2017_2018学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式第2节用数学归纳法证明不等式举例创新应用教

第2节用数学归纳法证明不等式举例
[核心必知]
贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx．
[问题思考]
在贝努利不等式中，指数n可以取任意实数吗？
提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．
事实上：当把正整数n改成实数α后，将有以下几种情况出现：
(1)当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，
有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．
(2)当α是实数，并且满足0<α<1时，用(1＋x)α≤1＋αx(x>－11)．
1 1 1
已知S n＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，
2 3 n
n
求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．
2
[精讲详析]本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意n的取值范围，因为n>1，n∈N＋，因此应验证n0＝2时不等式成立．
1
1 1 1 25
2 (1)
当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，
2 3 4 12 2
即n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，
1 1 1 k
即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.
2 3 2k 2
则当n＝k＋1时，
1 1 1 1 1
S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋
2 3 2k2k＋1 2k＋1
k 1 1 1
>1＋＋＋＋…＋
2 2k＋1 2k＋2 2k＋1
k2k k 1 k＋1
>1＋＋＝1＋＋＝1＋.
2 2k＋2k 2 2 2
故当n＝k＋1时，命题也成立．
n
由(1)、(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．
2
——————————————————
利用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形，为满足题目的要求，往
1 1 1 2k 1
往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“＋＋…＋> ＝”的变
2k＋1 2k＋2 2k＋1 2k＋2k 2
形．
1 1 1
1．证明不等式：1＋＋＋…＋<2 (n∈N＋)．
n
2 3 n
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即
1 1 1
1＋＋＋…＋<2 k.
2 3 k
1 1 1 1 1
2 k（k＋1）＋1
∵当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2 k＋＝，
2 3 k k＋1 k＋1 k＋1
2 k（k＋1）＋1
现在只需证明<2 k＋1，
k＋1
即证：2 k（k＋1）<2k＋1，
2 k（k＋1）＋1
两边平方，整理：0<1，显然成立．∴<2
k＋1
1 1 1 1
k＋1成立．即1＋＋＋…＋＋<2 k＋1成立．
2 3 k k＋1
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
2
由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立.
n（n－1）
设P n＝(1＋x)n，Q n＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较
2
P n与Q n的大小，并加以证明．
[精讲详析]本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想P n与Q n的大小关系，然后利用数学归纳法证明．
(1)当n＝1，2时，P n＝Q n.
(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．
①若x∈(0，＋∞)，显然有P n>Q n.
②若x＝0，则P n＝Q n.
③若x∈(－1，0)，则P3－Q3＝x3<0，
所以P3<Q3.
P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)<0，所以P4<Q4.
假设P k<Q k(k≥3)，
则P k＋1＝(1＋x)P k<(1＋x)Q k＝Q k＋xQ k
k（k－1）x2 k（k－1）x3
＝1＋kx＋＋x＋kx2＋
2 2
k（k＋1）k（k－1）
＝1＋(k＋1)x＋x2＋x3
2 2
k（k－1）
＝Q k＋1＋x3<Q k＋1，
2
即当n＝k＋1时，不等式成立．
所以当n≥3，且x∈(－1，0)时，P n<Q n.
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(1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．
(2)本题除对n的不同取值会有P n与Q n之间的大小变化，变量x也影响P n与Q n的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．
3
2．已知数列{a n}，{b n}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，a n＝f(b n)＝g(b n＋1)(n∈N＋)．若
函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，证明：对任意n∈N＋，a n＋1<a n.
证明：因为g(x)＝f－1(x)，所以a n＝g(b n＋1)＝f－1(b n＋1)，
即b n＋1＝f(a n)．
下面用数学归纳法证明a n＋1<a n(n∈N＋)．
(1)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)<1，得
a1＝f(b1)＝f(1)<1，b2＝f(a1)<f(1)<1，
a2＝f(b2)<f(1)＝a1，即a2<a1，结论成立．
(2)假设n＝k时结论成立，即a k＋1<a k.
由f(x)为增函数，得f(a k＋1)<f(a k)即b k＋2<b k＋1，
进而得f(b k＋2)<f(b k＋1)即a k＋2<a k＋1.
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．
根据(1)和(2)可知，对任意的n∈N＋，a n＋1<a n.
1 1 1 1 a
若不等式＋＋＋…＋> 对一切正整数n都成立，求正整数a的最
n＋1 n＋2 n＋3 3n＋1 24
大值，并证明你的结论．
[精讲详析]本题考查数学归纳法的应用以及探索型问题的求解方法．解答本题需要根据n的取值，猜想出a的最大值，然后再利用数学归纳法进行证明．
1 1 1 a26 a
当n＝1时，＋＋> ，即> ，
1＋1 1＋2 3 × 1＋1 24 24 24
∴a<26，而a∈N＋，
∴取a＝25.
