C -
D ．4
109C
● 平面向量（概念、几何性、平面向量基本定理）
（2019.6文）设,a b 是不共线的两个平面向量，已知PQ k =+a b ，2QR =-a b . 若,,P Q R 三点共线，则实数k 的值为 B （A ）2（B ）2-（C ）
1
2（D ）1
2
- （2018.11文）向量,a b 形网格的边长为1，那么⋅=a b ____．4
（2016.3）设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =D
（A ）AB AC -（B ）AB AC +（C ）1()2AB AC -（D ）1
()2
AB AC +
● 简易逻辑（考查概念的准确性）
（2015.2）设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为 D
（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b
（2017.6）设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 C （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（补）已知a b ,为非零向量，则“0a b >⋅”是“a 与b 夹角为锐角”的B （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（2019.6文）在等比数列{}n a 中，“21a a >”是“{}n a 为递增数列”的 B （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（2016.4）在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，2
12n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件B （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（2018.7文）函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π
2
x =
对称”的 C （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（2015.5）设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的C （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（2016.6文）“0mn <”是“曲线22
1x y m n
+=是焦点在x 轴上的双曲线”的B
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
三角函数与解三角形（概念、基本公式的使用）
（2019.10）已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan α=____；cos(π)α+=____．53,
34-
（2018.11）在△ABC 中，3a =，3
C 2π∠=
，△ABC ，则b =____；c =____．
1（2017.12）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3
C π
=
，
sin 2sin B A =，则a =____
（2016.13文）在∆ABC 中，角A ，
B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c . 若π
sin cos()2
A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.7
9
，（2017.15）已知函数2π()sin(2)2cos 16
f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．
则ω的值为_____.1
（补）函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,2
A ωϕπ
>><
）的分图象如图所示，则=ω；函数()f x 在区间[,3
ππ]上的零点为． 2，
12
7π
● 平面解析几何（直线、圆、双曲线、抛物线）
（2017.10文）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(3,1)B -，则△AOB 的面积是____．2
（2019.10文）以抛物线2
8y x =的焦点为圆心，且与直线y x =相切的圆的方程为____．
2)2(22=+-y x
（2019.5）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224x y +=上，则||OA OB -的最大值为 C
（A ）3（B ）1C ）2D ）4
（2016.11）双曲线C ：22
1164
x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦
点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.
12y x
=±，12（离心率）
● 函数不等式（性质、图象、指对运算）
（2018.2）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 D
（A ）1y x =-+
（B ）|1|y x =-
（C ）sin y x =
（D ）1
2y x =
（2016.2）下列函数中，值域为R 的偶函数是C
（A ）cos y x x =（B ）e e x x
y -=-（C ）lg ||y x =（D ）y =（2017.12文）函数y
=
____；最小值是____．(0,)+∞；4 （2018.5文）若12
2log log 2a b +=，则有C
（A ）2a b =（B ）2b a =（C ）4a b =（D ）4b a =
（2017.13
）设函数30,()log ,,
x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．
①若3a =，则[(9)]f f =____；
②若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____
[4,9)
（2019.13）能说明“若定义在R 上的函数()f x 满足(0)(2)0f f >，则()f x 在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是____．
（2019.7）已知函数()sin πf x x =，2()2g x x x =-+，则 D
（A ）曲线()()y f x g x =+不是轴对称图形（C ）函数()()y f x g x =是周期函数
（B ）曲线()()y f x g x =-是中心对称图形（D ）函数()()f x y g x =最大值为4
7
实际应用
（2019.14文）在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，
转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退.
某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为____. D
（2016.14）某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系
60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤且该食品在4C 的保鲜时间是16小时. 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：
①该食品在6C 的保鲜时间是8小时；
②当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；
③到了此日13时，
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.
其中，所有正确结论的序号是____. ①④
（二）解答题
● 三角（程序化操作必须在理解的基础上）
（2016.15）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ文）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.
（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.
（2018.15）已知函数2π
()2sin cos(2)3
f x x x =-+．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1
()2
f x -≥．
（2019.15）在ABC ∆中，3a =，b =2B A =．
（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）试比较B ∠与C ∠的大小．
（补）如图，在ABC ∆中，8,3
==∠AB B π
，
点D 在BC 边上，且7
1
cos ,2=
∠=ADC CD . （Ⅰ）求BAD ∠sin 的值；（Ⅱ）求AC BD ,的长.
● 概率统计（看清题目要求，区分概型，规范作答）
（2018.16）已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．
表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表
表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表
（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率； （Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记
X 为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ．
（Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31
7
60
）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2
s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s ，判断2
s 与2*s 的大小．（只需写出结论）
（2019.17）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下,其中0a ）.
甲企业 乙企业 （Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试
估计该件产
品为次品的概率；
（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁
．．．．．．．
，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元. 一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.
（2017.17）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．
为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
其中，a ，b 是正整数，且a b <．
（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数
为X ，求X 的分布列；
（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待
机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．
立体几何（定理、原理、运算）
（2019.16）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B BCC 为正方形，M ，N 分别是11A B ，AC 的中点，AB ⊥平面BCM ． （Ⅰ）求证：平面11B BCC ⊥平面11A ABB ； （Ⅱ）求证：1//A N 平面BCM ；
（Ⅲ）若11A ABB 是边长为2的菱形，求直线1A N 与平面
1MCC 所成角的正弦值．
（2018.17）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，
160A AC ︒∠=.
过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；
（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若2
3
BF BC =，求二面角1B AC F --的大小.
B 1
A
M
B
A 1
C
C 1
N
（2017.16）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，
90BAD ︒
∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．
（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒
，求四棱锥
P ABCD -的体积．
● 导数（是研究函数单调性的工具，明确要研究的是哪个函数，定义域） （2019.18）已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ．
（Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值； （Ⅱ）若ln2e a =，证明：()f x x ≤；
（Ⅲ）如果函数2
()
()=f x g x x 在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围．
（2016.20文）已知函数2
1
()2f x x x =+
，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.
（2017.18）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．
（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．
（补）设函数()2
e 2x
f x ax ex =---，其中a ∈R ．函数()h x 是()f x 的导函数，
求函数()h x 在区间[]
0,1上的最小值．
● 解析几何（首先是几何，区分类型，掌握中点、弦长、面积问题的基本方法） （2018.19文）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；
（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是
平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
（2018.19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>过点(2,0)A
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）
设直线y kx =C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．
（2015.19）已知椭圆C ：
22
11612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件
||
||
FA e AP =.（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ文）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程.
（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||
||
S PM S PN =
.
（2019.19
）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：
,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .
（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值.
（Ⅱ文）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且90PFQ ∠=，求证：//AQ BM .
关于20题（符号语言的理解，解决类似问题的基本思路）
11 / 11
（2019.20）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N >：
满足i j a a <，其中1i j N <≤≤. 如果存在{2,3,,}k N ∈，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称为“k 阶平衡数列”.
（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？
（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.
（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,
,}k N ∈，数列均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.
（2018.20）数列n A ：12,,,(4)n a a a n ≥满足：11a =，n a m =，10k k a a +-=或1
(1,2,,1)k n =-．
对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．
（Ⅰ）若2m =，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ① 1,1,1,2,2,2；②1,1,1,1,2,2,2,2；③1,1,1,1,1,2,2,2,2
（Ⅱ）记12n S a a a =+++．若3m =，证明：20S ≥；
（Ⅲ）若2018m =，求n 的最小值．
（2017.20）数字1,2,3,
,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．
集合12{(,,
,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．
（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；
（Ⅱ）求集合n n A B 的元素个数；
（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．
A A。