1 1 1 25
下面用数学归纳法证明＋＋…＋> .
n＋1 n＋2 3n＋1 24
(1)n＝1时，已证．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
1 1 1 25
＋＋…＋> ，
k＋1 k＋2 3k＋1 24
则当n＝k＋1时，有
1 1 1 1 1 1
＋＋…＋＋＋＋＝（k＋1）＋1 （k＋1）＋2 3k＋1 3k＋2 3k＋3 3（k＋1）＋1
4
1 1 1
(3k＋1)
＋＋…＋
k＋1 k＋2
1 1 1 1
＋(＋＋k＋1)
－
3k＋2 3k＋3 3k＋4
25 1 1 2
>24＋[.
＋
－3（k＋1）]
3k＋2 3k＋4
1 1 6（k＋1） 2
∵＋＝> ，
3k＋2 3k＋4 9k2＋18k＋8 3（k＋1）
1 1 2
∴＋－>0，
3k＋2 3k＋4 3（k＋1）
1 1 1 25
∴＋＋…＋> 也成立．
（k＋1）＋1 （k＋1）＋2 3（k＋1）＋1 24
1 1 1 25
由(1)、(2)可知，对一切n∈N＋，都有＋＋…＋> ，∴a的最大值为25.
n＋1 n＋2 3n＋1 24
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利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．
3．对于一切正整数n，先猜出使t n>n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，
lg 3
并再证明不等式：n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．
4
解：猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n>n2成立．
下面用数学归纳法进行证明．
当n＝1时，31＝3>1＝12，命题成立．
假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k>k2成立，则有3k≥k2＋1.
对n＝k＋1，3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k
>k2＋2(k2＋1)>3k2＋1.
∵(3k2＋1)－(k＋1)2＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，∴3k＋1>(k＋1)2，∴对n＝k＋1，命题成立．由上知，当t＝3时，
对一切n∈N＋，命题都成立．
再用数学归纳法证明：
lg 3
n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．
4
lg 3 lg 3
当n＝1时，1·(1＋1)·＝>0＝lg 1，命题成立．
4 2
5
假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
lg 3
k(k＋1)·>lg(1·2·3·…·k)成立．
4
lg 3
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)·
4
lg 3 lg 3
＝k(k＋1)·＋2(k＋1)·
4 4
1 >lg(1·2
·3·…·k)＋lg 3k＋1
2
1 >lg(1·2·3·
…·k)＋lg(k＋1)2
2
＝lg[1·2·3·…·k·(k＋1)]．命题成立．
由上可知，对一切正整数n，命题成立．
本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考查数学归纳法的应用．全国卷将数列、数学归纳法与直线方程相结合考查，是高考命题的一个新亮点．
[考题印证]
(大纲全国卷)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{x n}如下：x1＝2，x n＋1是过两点P(4，5)、Q n(x n，f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤x n＜x n＋1＜3；
(2)求数列{x n}的通项公式．
[命题立意]本题考查数学归纳法证明不等式问题，考查学生推理论证的能力．
[解](1)用数学归纳法证明：2≤x n＜x n＋1＜3.
①当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为
f（2）－5
y－5＝(x－4)，
2－4
11
令y＝0，解得x2＝，所以2≤x1＜x2＜3.
4
②假设当n＝k时，结论成立，即2≤x k＜x k＋1＜3.
直线PQ k＋1的方程为
f（x k＋1）－5 3＋4x k＋1
y－5＝(x－4)，令y＝0，解得x k＋2＝.
x k＋1－4 2＋x k＋1
由归纳假设知
6
3＋4x k ＋
1 5 5 x k ＋2＝ ＝4－ ＜4－ ＝3； 2＋x k ＋1 2＋x k ＋1 2＋3
（3－x k ＋1）（1＋x k ＋
1）
x k ＋2－x k ＋1＝ ＞0，即 x k ＋1＜x k ＋2. 2＋x k ＋1 所以 2≤x k ＋1＜x k ＋2＜3，即当 n ＝k ＋1时，结论成立． 由①、②知对任意的正整数 n ，2≤x n ＜x n ＋1＜3. 3＋4x n (2)由(1)及题意得 x n ＋1＝ . 2＋x n
1 5 设 b n
＝x n －3，则 ＝ ＋1，
b n ＋1 b n
1 1 1 1
＋ ＝5 4
)，
4
( ＋
b n
＋
1
b n
1 1
3
1 1
3
数列
{
是首项为－ ，公比为 5的等比数列．因此 ＋ ＝－ ·5n －
1，
＋4
}
b
n
4
b n 4
4
4
即 b n ＝－ ， 3·5n －1＋1
4
所以数列{x n }的通项公式为 x n ＝3－ . 3·5n －1＋1
一、选择题
1 1 1 1 1．用数学归纳法证明不等式 1＋ ＋ ＋…＋ <2－ (n ≥2，n ∈N ＋)时，第一步应验证不 23 33 n 3 n 等式( )
1 1 1 1 1
A ．1＋ <2－
B ．1＋ ＋ <2－ 23 2 23 33 3 1 1 1 1 1
C ．1＋ <2－
D ．1＋ ＋ <2－ 23 3 23 33
4 1
解析：选 A n 0＝2时，首项为 1，末项为 .
23
2．如果命题 P (n )对 n ＝k 成立，则它对 n ＝k ＋2也成立．又若 P (n )对 n ＝2成立．则下列 结论正确的是( )
A ．P (n )对所有 n ∈N ＋成立
B．P(n)对所有正偶数成立
C．P(n)对所有正奇数成立
7
D．P(n)对所有大于1的正整数成立
解析：选B∵在上面的证明方法中，n的第一个值为2，且递推的依据是当n＝k时，命题正确，则当n＝k＋2时，命题也正确．
∴P(n)是对所有的正偶数成立．
3．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和S＝(n－2)π对于n≥n0的正整数n都成立”时，
第一步证明中的起始值n0应取()
A．2B．3C．4D．5
解析：选B n边形的最少边数为3，则n0＝3.
1 1 1 13
4．用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋> (n>2，n∈N＋)”时的过程中，由n
n＋1 n＋2 2n24
＝k到n＝k＋1时，不等式的左边()
1
A．增加了一项
2（k＋1）
1 1
B．增加了两项，
2k＋1 2（k＋1）
1 1 1
C．增加了两项，，又减少了一项
2k＋1 2（k＋1）k＋1
1 1
D．增加了一项，又减少了一项
2（k＋1）k＋1
1 1 1
解析：选C当n＝k时，左边＝＋＋…＋.
k＋1 k＋2 2k
1 1 1
当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋
k＋1＋1 k＋1＋2 2（k＋1）
1 1 1 1 1
＝＋＋…＋＋＋.
k＋2 k＋3 2k2k＋1 2k＋2
故由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项．
二、填空题
n＋2 1 1 1
5．证明<1＋＋＋…＋<n＋1(n>1)，当n＝2时，要证明的式子为________．
2 2
3 2n
1 1 1
解析：当n＝2时，要证明的式子为2<1＋＋＋<3.
2 3 4
1 1 1
答案：2<1＋＋＋<3
2 3 4
6．用数学归纳法证明：当n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k到k＋1时需增添的项是________．
解析：当n＝1时，原式为1＋2＋22＋23＋25－1＝1＋2＋22＋23＋24.
从k到k＋1时需增添的项是25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4.
8
答案：1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4
3 × 5 × … × （2n －1） 7．利用数学归纳法证明“ < 2n －1”时，n 的最小取值 n 0应 2 ×
4 × … × （2n －2）
为________．
3
解析：n 0＝1时不成立，n 0＝2时， < ，再用数学归纳法证明，故 n 0＝2.
3 2
答案：2
8．设 a 0为常数，且 a n ＝3n －1－2a n －1(n ∈N ＋)，若对一切 n ∈N ＋，有 a n >a n －1，则 a 0的取 值范围是________．
1 解析：取 n ＝1，2，则 a 1－a 0＝1－3a 0>0，a 2－a 1＝6a 0>0，∴0<a 0< .
3 1
答案：( 3 )
0，
三、解答题
9．用数学归纳法证明：
1 1 1 1
1＋ ＋ ＋…＋ <2－ (n ≥2，n ∈N ＋)． 22 32 n 2 n
1 5 1 3 证明：(1)当 n ＝2时，1＋ ＝ <2－ ＝ ，命题成立． 2
2 4 2 2
(2)假设当 n ＝k 时命题成立，
1 1 1 1 即 1＋ ＋ ＋…＋ <2－ ， 2
2 32 k 2 k
当 n ＝k ＋1时，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1＋ ＋ ＋…＋ ＋ <2－ ＋ <2－ ＋ ＝2－ ＋ － ＝2
22 32 k 2 （k ＋1）2 k （k ＋1）2
k k （k ＋1） k k k ＋1 1 － ，命题成立． k ＋1
由(1)、(2)知原不等式在 n ≥2 时均成立．
10．试比较 2n ＋2与 n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论． 解：当 n ＝1、n ＝2、n ＝3时都有 2n ＋2>n 2成立， 所以归纳猜想 2n ＋2>n 2成立．
下面用数学归纳法证明：
①当 n ＝1时，左边＝21＋2＝4；
右边＝1，左边>右边，所以原不等式成立；
当 n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边>右边；
9
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．
②假设n＝k时(k≥3且k∈N＋)时，
不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又因为2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据①和②可知，2n＋2>n2对于任何n∈N＋都成立．
S n＋1 11．已知等比数列{a n}的首项a1＝2，公比q＝3，S n是它的前n项和．求证：≤
S n
3n＋1
.
n
证明：由已知，得S n＝3n－1，
S n＋1 3n＋1 3n＋1－1 3n＋1
≤等价于≤，即3n≥2n＋1.(*)
S n n3n－1 n
法一：用数学归纳法证明上面不等式成立．
①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．
②假设当n＝k时，(*)成立，即3k≥2k＋1，那么当n＝k＋1时，
3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，(*)成立．
综合①②，得3n≥2n＋1成立．
S n＋1 3n＋1
所以≤.
S n n
法二：当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．
当n≥2时，3n＝(1＋2)n＝C0n＋C1n×2＋C2n×22＋…＋C ×2n＝1＋2n＋…>1＋2n，
n
S n＋1 3n＋1
所以(*)成立．所以≤.
S n n
10。